1、空心圆柱线圈的电感计算第1章引 言在总结前人实验研究和基本电磁定律的基础上，英国物理学家麦克斯韦于1 864年创立了电磁场学说的主要理论。他扩大了电磁感应的涵义，磁场变化伴随着电场，电场变化伴随着磁场，提出了位移电流和全电流概念，概括得到麦克斯韦方程组，预言电磁波的存在及光波与电磁波的同一性。自从l 8 88年德国物理学家赫兹用实验证实了电磁波的存在和传播以后，电磁场理论研究和工程应用进入了蓬勃发展的时代。随着电工技术和电工装备的不断革新、创造和发明，为电磁场的分析和计算提出了式样繁多和复杂的物理模型。线圈是其中应用极其广泛普通的一种，如电磁测量、高能物理研究、电信工程、各种电机和电力变压器等
2、领域中，比比皆是。11空心圆柱线圈概况从外部的几何形状看，线圈的种类繁多，例如圆形线圈、环式线圈、鞍形线圈等。空心圆柱线圈就是其中的一种，在电工技术中有着十分广泛的应用。它具有几何轴对称结构，如图11所示，f为对称轴。图11空心圆柱线圈Fig11 Aircored solenoid coil1郑州大学工学硕士论文所谓轴对称就是从图形上的各点向定直线f作垂线并延长一倍，延长线的端点所构成的图形称为与原图形关于定直线f成轴对称，定直线f称为对称轴。空心圆柱线圈具有许多优点：易于制作，绕线作业和支撑磁场力比较容易；和其它类型线圈相比，每单位体积绕线所产生的磁场最大：通过若干线圈的组合可获得高均匀磁场
3、或沿空间某一方向梯度均匀的磁场。正因为如此，空心圆柱线圈得到了广泛应用，例如在测量磁性材料的磁特性时，往往利用空心圆柱线圈产生的均匀磁场作磁化场口】；用超导空心圆柱线圈储存电力能量f3 J；在新型武器一一线圈炮中作为驱动线圈使用【4】；在电磁无损检测技术中作检测线圈(即传感器)使用【5。7；在电磁作用下电弧焊技术中利用空心圆柱线圈产生间歇变化的纵向磁场8-91等。从外形尺寸上看，基础科学研究用的线圈直径仅有几个厘米，而电力储存用的直径达200米之多。从产生磁场的大小看，有磁感应强度为毫特斯拉级的线圈，也有几十特斯拉级左右的线圈。12课题的意义和内容空心圆柱线圈在电子、电气、无线电等领域中有着广
4、泛的应用。因此如何快速、简便、高精度地计算空心圆柱线圈的各种电磁场量就成为了一个重要的问题。而如何获得一个高品质的满足实际应用要求的空心圆柱线圈则需要综合考虑线圈用途、形状太小、使用环境状况等多种因素，线圈性能的好坏直接影响到使用的效果。目前，空心圆柱线圈大多是以多年实践经验作指导，利用单根漆包线或银线围绕圆柱(非铁磁性材料，如胶木棒)绕成圆柱形。研究通电空心圆柱线圈周围的电磁场，分析空心圆柱线圈的各种性能参数与哪些因素有关，有何种关系，从而为空心圆柱线圈的应用提供理论指导和参考，这是一个非常有意义的课题，也是一个体现理论指导实践的课题。可以用解析方法和数值方法对空心圆柱线圈进行电磁分析。利用
5、解析方法求解电磁场有以下优点：能将问题的解答表示成已知函数的显式，因而能够计算出精确的数值答案；在解析过程中以及在解的显式中可以观察到具体问题的内在关系和各参数对数值结果所起的作用：解析解可以作为工程电磁场实际问题的近似解和数值解的检验依据和标准。但由于解析表达式一般都比较复杂，因而在工程上常采用数值方法计算其具体电磁场，目前比较成熟的数值方法包括：有限元法(FEM)【1 o“】，积分方程法1 5“】边界元法(BEM)【1 72，有限差分法21-231，新型等效源法24-27 1等。本论文将采用解析方法求解空心圆柱线圈电磁场空心圆柱线瑚的电感计算的解析表达式。电感是表征线圈自身属性的一个重要参
