1、1,1.功,2.3 力的空间累积功,一. 功 质点动能定理,力与力作用点位移的空间累积,2,2.力的空间累积效应:质点动能定理,质点动能定理说明:合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。,功率,例： 重力对m的功: 地面参考系： A=mgh物体m参考系： A=0,(1)功是标量,且有正负。 (2)功是相对量,其大小随所选参考系的不同而不同。,3,(3)在直角坐标系中,功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说,功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径的形状有关。 (4)应当明白,动能定理只在惯性系中成立,相应的功也只能在同一惯性系中计算。 学习要点：变力的功。,4,例题 今有一倔强系数为
2、k的轻弹簧，竖直放置，下端连接一质量为m的物体，开始时使弹簧为原长而物体m恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直到物体m刚能脱离地面时止，求此过程中外力作的功。,解 将弹簧上端缓慢地提起的过程中，需要用多大的外力？,外力: F=kx ，这是一个变力。,物体m脱离地面的条件是什么？ kxomg,所以外力作的功为,5,完成积分得： = 10(m/s) 。,解,因力是坐标的函数，应用动能定理,例题2 质量m=4kg的物体在力F=(2x+5)i (SI)的作用下, 沿x轴作直线运动, 初速 o =5i (m/s); 求物体从x=0到x=10(m)时的速度。,6,解,因: x=acos t, y=b
3、sin t当t=0时，x=a, y=0;当t= /(2)时，x=0, y=b。合外力的功为,例题 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为 (SI),式中a、b、是正值常数，且ab。求：t=0到t=/(2)时间内合外力的功及分力Fx、Fy的功。,分力：Fx=-m2x, Fy=-m 2y,7,分力Fx、Fy的功为,(1)显然合外力的功等于分力的功之和：,(2)合外力的功也可由动能定理直接求出。,Fx=-m2x Fy=-m 2y,8,由动能定理得合外力的功为,9,例题 在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度0沿切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数
4、为。求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。,解 滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力fr、屏障给它的支持力N, 如图所示。,法向： (1),切向： (2),将式(1)代入式(2), 有,在自然坐标系中，,10,化简后得：d = -d,由于支持力N不作功， 由动能定理得摩擦力的功为,11,质点m沿曲线L从b到a(高度分别为hb 和ha)，重力对质点m作的功为,重力作功只与质点的始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。,二.保守力场中的势能,1.保守力作功的特点,重力的功,12,小球由a到b的过程中，弹性力所作的功为,由此可见，弹性力的功和重力的功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过
5、的实际路径形状无关。,弹性力的功,13,质点m在M的引力场中,由a点到b点,万有引力对质点m所作的功为,由上式可见,万有引力的功也只与质点始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。,万有引力的功,注意：dscos(-)=dr。,14,如果一个力的功只与质点的始末位置有关,而与路径形状无关，这种力称为保守力。相应的力场称为保守力场。否则叫做非保守力。显然重力、弹性力、万有引力都是保守力。,上式表明：保守力的环流(沿任意闭合路径L的线积分)为零。这也是保守力的一种定义和数学判据。,2.保守力和非保守力,15,根据高等数学中的斯托克斯公式,在直角坐标系中，,16,这是力为保守力的判据。,对保守
6、力而言，,17,滑动摩擦力的功,设一质点在粗糙的台面上 运动，其滑动摩擦力与质点 的运动方向相反,可表示为：,当质点从a处运动到b处，摩擦力做功：,结论：,摩擦力做功不仅与始末位置有关，而且与路径有关。,摩擦力是非保守力。,18,定义：Epa是系统在位置a的势能;Epb是系统在位置b的势能。,3.势能的定义,19, 式的意义是: 保守力的功等于势能增量的负值。,含义：系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此势能仅具有相对的意义。,20,重力势能(1)零势面可任意选择,由问题的方便而定。(2)重力势能为 Ep
