1、第二节应用举例题型一 测量距离问题【 母题 】如图所示，设 、 两点在河的两岸，要测量两点AB之间的距离，测量者在 的同侧，在所在的河岸边选定一点 ，测C出 的距离是 m, , .求 、 两点间的距离AC551BC75AB（精确到 m）.10分析 所求的边 的对角是已知的，又已知三角形的一边 ，根AB AC据三角形内角和定理可计算出 的对角，根据正弦定理，AC可以计算出边 .解答 根据正弦定理，得 ABCsinsiABsi5(m)7654in)7180sin(i5点拨 本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决。解题锦囊 本题型的解题关键在于明确：（1）测量从
2、一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决。 （2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的ABC距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。衍生题衍生 1 如图所示，客轮以速度 由 至 再到 匀速航行，v2ABC货轮从 的中点 出发，以速度 沿直线匀速航行，将货物送达客ACDV轮，已知 ，且 海里。若两船同时启航出发，则B50CA两船相遇之处距 点 海里。 （结果精确到小数点后 1 位）解析 ABD2两船相遇点在 上，可设
3、为 ，设 xCE，则CVE2故 Vxx45cos2)25(Vx2)0(得 ，302x8.40答案 8.4点拨 本题考查了测量距离问题。衍生 2如图所示， 两点都在河的对岸（不可到达） ，设计BA,一种测量 两点间距离的方法。BA,A BCDA BCDEA BCDAAA分析 可以先计算出河的这一岸的一点 到对岸两点的距离，再C测出 的大小，借助余弦定理可以计算出 两点间距离。BCABA,解答 法一：测量者可以在河岸边选定两点 、 ，测得D,aC并且在 、 两点分别测得D ., ACBA在 和 中，应用正弦定理得ACB)(180sina)sin(a)(iiB.)i(计算出 和 后，再在 中，应用余
4、弦定理计算出 两点间ACABCAB的距离。 cos22B cos.)sin(.)sin(2)(in)(sin22 aaaa )i()i()(si)(i22法二：本题也可以在河的这一岸选定 、 ，测出 取 中CD,2aCD点 ,E因此要求 ,构造 ,需要求出 、 及 所以要测出ABEBEAB,DCDC再分别在 、 中用余弦定理就可求出 、 E求解过程如下：在 中，BE)sin()si()(180sini. aCBE在 中，AED)sin()(180sinia在 中，B)(180cos22 BEAEA)cos()sin()i(2)(sin)(sin22 aaa )i()si(c)(i)(i22 点
5、拨 求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题法一选择的是 和 .ADCB衍生 3 如图，隔河看两目标 、 ，但不能到达，在岸边选B取相距 千米的两点，并测得 ,45,75AC,30( 、 、 、 在同一平面内) 求两目标 、 之间的距45ADBBDAB离。分析 要求出 、 之间的距离,可在 (或 中去找关系,但不ABABC)D管在哪个三角形中, 、 这些量都是未知的,需要在三角形)(DC)(中找出合适的关系,求出它们的值,剩下的只需解三角形了。解答 在 中，A,120,30ACD.,30CD在 中，BC,675418A BBC D由正弦定理，可得 .260
6、sin753BC由余弦定理，可得 BCAAAcos2 .57)6(3)6()3222 AB（千米） ，即两目标 、 之间的距离为 千米。5B点拨 若首先解 求出 ,再求 ,最后解 ,则其计算量ACDDAB就比上述解法要大，因此当问题有多种解决途径时，我们应该用价值的观念来审视每种解法，从而探索到最优解法。在 中，若已知两角及任一边，一般用正弦定理求解，但要注ABC意实际问题是否为一些特殊三角形，如正三角形、直角三角形、等腰三角形等.题型二 测量高度问题【 母题 】如果要测量某铁塔 的高度，但不能到达铁塔的PO底部，在只能使用简单的测量工具的前提下，你能设计出哪些测量方法？并提供每种方法的计算公
7、式。分析 要测量铁塔的高度，只能在铁塔底部所在的平面上选取两点，量出两点间的距离，再测量有关角，从而构造三角形求解。解答 测量方法 1、如右图所示，在地面上引一条基线 ,这条基线和塔底在同一水平面上，且 不AB AB过点 ，测出 的长， 及 对塔顶 的仰角 ，则可求O)(OBA,P,出铁塔 的高。P在 中， ， ARtcotBA OAAP在 中， ，POBRtcotP在 中，由余弦定理得，A 22cosABOBOAcostc2otct2 B测量方法 2、在地面上引一条基线 ,这条基线和塔底在同一水平面上，并使AB三点在一条直线上，测出 的长和 对塔顶 的仰角 ，OBA, BA,P,则可求出铁塔