6、量，所以电感的计算是一个重要的问题。本文利用矢量磁位直接推导出了通电空心圆柱线圈电感的计算式。同时给出了求解计算式中函数T的函数表，以简化精度要求不高时的电感计算。13空心圆柱线圈电感计算的研究现状空心圆柱线圈在电气工程、无线电等领域中有着广泛的应用。在使用时，常常需要计算线圈的各种相关参数，尤其是线圈的电感。电感是自感和互感的总称。在不存在磁介质的情形下，电感值的大小取决于线圈的尺寸大小和形状。磁场中存储的能量和线圈之间的作用力等问题都与电感息息相关。随着数学理论和数值计算方法不断发展，出现了各种各样的计算线圈自感和互感的方法。Dingan Yan和KSHan利用解析积分给出了螺旋管和扁平线
7、圈的自感计算式【2 8】；Slobodan Babie和Cevdet Akyel在此基础上利用解析和数值混合的方法给出了螺旋管和扁平线圈的自感和互感计算近似表达式【29】：Reif Jiri和Mayer Daniel3 01与Dolezel Ivc”1给出了空心圆柱线圈自感的计算式；MHCraig”】与Lundin Richard”J给出了单层圆柱线圈的自感和互感的近似表达式：Fawzi T H和Burke PE4 J与Dolezel I等人35给出了同轴空心圆拄线圈之间互感计算式：KBKim和Zivan Zabar利用椭圆积分和网格矩阵技术给出了两个异轴空心圆柱线圈之间互感的计算式【”】：A
8、kyel Cevdet，和Babic Slobodan给出了计算同轴圆柱线圈互感的两种近似方法【3 7】：CASiocos给出了计算同轴的两个圆柱线圈和同轴的圆柱线圈与圆环线圈之间互感的函数表3 81；陈乔夫和李湘生利用叠加原理给出了空心电抗器的自感和互感计算式91：王昕等人给出了圆形螺旋线圈自感的计算公式4 o；苏联学者njI卡兰塔罗夫和J1A采伊特林给出了空心圆柱线圈的电感计算近似式及相关的图表【411；1991年由中国计量出版社出版的轴对称线圈磁场计算给出了空心圆柱线圈电感计算式。上面所提到的计算方法，在实际使用时均存在着种种不足之处：有的表达式形式比较复杂，没有显式地表示出电感值和线圈
9、几何尺寸之间的关系，不利于理论分析：有的表达式只适用于特殊情况，不能通用；除苏联学者外，使用其它的公式求电感时均需在计算机上编制相关程序进行计算求解，不利于在工程上使用；而在使用苏联学者所给公式和图一1酃捕大学工掌硕士论文表时受虱线圈轴向和径离尺寸跑俊大小钓约束，特掰是当线骚鹣长痰帮线圈的平均煮径之魄大予72对，计算精瘦比较低。谖熬翔秘嶷速、篱便、离精度蟪诗算空心因柱线圈豹毫感撬残为了一个蓬要豹闼题。汪是基于鼗舀熬，本文从矢量磁位出发推导迦空心疑槛线翱电感计算的般性诗冀式，绘出了计算式中函数r豹函数表，从恧为炔速、漪便地计算空心蹦拄线熙的电感奠定了基础。l。4论文的安排论文第2章建立了空心圆柱
10、线圈的求解模型，给出了分析和计算静磁场的三种途径。论文第3章通过求解以矢量磁位为求解对象的边值问题得到了矢羹磁位、磁感应强度的解祈表达式，同时还狠出了磁力线方程。论文第4章利嗣矢量磁位推斑了空心西柱线圈的电感表达式并给出了相关的计算方法，同时给出了阉辅空心圆柱线匿的互感计箨式。论文第5章给出谍题的缩论和存在的滴题。空心圆柱线圈的电感计算第2章空心圆柱线圈求解模型的建立在这一章中，我们首先建立了空心圆柱线圈的电磁场求解模型，然后引入矢量磁位爿的概念，最后介绍了我们在分析和计算静磁场时常用的三种途径。21空心圆柱线圈的数学模型实际的空心圆柱线圈是用导线一匝紧挨一匝绕制而成的，所以每匝均具有螺旋性，
