1、二、单自由度体系自由振动微分方程的解,其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三参数中哪一个最便于计算来选用。,自振周期计算公式：,圆频率计算公式：,一些重要性质： （1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根
2、成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,据此可得：1 2 3= 1 1.512 2,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,例5、求图示结构的自振圆频率。,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh = MBC,解法2：求 ,例6、
3、求图示结构的自振频率。,解：求 k,对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为刚架)计算刚度系数方便。,一端铰结的杆的侧移刚度为：,两端刚结的杆的侧移刚度为：,五、阻尼对自由振动的影响,忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。,大体上,忽略阻尼的振动规律,考虑阻尼的振动规律,结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。,简谐荷载作用下有可能出现共振。,自由振动的振幅永不衰减。,自由振动的振幅逐渐衰减。,共振时的振幅趋于无穷大。,共振时的振幅较大但为有限值。,产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间
4、的内摩擦；周围介质的阻力。 阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：与质点速度成反比（比较常用，称为粘滞阻尼）。与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度无关（如摩擦力）。 粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为R(t)=Cy ).,其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。,振动模型,k,m,有阻尼的自由振动，动平衡方程：,( 阻尼比）,设解为：,特征方程为：,1)1（低阻尼）情况,令,ae-t,低阻尼y- t曲线,无阻尼y- t曲线,阻尼对自振频率的影响.,当0.2，则存在0.96r/1。在工程结构问题中，若0.010.1，可近似取:,称为振幅的对数递减率.
5、,设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:,经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:,工程中常用此方法测定阻尼,阻尼对振幅的影响.振幅ae- t 随时间衰减，相邻两个振幅的比,振幅按等比级数递减.,例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m,，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,临界阻尼常数cr为=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）,阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。,3)1 强阻尼：不出现振
6、动，实际问题不常见。,2)=1（临界阻尼）情况,这条曲线仍具有衰减性， 但不具有波动性。,15-3 单自由度体系的受迫振动,受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。,k,弹性力ky、惯性力,和荷载P(t)之间的平衡方程为:,一、简谐荷载：,单自由度体系强迫 振动的微分方程,特解：,最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。,特解可写为：,通解可写为：,设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,按自振频率振动,按荷载频率振动,平稳阶段：,最大动位移（振幅）为
7、：,动力系数为：,重要的特性： 当/0时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。 当01，并且随/的增大而增大。 当/ 1时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75 / 1.25称为共振区。,当/ 1时,的绝对值随/ 的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各 截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。,例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=
8、80s-1求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。,解：1)求,2)求,3)求ymax， Mmax,例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m） 解：1）求自振频率和荷载频率,2）求动力系数,175.6MPa,必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 度体系，以及多自
9、由度体系，均不能采用这一方法。,I22b,3570cm4,3570,39.7,39.7,1.35,对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。,325,149.2,设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。,二、一般荷载,一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动力反应来推导,1、瞬时冲量的动力反应,瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。 由动量定理：,2、任意荷载P(t)的动力反应,时刻的微分冲量对t瞬时(t )引起的动力反应:,初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:,(Duhamel 积分)（15.29）,初始位移y0和初始速度v0不
10、为零在任意荷载作用下的位移公式:,3、几种典型荷载的动力反应,1）突加荷载,yst=P0=P0 /m2,质点围绕静力平衡位置作简谐振动,2）短时荷载,阶段(0tu)：与突加荷载相同。,阶段(tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移,和速度,为初始条件作自由振动。,或者直接由Duhamel积分作,另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。,当0t u,当t u,最大动反应,1）当 u T/2 最大动位移发生在阶段,2）当u T/2 最大动位移发生在阶段, =2,动力系数反应谱 (与T和u之间的关系曲线),3）线性渐增荷载,这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解:,对于这种线性渐增
11、荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：,动力系数反应谱,动力系数介于1与2之间。 如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。 常取外包虚线作为设计的依据。,三、有阻尼的强迫振动,单独由v0引起的自由振动：,瞬时冲量ds=Pdt=mv0所引起的振动，可视为以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：,将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量：,总反应,例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m,，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及
12、一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,（1）突加荷载P0,低阻尼y- t曲线,无阻尼y- t曲线,静力平衡位置,具有阻尼的体系在 突加荷载作用下， 最初所引起的最大 位移接近于静位移 yst=P0/m2的两倍， 然后逐渐衰减，最 后停留在静力平衡 位置。,（2）简谐荷载P(t)=Fsint,设特解为：y=Asin t +Bcos t代入（15-34）得：,+Asin t +Bcos t ,齐次解加特解得到通解：,自由振动，因阻尼作用， 逐渐衰减、消失。,纯强迫振动，平稳振动， 振幅和周期不随时间而变化。,结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振
13、动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。,y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ) (15-35a),振幅：yp， 最大静力位移：yst=F/k=F/m2,动力系数与频率比/和阻尼比有关,几点注意： 随增大曲线渐趋平缓，特别是在/=1附近的峰值下降的最为显著。,当接近 时， 增加很快， 对的数值影响也很大。在0.75 / 1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对的影响较小，可按无阻尼计算。,max并不发生在共振/=1时，而发生在，,由y=yPsin(t ) 可见，阻尼体系的位移比荷载P=Fsin t 滞后一个相位角 ，,但因很小，可近似地认为：,当时,0体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主要由S平衡，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。,当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；,弹性力S，惯性力FI， 阻尼力R分别为：,当=时,90,由此可见：共振时（=），S与FI刚好互相平衡，,yst,有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。,k=m2=m2,