8、 的高。P计算方法如下：如右图所示， 在 中，由正弦定理得PAB，)sin(i)sin(AB在 中， ，ORt P)sin(iABP测量方法 3、在地面上引一条基线 ,这条基线和塔底在同一水平面上，且延长AB后不过塔底，测出 的长，用经纬仪测出角 和 对塔顶 的仰,AP角 的大小，则可求出铁塔 的高。PO计算方法如下：如右图所示，在 中，由正弦定理得 ABOAOBPA POBA POB)sin()(180siniABABO在 中，PRttaO)sin(tAB点拨 本题是个开放性的题目，灵活构造三角形解题是一大特点。解题锦囊 本题型的解题思路：（1）测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不
9、可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。 （2）对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可。衍生题衍生 1 如图， 是水平面上的两个点，相距 800m,在 点测得BA, A山顶 的仰角为 ， ,又在 点测得 ，其中C2510DB40D是点 在水平面上的垂足，则山高 为 .（精确到 1m）DC解析 在 中， ,AB348由正弦定理，得 （m）5.1028sin0sinAD
10、B在 中, (m)CDRt 4825ta山高约为 480（m）.答案 480点拨 测量高度问题常利用解一个直角三角形和一个斜三角形来解ABCD2501100400决，解斜三角形一般用正弦定理。衍生 2 某人在塔的正东沿着南偏西 的方向前进 m 后，6040望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 ，求塔高。3分析 依题意画图，某人在 处， 为塔高，CAB他沿 前进， 米，此时 ，CD4045DF从 到 沿途测塔的仰角，只有 到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为， 为定值， 最小时，BEAtanBE仰角最大。要求出塔高 必须先求 ，而要求 BE 须先求 或（BD）.C解答 在 中， 由正
11、弦定理，得BD ,135,30,4DBCsinsin.20135i4在 中，BEDRt1508)13(04262sin在 中，ABERt,3（米）.)(10an故所求的塔高为 米.3点拨 在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念。仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角。当视线在水平线之上时，成ABF 045DCE0306为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角。衍生 3 在某一山顶观测山下两村庄 、 ，测得 的俯角为 ，ABA30的俯角为 ，B40观测 、 两村庄的视角为 ，已知 、 在同一海平面上且相距A501000 米，求山的高度.(精确到 1 米)分析 画出立体图形的直观图，由余弦定
12、理列出方程，解方程可求得山高.解答 设山顶为 ，山高 ，由题意，得CxD.50,40,30ABCAD在 中， ，Rtx23sin在 中， B.40iC在 中，由余弦定理知A米 ）(6430sin1,50cossin02222 xxAB故山高约为 643 米.点拨 把问题抽象概括为在空间解三角形问题，画出直观图是解题的关键，设出未知量可把已知量转移到同一个三角形中，由正、余弦定理列出方程可解决问题.衍生 4 如图，A BCDAB CD E2 4在某点 处测得建筑物 的顶端 的仰角为 ，沿 方向前进BAEBEm，至点 处测得顶端 的仰角为 ，再继续前进 m 至 点，30C2310D测得顶端 的仰角
13、为 ，求 的大小和建筑物 的高。A4A分析 本题可以从不同角度去分析，如正弦定理、方程思想、二倍角公式等，将会得到不同的解题方法，从而使思维更开阔，也能从中最佳的解题方法，本题用正弦定理解决更简单适用。解答 解法一：（用正弦定理求解）：由已知可得在 ABC和 中，Dm, m,30AC310,4180AC.)418sin(2i得,23cos,2i4i .15.0在 中 （m）.ADERt160inA答： 所求角 为 建筑物高度为 m.,15 5解法二：（设方程来求解）：设 .,hAExD在 中，CRt.30)310(22hx在 中， 解得(2 .15,hx在 中，AEt .310tan.15,3