11、而且由于导线外有绝缘层，线圈的电流密度不是均匀分布。对其进行电磁场分析时，如果把螺旋性和不均匀性都考虑在内，计算将会极其复杂。实践表明，忽略线圈的螺旋陛和不均匀性后，不但可以大大减轻计算工作量，而且计算结果和实测数值之间仅有极小的误差。因此在分析空心圆柱线圈时，作如下假设：1)线圈的匝数都是同轴圆环回路，且沿磁心轴向对称分布：2)线匝间具有无限薄的绝缘，所有线匝紧密地填充了线圈所占据的全部空间：3)线圈由矩形截面的导线绕制而成，线圈沿轴向和径向均匀缠绕，电流沿截面均匀分布，且电流密度的方向和对称轴构成右手螺旋关系：4)线圈处于无限大真空中。在以上假设的基础上，建立课题的隶解模型：如图21所示，
12、设通电空心圆柱线圈位于无限大真空中，其匝流密度为”，电流密度为一，内半径为R1，外半径为见，轴向长度为D。真空的磁导率为z。选取圆柱坐标系，原点。位于线圈的几何中心。z轴与线圈的对称轴重合。线圈中电流的参考方向与：轴的正向成右手螺旋关系，忽略位移电流。22矢量磁位的引入式我们忽略位移电流后可以写出恒定场的麦克斯韦方程组的微分形邦州大学工学硕士论文图21真空中的空心圆柱线圈Fig21 Air-cored solenoid coil in vacuum霹xH=JVxE=OVB=0VD=P其中p为媒质中的自由电荷密度。根据矢量分析恒等式VfV41i 0可知符合散度为零条件的量均能表示成某一矢量函数一
13、的旋度取B=VA此式说明，磁感应强度曰可用某个矢量4的旋度来表示量磁位。把式(2-6)和关系式B=“H代入式o 2-1)，得根据矢量分析公式甲(VxA)=以(21)(22)(23)(24)(25)所以可(26)此时称A为矢(27)空心圆柱线圈的电感计算Vx(VxF)=V(VF)一V2F (2-8)式(2-7)变为V2A=一卢以一VA) (29)在矢量场中，要确定一个矢量，必须同时知道它的散度和旋度。因此我们规定A的散度为VA20 (210)则式(2-9)变为VZA=一“以 (2-11)23静磁场分析和计算的途径一般而言，静磁场的分析和计算可通过以下三种途径来完成。1)利用毕奥一沙伐定律直接计算
14、磁场。在无限大真空中，当已知电流分布时，磁场中任意点P处的磁感应强度可用毕奥一沙伐定律计算或或酮=石,ao L!铲(Q) 12)即)：笠4 J，掣吲Q) 13)reS R、 J z I Z1Ij丑(尸)=笠4(f掣 (，_14)rrdt R A、7 、 1 L斗式中 V，S，一一表示电流分布的区域；t，(Q)一一源点Q的电流面密度，Aim 2X(Q)一一源点Q的电流线密度，Aim：，一一源点Q的线电流，A：R-源,点Q到场点P之间的距离一7郑州大学工学硕士论文一一由源点9指向场点P的单位矢量：t。一一真空磁导率，其值为4a“10Hm。毕奥一沙伐定律是电磁场理论中的基本定律，所以原则上可以使用该
15、定律求解任意分布的稳恒电流产生的磁场，只是有时会根据所求解问题的特点而选用其它方法求解，但其根源仍是毕奥一沙伐定律。2)在无电流分布的单连域内利用标量磁位妒。求解。依据恒定磁场的基本方程(21)知，在无电流分布的区域内磁场是无旋的即vH=0。这样可以借助矢量恒等式将磁场强度日用一个标量函数p的梯度表示H 2一Vo， (2-15)则称妒。为磁场的标量位函数，简称标量磁位。式右的负号是物理概念的需要，即沿磁力线的方向标量磁位是减小的，把式(2-1 5)和B=腰代入式(2-3)可得标量磁位满足的拉普拉斯方程V2=0 (2-16)通过求解该拉普拉斯方程和利用关系式B=一,uV40。就可以求出相应的磁感
