1、1,第十章,结构的动力计算,2,10-1 动力计算概述,一、动力计算的特点、目的和内容,1、特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。,“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。,“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。,2、目的和内容,通过计算结构的动力反应，即动内力、动位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。,与静力计算的对比：两者都是建立
2、平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。,3,简谐荷载（按正余弦规律变化）,一般周期荷载,动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。,二、动力荷载分类 按变化规律及其作用特点可分为：1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）,涉及到内外两方面的因素：1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等）。,3) 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。,4,三、动力计算中体系的自由度确定体系
3、上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。,实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：1、集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。,3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）,2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）,tr,P,tr,P,5,2个自由度,2个自由度,自由度与质量数不一定相等,m,mm梁,m,+m梁,I,I,2I,m,+m柱,厂房排架水平振时的计算简图,单自由度体系,6,水平振动时的计算体系,多自由度体系,构架式基础顶板简化成
4、刚性块,(t),v(t),u(t),4个自由度,m1,m2,m3,2个自由度,7,无限自由度体系,2、广义座标法：,如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示,用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中, 是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。,ak(t) 称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。,a1， a2， an,8,自由度的确定,W=2,W=2,弹性支座不减少动力自由度,为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。,W=1,5),W=2,自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。,W=2,W=1,9,自由度
5、的确定,8) 平面上的一个刚体,W=3,9)弹性地面上的平面刚体,W=3,W=2,10,W=1,W=13,自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。,11,四、动力计算的方法,动力平衡法（达朗伯尔原理）,运动方程,设其中,P(t),I(t),平衡方程,I(t)惯性力，与加速度成正比，方向相反,改写成,虚功原理（拉格朗日方程）,哈米顿原理（变分方程）,都要用到抽象的虚位移概念,12,10-2 单自由度体系的自由振动,自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。,自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。,
6、研究单自由度体系的自由振动重要性在于：,1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。,2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。,自由振动反映了体系的固有动力特性。,要解决的问题包括：,建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼.,13,一、运动微分方程的建立,方法：达朗伯尔原理,应用条件：微幅振动（线性微分方程）,1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。,m,yj,yd,质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd,k,力学模型,yd,m,m,W,I(t),重力 W,弹性力,恒与位移反向,惯性力,(a),其中 kyj=W 及,上式可以简化为,或,由平衡位置计量。
7、以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。,14,2、 柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。,可得与 (b) 相同的方程,刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。,15,柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。,列运动方程例题,刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。,例1.,例2.,16,柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。,三、列运动方程例题,刚度法步骤： 1
8、.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。,例3.,例4.,17,18,层间侧移刚度,对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.,19,层间侧移刚度,对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.,20,三、列运动方程例题,列运动方程时可不考虑重力影响,例5.,-P(t)引起的动位移,-重力引起的位移,质点的总位移为,加速度为,21,三、列运动方程例题,例6.,=,简记为,位
9、移向量,柔度矩阵,荷载向量,质量矩阵,22,例7.,=,刚度矩阵,23,24,25,改写为,其中,它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：,积分常数C1，C2由初始条件确定,二、自由振动微分方程的解,26,设 t=0 时,（d）式可以写成,由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令,(e)式改写成,它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定,振幅,相位角,27,28,三、结构的自振周期和频率,由式,及图可见位移方程是一个周期函数。,周期,工程频率,圆频率,自振周期计算公式：,圆频率计算公式：,29,其中是沿质点振动方向的结构柔度系
10、数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三参数中哪一个最便于计算来选用。,一些重要性质： （1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外
11、形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,30,例1. 计算图示结构的频率和周期。,例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。,例3.计算图示刚架的频率和周期。,由截面平衡,31,例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,据此可得：1 2 3= 1 1.512 2,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,32,例5、求图示结构的自振圆频率。,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh
12、 = MBC,解法2：求 ,33,例6、求图示结构的自振频率。,解：求 k,对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为刚架)计算刚度系数方便。,一端铰结的杆的侧移刚度为：,两端刚结的杆的侧移刚度为：,34,四、简谐自由振动的特性,由式,可得，加速度为：,在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。,它们的幅值产生于,时，其值分别为：,既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。,惯性力为：,35,例7. 计算图示体系的自振频率。,解：单自由度体系， 以表示位移参数的幅值, 各质点上所受的力为：,建立力矩平衡方程,化简后得,36,例8:建立图示体系的运动方程并计算自振频率。,37,例8:建立图示体系的运动方程并计算自振频率。,