14、02答： 所求角 为 建筑物高度为 m., 5解法三：（用倍角公式求解）：设建筑物高为 ,xAE由题意，得 ,2CDBm, m.30CA310在 中， ERt.2sinx在 中， Dt .3104i ，得 (m).,15,2,cos 1560sinADE答： 所求角 为 建筑物高度为 m.,15点拨 这是一道测量高度的问题，在实际生活中是常见问题，平时注意观察和思考解决办法，知识才能累积起来。题型三 测量角度问题【 母题 】一艘海轮从 出发，沿北偏东 的方向航行A75n mile 后到达海岛 ，然后从 出发，沿北偏东 的方向航行5.67B32n mile 后到达海岛 ，如果下次航行直接从 出发
15、到达 ，此船04CC应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？（角度精确到 ，距离精确到 nmile）1. 01.,682.37sin,0137cos 15.3427.180,325.9sin分析 根据题意画出图形，选准三角形，利用正、余弦定理求解。东G西北南AB075032解答 在 中，ABC,137275180根据余弦定理， ABCcos22 1370.54670.54.67，13根据正弦定理，ABCBsinsi 15.37sin042.所以 ,0.19 .5675CAB答 ：此船应该沿 的方向航行，需要航行的距离是 n mile.15.3点拨 本题易出现由 ,得 或 的错325.0si
16、nCAB9CAB6误结果。忽视了本题的实际意义。解题锦囊 解决测量角度问题的关键：首先应明确方位角的含义，然后分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题时也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。衍生题衍生 1 如图，平面内三个力 ，作用于同一个点且处于321,F平衡状态，已知 的大小分别为 , ， 与 的夹角,21FN1261F2为 ，求 的大小及 与 的夹角。45331分析 根据物理知识并结合向量加法的三角形法则及解三角形的知识求解。解答 设三个力作用于点 ,O与 的合力为 ，由共点力平衡，1F
17、2F得 ,令|3 ., 321 FDCBA.3545COB在 ，1cos22AAOC34即1.3|F又由正弦定理，得 150.3.21sinsinAODCAO的大小为 与 的夹角为3F,)(N1F50点拨 用正弦定理、余弦定理及向量等知识可以解决物理中的矢量合成与分解等问题，这说明数学是物理及其他自然科学的辅助工具，在学习过程中，要加强学科间的联系，学以致用。衍生 2 一海轮以 海里每时的速度向正东航行，它在 点20 A测得灯塔 在船北偏东 ， 小时后到达 地， 测得灯塔 在船的P6BPCAOB1DF23北偏东 ，求45（1）船在 点时与灯塔 的距离；BP(2)已知以点 为圆心， 海里为半径的
18、圆形水域内有暗礁，那么这5船继续向正东航行有无触礁的危险？分析 根据题意，作出相应图形，问题归结为已知两角和一角对边的问题，故可考虑正弦定理求解。解答（1）如图，在 中，依题意， ,ABP30PAB,135480ABP. （海里）402由正弦定理得 ，解得15sin3iAB).26(0P（2）过 作 ， 为垂足，在 中，PDBDRt.20B故船在 点时与灯塔相距 海里，继续向正东航行有触礁的)26(危险。点拨 测量角度问题的情境属于“根据需要，对某些物体定位” ，测量数据越准确，定位精度越高.尽可能利用直角三角形.衍生 3 外国船只除特许者外，不得进入离我海岸线 海d里以内的区域，设 和 是我
19、们的两个观测站， 与 之间的距离为ABAB海里，海岸线是经过 、 的直线。一外国船只在 点处，测得s P06045A B DP，问： 满足什么简单的三角函数不等式时，,ABP,就应当向未经过特许的外国船只发出警告？分析 本题实质是找出 满足的三角函数式表示 ，再由题意列, PD出与 的 不等式即可。PDd解答 法一 如图所示，作 ，垂足为 ，ABPD在 中， ,AB)(180.)sin(siP由正弦定理得 )sin(,)i(sBP由面积关系得 ,21AD由 ,知)sin(Pd当 满足 时，就应向此未经特许的外国船只发出警告。, d)i(法二 在 中， ，APDRttan1P在 中， ，Bt t
20、.)tan1t(PAs.tttan1t ssD故当 ，即 时，就应发出警告.dPdstat点拨 本题最后得到的结果是一个不等关系，但在得到这一不等式A BDP 的过程中，首先要考虑如何建立以 为自变量，以 为因变量的, PD函数关系式.题型四 探求三角形的面积 【 母题 】一在 中，已知 ，ABC 63,1cos,3tanACB求 的面积。ABC分析 在解三角形时，有些较复杂的问题常常需要将三角形的有关知识与正弦定理、余弦定理结合使用，本题中根据条件利用两定理求出边和角。解答 方法一： 设三边 、 、 的长分别为 、 、 ，ABCcab由 得 , .3tanB6023sin又 .co1si,1