16、应强度。利用这种方法除能较方便地求解无源区域的磁场外，还可阱极其方便地求解永久磁体周围的磁场。3)通过求解磁场的矢量磁位A求磁场，从22节的分析中可知磁感应强度B和矢量磁位一的关系。这样我们可以先求以矢量磁位一为求解对象的边值问题，然后再求出磁感应强度B。从以上的分析中可知，矢量磁位A和标量磁位c,o。是以微分形式定义的，因此后两种方法在均匀媒质中使用是比较方便的。胆是当要求解在媒质的参数发生突变处的磁场时，就只能利用积分形式的毕奥一沙伐定律来求解。由于本论文是在均匀媒质中讨论空心圆柱线圈的磁场，因此我们将在第三章中使用第三种方法即用矢量磁位A来求解该磁场：先利用分离变量法求解以矢量磁位A为求
17、解对象的单匝圆环线圈的边值问题，得到相应的矢量磁位表达式：然后利用叠加原理求出通电空心圆柱线圈的矢量磁位A表达式。空心圆柱线圈的电感计算第3章空心圆柱线圈的磁场分析在这一章中我们将根据轴对称场的性质写出单匝圆环线圈的以矢量磁位为求解对象的边值问题。通过求解该边值问题可得到相应的矢量磁位表达式，然后利用叠加原理求得空心圆柱线圈的矢量磁位，再利用磁感应强度和矢量磁位的关系进一步求得磁感应强度表达式。在文章的最后还给出了相应的磁力线方程31单匝圆环线圈的矢量磁位311求解模型图31单匝圆环线圈Fig3t Oneturn Circular Coil假设真空中存在一单匝圆环线圈，选取圆柱坐标系， ：轴与
18、磁心的轴线重合，如图31所示。设单匝圆环线圈的半径为P线圈所在平面距=0平面的距离为=，线圈中的电流大小为，方向和：轴正向成右手螺旋关系。线圈所在的平面把整个空间区域分成两个场区：9-郑州大学学颟士论文31。2炙量磁佼的边德阍题场送l： z轴对称电磁场是爽常见的电磁场。它照这样定义的【42】：如果场域中存在条定直线，在漪该定赢线的憾意平硒上，场中均为番向同性、分嚣均匀酌线性媒质，媒质稀场源的边界闰彤分剐关于该窀直线成蒇转辅葡称，掰有矫部电流源圄路都蔻由躅心位于定直线的筒环线圈的集合所缀戚。场中游建壹线称为璐静对称辅。在灏柱建标系下辅对称电磁汤粪有以下愁蒺：1)艨煮场整秘毫磁位番羧蝰与撵离坐标无
19、关；2)在港豫兹燧楚下，矢量磁搜援鹰麓囱分羹，辩d=或，且数度舻tA=0；3)磁矮强度搿数揭勰分蹙为零；4)在过对称瓣数任意平趣上，任意点处抟矢量磁鬣蠢均与过镶平落的卦源电流密度，。平行。根强上面融对称场舶定义可知，课题所研究的场属子辙对弥场，因此场中的矢量磁位仅有周向分量也，且文与周向坐标妒无关，即黛热秀2 AAp,z)咯 (3-)国外，本节所讨论的瞄环线圈魑用半衽无限小的圆形缅蹲线绕成鼠有一定半径瀚荤匮通电回路。根据革匝满环线丽的面电流密魔表达式42j在平磷：=：h任意点(P，庐，z)簸静箍魄流密纛可稻葶函数表示为K(p，妒，#)=18(p-Pd甏程我们可隧写毫辫3i辑示鼙瀣菡环线甏矢羹磁
20、位A矫满是游透戆鲻遂：约慕方程：V 2爿罐一DL2氐=0 3-2)式中i=1。2边界条件：空心圆柱线圈的电感计算无限远条件：粤oAlf 2：“lim+。A2l (33)lirn一丝一期m。0A2-1-*0 O ：。阿(尸一p， (34)zOzM一 +O 。” 。 L jq J式中，：厣，i=1，2。313约束方程的通解limA=0 (35)利用分离变量法4 31求解边值问题(3-2)(3-5)。设4。=R(P)z(：)则方程(32)可写成R” R 1 Z1百+面一7一i (36)上式左端是变量P的函数，右端是变量Z的函数，而P和Z是两个独立变量，所以要使上式成立，必有兰：一牙Z这里二是与P和Z
