1、1涂色问题一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。用 5 种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？【解析】先给号区域涂色有 5 种方法，再给号涂色有 4 种方法，接着给号涂色方法有 3 种，由于号与、不相邻，因此号有 4 种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有 5434240 种2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。（2003 江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域，且相邻两个区域不能同色。【解析】依题意只能选
2、用 4 种颜色，要分四类：（1）与同色、与同色，则有 ；4A（2）与同色、与同色，则有 ；4（3）与同色、与同色，则有 ；（4）与同色、 与同色，则有 ；（5）与同色、与同色，则有 ；4A4A所以，总数为 5 =120 种4A（2003 年全国高考题）如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？2 2【解析】依题意至少要用 3 种颜色1) 当先用三种颜色时，区域 2 与 4 必须同色，2) 区域 3 与 5 必须同色，故有 种；3A3) 当用四种颜色时，若区域 2 与 4 同色，4) 则区域 3 与 5
3、 不同色，有 种；若区域 3 与 5 同色，则区域 2 与 4 不同色，有 种，故用四种颜色时共有 2 种。由加法原理可知满足题意的着色4A4方法共有 +2 =24+2 24=72343、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？【解析】 （1）四格涂不同的颜色，方法种数为 ；45A（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数；
4、154CA（3）两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为 ，25因此，所求的涂法种数为 21254560AC二、 点的涂色问题A、可根据共用了多少种颜色分类讨论 B、根据相对顶点是否同色分类讨论C、将空间问题平面化，转化成区域涂色问题243 1 53将一个四棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异SABCD色，如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？【解析】解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种涂 A、B、C 、D 四点，此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色，
5、故有种125460（2）.若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种染 A 与 B，由于 A、B 颜色可以交换，故有 种染法；再从余24A下的两种颜色中任选一种染 D 或 C，而 D 与 C，而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有 种方法。12540（3）.若恰用五种颜色染色，有 种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。解法二：设想染色按 SABCD 的顺序进行，对 S、A、B 染色，有种染色方法。54360由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色，这影响到 D 点颜色的选取方法数故分类讨论
6、： C 与 A 同色时（此时 C 对颜色的选取方法唯一） ，D 应与 A（C） 、S 不同色，有 3 种选择；C 与 A 不同色时，C 有 2 种选择的颜色，D 也有 2 种颜色可供选择，从而对 C、D 染色有 种染色方法。127由乘法原理，总的染色方法是 604三、 线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色 A.根据共用了多少颜色分类讨论 B.根据相对线段是否同色分类讨论。1.用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形 ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解法一：（1）使用四颜色共有 种4A（2）使用三种颜色涂色
7、，则必须将一组对边染成同色，故有 种，1243CA（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有 种2SCDAB4因此，所求的染色方法数为 种412348AC解法二：涂色按 ABBCCDDA 的顺序进行，对 AB、BC 涂色有 种方法312由于 CD 的颜色可能与 AB 同色或不同色，这影响到 DA 颜色的选取方法数，故分类讨论：当 CD 与 AB 同色时，这时 CD 对颜色的选取方法唯一，则 DA 有 3 种颜色可供选择 CD与 AB 不同色时，CD 有两种可供选择的颜色，DA 也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA 涂色有 种涂色方法。1327由乘法原理，总的涂色方法数为 种1842.
8、用六种颜色给正四面体 的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且ABCD共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？【解析】 （1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有 种方法。36（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有 种方法。346CA（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有 种方法。1536CA（4）若恰用六种颜色涂色，则有 种不同的方法。6综上，满足题意的总的染色方法数为 种。408651346236AC四、 面涂色问题1.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方
9、体的 6 个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？【解析】显然，至少需要 3 三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理、乘法原理分步进行讨论根据共用多少种不同的颜色分类讨论（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有 5 种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余 4 种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余 3 个面有3！种涂色方案，根据乘法原理 30!51n（2）共用五种颜色，选定五种颜色有5种方法，必有两面同色（必为相对面） ，确定为上、下底面，其颜色可有 565C种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有
10、3 种选择（前后面可通过翻转交换） 903562Cn(3)共用四种颜色,仿上分析可得 43(4)共用三种颜色, 064n2.四棱锥 ，用 4 种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不PABCD同色，有多少种涂法？ 【解析】这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题。如右图，区域 1、2、3、4 相当于四个侧面，区域 5 相当于底面；根据共用颜色多少分类：（1） 最少要用 3 种颜色，即 1 与 3 同色、2 与 4 同色，此时有 种；4A（2） 当用 4 种颜色时，1 与 3 同色、2 与 4 两组中只能有一组同色，此时有；2CA故满足题意总的涂色方法总方法交总数为 种31427ACA B CD P 5 3214