21、cosCC由正弦定理得 ,又由8inBbc,623213sincos)sin(i A所求三角形的面积为.382638621sinbcS方法二 : 同方法一可得 .c又由余弦定理 ,Babos22得 ,186452a018得 .,21a由已知得 , .60B,90C1203A由 得, ,BbAasini 321360sinsin BbAba而 （舍去） ，故 .364264a故所求面积 .382sin21cSABC点拨 本题主要考察正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的基础知识，同时考察三角公式恒等变形的技能和运算能力。解题锦囊 求三角形面积是解三角形过程中的一种常见的重要题型，本题型常用的解题方
22、法主要有：（1） ；ahS2（2） BacAbcCsin21sisin另外还有用向量表示的公式： | |，其中向量S21b1a（ ， ） ， （ ， ）分别是三角形两边所表示向量的坐标。1ab2ab由于三角形的面积公式有多种形式，在解题的过程中应根据题目所给条件选择恰当的面积公式，这要求对每一个公式的使用条件非常熟悉，并会变形应用公式。衍生题衍生 1 已知三角形的三个顶点为 、 、 ，)1,2(A),3(B)5,2(C求 的面积 .ABCS分析 的三个顶点的坐标已知，用向量面积公式解此题较简捷。解答 、 、 ，)1,2(A),3(B)5,2(C)4,(),35(ACB由 | |，可得 .21S
23、ba12 16|)3(45|21S点拨 简洁明了是新教材引入向量之后由繁变简的一个典范，在学习过程中应注意应用。衍生 2 已知圆内接四边形 的边长分别是ABCD，求四边形 的面积.,4,6,DACBA分析 先将所求面积转化为用某个角的三角函数表示，再利用对角互补及余弦定理求出该角即可.解答 如图，连结 ，则四边形 的面积BDABCDCABDS,sin21sin21,80ACBASsi)(.n16si)4621在 中,由余弦定理得D,AADBABcos1620cos22 在 中, 由余弦定理得C,CCDcs485cs22 ,Ao485cos160.21cs32cs, AC又 , 10,.8120
24、sin6SABCD2464点拨 在有公共边的两个三角形中分别应用余弦定理，也是解三角形常用到的方法，同时要注意“圆内接四边形对角互补”这一条件.衍生 3 在 中，角 、 、 对边的边长分别是 、ABCBCa、 ，bc已知 .3,2C(1)若 的面积等于 ，求 , ;ABab（2）若 ，求 的面积.A2sin)sin(iBC分析 由三角形面积公式 和余弦定理得关于 、 的方Ssi1ab程组求解（1） ；将 变形，ABC2sin)sin(i ),(BAC左边可变为 ，再展开整理，右边用二倍角 )(B公式来求解（2）.解答 （1） 3,Cc由余弦定理，得 3cos22ab .42ab又 的面积等于
25、， ,得 .ABC3sin21C4ab联立方程组 ，解得42ab.2,（2） ,180BA)(180BA由已知 C2sin)sin(i得 ,co4)s(即 .csi2coi AB当 时， . 0cosA32,4,6,2baB当 时，得 ，由正弦定理得 ，Asini ab联立方程组 ，解得ab24.34,2a的面积ABC.3sin1CS点拨 本题（1）主要用了边关系待定系数法；（2）用到了角关系的待定系数和边关系待定系数法，注意两个小题条件独立，解（2）时不能用（1）的结论。衍生 4 已知 、 、 是 中 的对边，abcABC,是 的面积.若 ，则 = SABC35,4S解析 法一 Ssin42
26、1sin21而 ,于是 或,3sin8060C又 abccos22当 时，60C2160cs5422 c1当 时，20c 0cos5422c6541c故 的长度为 或C21法二 35299cc01284c或26或c答案 或21点拨 可利用 及 ，CabSsin )()(cpbapS其中 两种面积公式求解.)(2cap衍生 5 在 中，角 、 、 的对边分别为 、ABBCa、 ， 的外接圆半径 ，且满足 .bcABC3RBAsin2cos(1) 求角 和边 的大小；b（2）求 的面积的最大值.分析 根据三角函数式即可求（1） ，利用面积公式和基本不等式求（2）解答（1）有已知 ，BCAsin2c
27、os整理得 ,CBcossin即 ,si2)(,180A.ACBsin)si(.co2又 ,21s,0si.6B,360sinsi,3BRb. 0（2）由余弦定理，得 ,Bacbos22即 ，60cos292a（当且仅当 时取等号） ，acc即 （当且仅当 时取等号）.3c.4960sin21sin BacSABC的面积的最大值为 .3点拨 在求面积最值时利用了基本不等式，注意基本不等式的使用条件。题型五 正、余弦定理的实际应用【 母题 】某观测站在城 的南偏西 的方向，由城 出发A20A的一条公路，走向是南偏东 ，在 处测得公路上 处有一人，距40CB为 千米，正沿公路向 城走去，走了 千米