7、=mgh(3)物体在零势面以上,重力势能为正,否则为负。,(3)弹性势能总是正值。,弹性势能 (1)通常规定弹簧无形变(即未伸长也未压缩)时的势能为零。,4.势能零点的选择,(2)弹簧伸长或压缩x时的弹性势能,按定义应为,21,如选x=xo处为势能零点，则弹性势能,22,(1)通常选取两物体相距无穷远时(此时引力为零)的势能为零。,(3)引力势能总是负值。应当注意：势能是属于相互作用着的物体所组成的系统的,不应把它看作是属于某一个物体的。,引力势能,(2)两物体M、m相距r时的引力势能, 按定义式为,Ep=mgh,23,这一对内力所作的元功之和为,三.系统动能定理,2.内力的功,外力系统以外的
8、物体对系统内质点的作用力。,1.质点系 内力和外力,质点系(系统)作为研究对象的 质点的集合。,24,这一对内力所作的元功之和为,(1)通常 ,故一对内力所作的功之和一般也不为零。,(2)因相对位移和相对元位移与参考系无关，故一对内力所作的功之和也与参考系无关。,o,图3-9,质点i,质点j,人在船上行，船在静水中退。,25,人在船上行，船在静水中退。,一对内力做功转化为一个力的功,26,车对球的拉力和球对车的拉力是一对内力(M和m) 做功为：,27,质点之间有相互作用力，但是没有相互运动，一对内力的功也为零。刚体就是这样。,Z,o,i,j,28,设系统由n个质点组成, 对mi 应用动能定理,
9、有,这就是系统动能定理：外力的功与内力的功之和等于系统动能的增量。,式中：i=1,2,3,。对上式求和得,3.系统动能定理表述,29,注意：,1 对系统而言， ，,人在船上行，船在静水中退。,2 系统所受外力的矢量和为零，,但,A内 + A外 = Ek Ek0,系统动能定理：,30,将上述结果代入动能定理: A内+A外 = Ek- Ek0,二.功能原理,内力的功A内也可以写成A内=A保守内力+A非保守内力,式中:E=Ek+Ep是系统的机械能。上式表明:系统外力和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量。这一结论称为系统的功能原理。,31,注意：,2、 功能原理只适用于惯性系。,32,A外+A
10、非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)如果外力的功与非保守内力的功之和为零(即A外+A非保守内力=0)时, 则 Ep+Ek=Ep0+Ek0 这一结论称为机械能守恒定律。,三.机械能守恒定律,应当指出，机械能守恒的条件是A外+A非保守内力=0,这当然是对惯性系而言的。还应看到,在某一惯性系中系统的机械能守恒,并不能保证在另一惯性系中系统的机械能也守恒,因为A非保守内力虽然与参考系的选择无关,但A外却取决定于参考系的选择。,33,讨论机械能守恒的条件,a 系统受内力，系统受外力，但均不做功。,b,有两种情况：,2 对系统而言， ，,34,例题 如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑
11、的水平轨道上，今有一质量为m的小物体以水平速度o滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为，求:(1)从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？人在车上走，摩擦力的方向如何？为什么人的摩擦力可以做正功。,解 (M+m):水平方向不受外力，故动量守恒：mo=(M+m) 式中是相对静止时的速度。(1)对物体m应用动量定理，有- mg.t=m -mo 解得,35,解： 由于一对内力(摩擦力)的功与参考系无关, 可取车为参考系来计算摩擦力的功, 由系统动能定理得,要物体不滑下车顶, 车的最小长度为,mo=(M+m),36,例题 如图所示，一链条总长为L、质量为m，放
12、在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为a，链条与桌面之间的滑动摩擦系数为,令链条由静止开始运动，求链条末端离开桌面时的速率。,解 链条受三个力作用：摩擦力、重力(保守力)以及桌面对它的支持力(此力不作功)。此题宜用功能原理求解。,建立如图所示的坐标ox, 先求摩擦力(变力)的功：,37,取桌面为零势面，由功能原理:,解得,A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0),对链条、细棒这样一些有一定长度的物体，计算重力势能和重力的力矩时可将其质量集中在质心，从而当作一个质点处理。,38,例题 如图所示，光滑地面上有一辆质量为M的静止的小车，小车上一长为L的轻绳将小球m悬挂于o点。把绳拉直