21、均无关的分离常数。从而有(37)p：R。+肚一(p：才+1)月=O (38)臼SturmLiouville方程(简称SL方程)的定义及其性质441知五0。所以方程(38)的解为R(p)=c【(五p)+c2I(p) r 3-9、式中 ，。(如)一一第一类一阶贝塞尔函数K(印)一一第二类一阶贝塞尔函数。在此基础上，我们可求出方程(37)的解郑州大学工学硕士论文z(z、=c3e。+c4e一。因此约束方程(3-2)的通解可写成(310)j(p，z)=fo It,，(助)+c：I(如)】(。，“+c。8一“)d五 (311)314各场区矢量磁位表达式第一类和第二类贝塞尔函数具有以下性质1441：x_0时
22、， Jt(z)有界，r(J)无界；x一。时， J1(x)和Z(曲均有界。利用上述性质并计及无限远条件(3-5)可得各个场区的周向分量表达式4。=J?O C1，dj(2p)e“d7 ，=z r (31 3)把式(312)、(31 3)代入边界条件(3-3)、(3-4)可求得c11=掣州印7)e“(3-14)c：=#02IPj，(印)8“(3-15)故所求的矢量磁位为4，=华r以(印)(和)8i(z-z)m ，：， (317)32通电空心圆柱线圈的矢量磁位根据21节的假设，可以把空心圆柱线圈看成是无限多个圆环线圈-l 2一空心回柱线圈的电感计算的集合体，从而空心圆柱线圈中任意点处的电流元为dI=d
23、pdz把式(316)和(317)中的I换成dI，并定义U(R，R2,2)=万1篡2州m(3-1 8)利用叠加原理可导出通电空心圆柱线圈在各个场区产生的矢量磁位1)线圈下端面以下区域的矢量磁位4=圭M f吣，(圳em+争。“(3-19)D=23)线圈上、下端面之间区域的矢量磁位 在区域一詈i3)线圈两个端面之间区域的磁感应强度。：皂胁以r U(RBU(R：，月：，A)u(劫)g叫扣一8叫：号d兄w 27胁、以-aIn t，月：，A)U(劫)g一一8_。d五+鲁卢。以j?u(尺，R，丑)兄，0(五p)2一。一it詈-z)一。-2(z+导，d兄326D D一了：i空心圆柱线圈的电感计算34磁力线方程
24、磁力线是为了直观地表示磁感应强度口的分布而引入的概念。磁力线是这样的曲线：在它上面的每一点处，磁感应强度丑的方向和该点的切线方向一致。故磁力线也称之为B线。在磁场中只要某点的磁场曰存在，就有磁力线通过。所以磁力线充满了可求磁场的全部空间。为了使磁力线能够定量地描述磁场，对磁力线的密度规定如下：通过菜点上垂直于五矢量的单位面积内的磁力线条数等于该点B矢量的模。这样，磁场越强的地方磁力线就越密。对磁力线的密度规定后，就能够计算通过一个给定面积的磁通量(即磁力线的条数)。设有一曲面J，通过该曲面的磁通量为2 JsBdS (3-27)当曲面是闭合曲面时，由高斯定理可得庐2舻心2 J罗BdV=0 (3-