28、后到达 处，此时C31 D间的距离为 千米，问：这人还要走多少千米才能到达 城？D21 A分析 本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路可到达城，也就是要求 的长.在 中,已知 千米, ,AADC21D60CD只需再求出一个量即可.解答 如图，令 在 中,BC由余弦定理得 DC2cos2,712032.4sin A BC D北 东2131 2002A 4而 60sinco60sin)60sin(i ,1435721734在 中 , ,ACDsin60iAD（千米 ）.5sn1这个人再走 千米就可到达 城.点拨 正确画出图形，综合运用正弦定理与余弦定理解题.解题锦囊 本题型的一般解题思路：（
29、1）读懂题意，理解问题的实际背景，并根据题意正确画出示意图；（2）明确已知和所求，理清量与量之间的关系，将实际问题抽象成数学模型；（3）选择正、余弦定理求数学模型的解；（4）将数学模型的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.衍生题衍生 1 台风中心从 地以每小时 km 的速度向东北方向移A20动，离台风中心 km 内的地区为危险区，城市 在 正东 km 处，30BA40求 城市从进入危险区到脱离危险区持续的时间.B分析 分别求出进入、脱离危险区的时间，相减后即得所求，也可求出台风中心距离城市小于或等于 千米的路径的长度，再除以台30风中心移动速度.解答 方法一 设 h 后，台风
30、中心距离城 市 km，则t B30,45cos20)20(4302 tt,9168t即 ，72解得 或 ， ，t 2t 1)2(1即台风影响 城市的持续时间为 h.B方法二 如图所示，过 作 于 ACBD则 ,204sinABD又 ,1)(3,302C.2E故台风影响 城市的持续时间为 h.B20CE点拨 解决本题的关键是抓住“离台风中心 km 内的地区为危险3区”这一条件.衍生 2 如图，某住宅小区的平面呈扇形 ，小区的两个出AOC入口设置在点 及点 处，小区里有两条笔直的小路 ，且拐ACD,弯处的转角为 .已知某人从 沿 走到 用了 10 分钟，从 沿10D走到 用了 6 分钟。若此人步行
31、的速度为每分钟 50 米，求该扇D形的半径 的长（精确到 1 米）OA分析 此题显然是一个解三角形的问题，可以观察 ；也可以OCD利用 为等腰三角形OAC解答 方法一 设该扇形的半径为 米，由题意，得r（米）, （米）, .50D3060CDO在 中， ，CO 22cos即 ，222 1)(5)( rrr解得 （米）.4190方法二 连结 ，作 ，交 于 .ACAOHCH由题意，得 （米） ， （米） ， ，50D30D120DA在 中， 2222 7035512cos ACAC（米）70142cos2AD在 中， （米） ， ，HAORt35014cosHAO（米）.19cos点拨 本题是考
32、查解三角形的实际问题，设出半径 ，rA在 中，利用外角 知 。其三边中只有未知ODC20ADC60O数 。利用余弦定理列方程求得 ；也可以利用扇形特点构造 ，r r OHARt此思路需先在 中求出 ，由 ，进一步在 中求AHDC出 .CADcos衍生 3 如图，一辆汽车从 点出发，沿海岸线上一条笔直的O公路以 100km/h 的速度向东匀速行驶 .汽车开动时，在 点东南方向O距 点 500k,且与海岸线距离为 300km 的海上 处，有一艘快艇与OMAO DC 01OM北汽车同时出发，要把一件重要物品送给这辆汽车的司机，问：快艇必须至少以多大的速度行驶，才能把物品送到司机手中？并求快艇以此速度
33、行驶时的行驶方向与 所成的角.OM分析 此类恰好相遇问题，一般的解法是构造一个三角形，然后利用正、余弦定理解此三角形即可.解答 如图，设快艇从 处以 km/h 的速度出发，沿 方向航行，MvMNh 后与汽车在 处相遇.在 中， ，tNONvttO,10,5是 到 的距离.MQO设 ，由题意知.由余弦定理，知54cos,3sin则，cos222 ONMON 360)8150(18052150,4222 tttv ttt即当 ，即 时， ，即 ，8t4362minvminv快艇必须至少以 km/h 的速度行驶，才能把物品送到司机手中.60此时 251MN是 到 的距离，且 ，设 ，QO30MQNO则 则 ， 与 成 角542130sin990点拨 解决本题的关键是由余弦定理得出速度与时间的函数关系式，利用二次函数解题，这也是解此类最值问题的常用方法之一.OMQ N