13、，将小球由静止释放，求小球运动到最低点时的速率。,解 小球受两个力：绳的张力T，重力mg。,解得：,这个解法对吗？,因为小球绕o点作圆运动，张力T与运动方向垂直，因此它不作功，只有重力(保守力)作功，所以小球机械能守恒：,39,说小球绕o点作圆运动，张力T不作功，因而机械能守恒，这是以小车为参考系作的结论。这里有两个错误:,错! 错在那里？,对系统(小车、小球): 一对内力(张力T)作功之和为零，只有保守力重力作功，则该系统机械能守恒。,一是小车是非惯性系(有加速度)，机械能守恒定律是不成立！,二是机械能守恒条件中的功，应 该在惯性系中计算。在惯性系(地面) 上看,张力T要作功,小球的机械能是
14、不守恒的。但一对张 力(内力）做功为零。,40,(1),竖直方向的动量显然不守恒，只有在水平方向(根本不受外力)动量守恒0= MV-m (2) 解式(1)、(2)得小球运动到最低点时的速率为,(M+m)：,系统动量守恒吗？,41,例题 半径为R 、质量为M且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为m的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所示的角位置处，开始脱离球面，试求：(1) 角满足的关系式；(2)分别讨论m/M1时cos的取值。,解 (1)小物体脱离球面的条件是：N=0。,(1),小物体离开球面的瞬间相对球面作圆运动，而此时球面是惯性系，于是沿法向有,为m相对于M的
15、速度,42,取地面为惯性系, 以m、M和地球为系统，机械能守恒,于是有,(2),应当注意：式(2)、(3)中的x、是m相对地面的速度。,43,由速度合成定理:,(5),解上述式子得:,(4),44,(2) 当m/Mm时,cos=2/3 这相当于M不动的情况。当m/M1,即mM时, 有cos3 -3cos +2=0 分解因式得 (cos -1)2(cos +2)=0cos =1 , =0 这表明m竖直下落。,45,例题 若从地面以一定初速度o发射一质量为m的卫星,并使卫星进入离地心为r的圆轨道。设地球的质量和半径分别为me和Re，不计空气阻力，则o =？,解,圆轨道：,机械能守恒：,46,讨论：
16、(1)当r=Re时,=7.9km/s, 称为第一宇宙速度。若以这个速度垂直地球半径方向发射，卫星将贴近地面沿圆轨道飞行。,称为第二宇宙速度。以此速度发射的卫星将飞离地球。,(2)当r时，,47,一质点在平方反比引力作用下做圆周运动,证明：平方反比引力是保守力,48,例题 一质点在方向指向圆心的力 (式中k为常量)的作用下，沿半径为r的园周运动，取无穷远为零势点，求该质点的机械能。,解,机械能,(注意：平方反比引力是保守力),49,例题 如图所示，固定的光滑斜面，=30。一轻弹簧上端固定，下端轻轻地挂上质量M=1.0kg的木块。当木块下滑x=30厘米时，一水平方向飞行的质量m=0.01kg、速度
17、=200m/s子弹与其相碰并陷在其中。弹簧的倔强系数k=25N/m。求子弹打入木块后它们刚一起运动时的速度。,(1)木块的下滑过程,(2)碰撞过程,分两步求解：,50,(木块+弹簧+地球)：系统机械能守恒。选弹簧原长处为零势点，则有,解 (1)木块的下滑过程,51,在子弹射入木块的过程中，斜面给木块的垂直于斜面的支持力N不能忽略(与内力同数量级)故只有沿斜面方向系统动量守恒。若以2表示子弹打入木块后它们刚一起运动时的速度，则有M1-m cos=(M+m)2,(2)碰撞过程,(子弹+木块):,系统沿水平方向动量守恒吗？,凡发生在光滑斜面的碰撞、打击、爆炸等过程，系统 在水平方向动量不守恒。当重力
18、在斜面方向的分力可 忽略时，系统沿斜面方向动量守恒。,52,1 牛顿三大定律解决问题,基本方法： 隔离体法+正交分解,质点动力学核心：,受力分析,则在非惯性系S中有,2非惯性系,惯性力,牛顿定律不能用,要用则加惯性力,质点动力学小结:,一、力的瞬时效应:牛顿定律,53,1 动量定理,2 质点系动量守恒,B 质点系动量定理,A 质点动量定理,二、 力的时间累计效应 动量定理,54,2.保守力和非保守力,如果一个力的功只与质点的始末位置有关,而与路径形状无关，这种力称为保守力。相应的力场称为保守力场。否则叫做非保守力。显然重力、弹性力、万有引力都是保守力。,1、功,Ep=mgh,对保守力,引入相应的势能,3 、势能,三、力的空间积累效应功和能,55,4.功能原理,5.机械能守恒定律,如果外力的功与非保守内力的功之和为零(即A外+A非保守内力=0)时, 则 Ep+Ek=Ep0+Ek0 这一结论称为机械能守恒定律。,
