1、数列求和及数列的综合应用一、选择题1数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a11，a n1 3S n(n1)，则 a6( )A34 4 B34 41C4 4 D4 41【解析】 因为 an1 3S n，所以 an3S n1 (n2)，两式相减得：a n1 a n3a n，即 4( n2) ，an 1an所以数列 a2，a3，a4，构成以 a23S 13a 13 为首 项，公比为 4 的等比数列，所以 a6a 24434 4.【答案】 A2(2013昆明模拟 )已知数列a n满足 a11，a n1 Error!则其前 6 项之和是( )A16 B20C33 D120【解析】 a22a 12，a
2、3a 213 ，a42a 36，a 5a 41 7，a62a 514，所以 S6123671433.【答案】 C3在数列 an中，a 12， an1 a nln ，则 an( )(1 1n)A2ln n B2(n1)ln nC2 nln n D1nln n【解析】 由已知得an1 a nln ln(n1)ln n.n 1n于是 ana 1(a 2a 1)(a 3a 2)(a na n1 )2(ln 2ln 1)(ln 3 ln 2)ln nln(n 1)2ln n.【答案】 A4若数列 an满足 d(nN *，d 为常数)，则称数列 an为“调1an 1 1an和数列” 已知正项数列 为“调和
3、数列” ，且 b1b 2b 990，则 b4b61bn的最大值是( )A10 B100C200 D400【解析】 由已知得 d，即 bn1 b nd，11bn 111bnbn为 等差数列，由 b1b 2b 990，得 9b590，b 510，b 4b 620，又 bn0，所以 b4b6( )2100，当且仅当 b4b 610 时，等号成立b4 b62【答案】 B5(2013青岛模拟 )已知函数 f(n)n 2cos(n)，且 anf(n)f (n1)，则a1a 2a 3a 100( )A0 B100C100 D10 200【解析】 a nf(n)f(n1)，a1a 2a 3a 100f(1)f
4、(2) f(100)f(2)f(101) 又f(n) n 2cos (n)，f(1)f(2) f(100)1 22 23 24 299 2100 2(2 2 12)(4 23 2) (100299 2)37199 5 050，503 1992f(2)f(101)2 23 24 299 2100 2101 2(2 2 32)(4 25 2) (1002101 2)59201 5 150，50 5 2012所以 a1a 2a 3a 100f(1)f(2) f(100)f(2)f(101)5 1505 050100.【答案】 B二、填空题6(2013泉州模拟 )数列a n满足 a11，log 2an
5、1 log2an1(nN *)，它的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn1 025 的最小 n 值为_【解析】 因为 a11，log 2an1 log 2an1(nN *)，所以 an1 2a n，an2 n1 ，Sn2 n1，则满足 Sn1 025 的最小 n 值是 11.【答案】 117(2013吉林模拟 )已知正项等比数列a n中，a 13，a 3243，若数列b n满足 bnlog 3an，则数列 的前 n 项和 Sn_.1bnbn 1【解析】 设数列a n的公比 为 q(q0) ，因为 a3a 1q2，解得 q9，所以 ana 1qn1 39 n1 3 2n1 ，所以 bnlog 3a
6、nlog 332n1 2n1，所以 ，所以数列的前 n 项和1bnbn 1 12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)Sn 1b1b2 1bnbn 112(11 13 13 15 12n 1 12n 1)12(11 12n 1) .12 2n2n 1 n2n 1【答案】 n2n 18(2013课标全国卷 )等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知S100，S 1525，则 nSn的最小值为_【解析】 设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由等差数列前 n 项和可得Error!解得Error!nSn n2a1 d3n 2 (n3n 2) n3 ，(nSn)n 2 ，n2n 12
7、 13 13 10n23 20n3令(nS n)0 ，解得 n0(舍去)或 n .203当 n 时，nS n是单调递增的；当 0n 时， nSn是单调递减的，故当203 203n7 时， nSn取最小值，(nSn)min 73 49.13 10723【答案】 49三、解答题9(2013江西高考 )正项数列a n的前 n 项和 Sn满足：S (n 2n1)2nSn( n2n) 0.(1)求数列a n的通项公式 an；(2)令 bn ，数列 bn的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的n 1n 22a2nnN *，都有 Tn0，Snn 2n.于是 a1S 12，当 n2 时，anS nS n1 n
8、 2n(n1) 2(n1) 2n.综上可知，数列 an的通项 an2n(nN *)(2)证明：由于 an2n，b n ，n 1n 22a2n则 bn .n 14n2n 22 1161n2 1n 22Tn 1 116 132 122 142 132 152 1n 12 1n 12 1n2 1n 22 1161 122 1n 12 1n 22 116(1 122) .56410(2013湛江模拟 )设数列a n满足：a 15，a n1 4a n5(nN *)，(1)是否存在实数 t，使a nt是等比数列？(2)设数列 bn |an|，求b n的前 2 013 项和 S2 013.【解】 (1)由
9、an1 4a n5 得 an1 4a n5，令 an1 t4(a nt)，得 an1 4a n5t，则5t5，t1，从而 an1 14(a n1)又 a114，所以 an1是首项为 4，公比为4 的等比数列，所以存在这样的实数 t1，使 ant是等比数列(2)由(1)得 an14(4) n1 ，所以 an1(4) n.所以 bn|a n|Error!所以 S2 013b 1b 2b 2 013(1 41)(4 21)(1 43)(4 41)(14 2 013)4 14 24 34 2 0131 14 42 0141 4 .42 014 1311设数列 an的前 n 项和为 Sn，点(a n，S
10、 n)在直线 y x1 上32(1)求数列a n的通项公式(2)在 an与 an1 之间插入 n 个数，使这 n2 个数组成公差为 dn的等差数列，求数列 的前 n 项和 Tn.1dn【解】 (1)由 题设知，Sn an1 得 Sn1 an1 1(nN *，n2)，32 32两式相减得：a n (ana n1 )，32即 an3a n1 (nN*，n2)，又 S1 a11，得 a12，32所以数列 an首项为 2，公比为 3 的等比数列，所以 an23 n1 (nN*)(2)由(1)知 an1 23 n，an23 n1 ，因为 an1 a n(n1) dn，所以 dn ，所以 .43n 1n 1 1dn n 143n 1Tn ，1d1 1d2 1d3 1dn则 Tn ，2430 3431 4432 n 143n 1Tn ，13 2431 3432 n43n 1 n 143n得 Tn 23 2430 1431 1432 143n 1 n 143n ，12 1413(1 13n 1)1 13 n 143n 58 2n 583n所以 Tn (nN*)1516 2n 5163n 1