25、28)这说明每一条磁力线都是无头无尾的闭合曲线。这是磁力线的一个重要特性。为了得到空心圆柱线圈的磁力线方程，如前所述，我们取圆柱坐标系(P，妒，：)，且使其对称轴与z轴重合。设点P(P，妒，：)为磁力线上任意一点，根据轴对称场的性质得其矢径为72pep+朋： (3-29)它的微分为dr2dp+妇： (3-30)由微分的性质知d，表示在点P处与磁力线相切的矢量。根据磁力线的定义，dr必定在点P处与磁感应强度刀共线。因此有dp dzBi (31)o 3-这就是磁力线所满足的微分方程。式(3-31)看上去形式比较简单，但由于磁力线是闭合益线，从而可知该微分方程的解是多值的。所以实际求解微分方程(3-
26、31)是比较1 S郑州大学工学硕士论文困难的。为了可以方便地求解磁力线方程，我们用矢量磁位一来表示磁感应强度召。根据轴对称场的性质知，矢量磁位A仅有周向分量以，由磁感应强度占和矢量磁位一的关系，并利用圆柱坐标系下的相关矢量公式可得磁场分量为B：V仁挲O矿去掣巳 (332)zj o op 4(333)(334)将(333)、(3-34)代入(331)，整理石得4竺+VdpP +警出=。 ，Cz ! 、一。由全微分的定义可知式(3-35)小括号中的内容恰是心的全微分，所以可得到誓+堡：o(3-36)A p 。对上式进行积分得倒口2 C (3-37)其中C是积分常数。式(337)就是所求的空心圆柱线
27、圈的磁力线方程。从该方程可以看出给定积分常数C后，p就是z的函数，或=就是p的函数。给定”个Z(或P)，利用方程(337)就可以求出对应的月个D(或：)的值，从而可得到H个点(pi，z，)，i=1，2，H。将这H个点用光滑曲线连接起来，就可得到对应于常数C的磁力线。反过来，要做通过某一特定点(风，=。)的磁力线的方法如下：将风，z。代入磁力线方程(3-37)求盟出型妒一烈一=，=P土pDu=口仝心例枉域捌阴电辱计算出积分常数c0，然后保持c0不变，不断地改变z(或P)，从方程(3-37)中解出相应的口(或z)的值，最后用一条光滑曲线将这些点连接起来得到的磁力线就是所求的通过特定点(岛，)的磁力
28、线a下面我们利用式(3-37)导出另一种形式的磁力线方程。设在圆柱坐标系下，有一圆形平面S垂直于对称轴，其半径为p，圆心和z轴重合。显然由轴对称场磁感应强度的性质可求得通过该圆形区域的磁通为庐2 J尹dS2 j。(B一+B：巳)P：凹2 j。E衄 (3-38)=l：d币l：pB又p，z)dp=2耳l：pB文p，z)dp另一方面庐2 9一出2 J。脚pd妒 (3-39)=2：zpA。式(3-38)和式(339)应该相等，从而可得到l：pB：I郎)dp=pA，根据式(337)，上式可写为要pB：t阳)如=C(340)(341)这就是用磁感应强度口的轴向分量表示的磁力线方程。磁力线方程(337)和(
29、341)两者是等价的。在求磁场磁力线分布式，究竟采用那种形式，要视情况而定。当用表面电流法容易求得矢量磁位A时，采用式(3-37)求磁力线时较好；当用表面磁荷法容易求得磁感应强度曰的轴向分量时，采用式(341)较好。由前面给出的空心圆柱线圈的矢量磁位A的表达式(319)、(320)、17郑州大学工学硕士论文(3-23)和磁感应强度曰的表达式(324)(3-26)可知，磁力线方程(3-37)和(3-41)的形式比较复杂，积分结果难以直接求出。因此在一般情况下使用数值方法来求解磁力线方程。由公式(324)一(326)可知空心圆柱线圈磁感应强度的径向分量嚣。是关于z的奇函数，轴向分量口，是关于：的偶
30、函数。同时根据3 12节中所提到的轴对称场的相关性质，我们在求空心圆柱线圈的磁场时，可以选用平面坐标，而且仅研究第一象限的磁场即可。至于其它象限的磁场则可以根据其对称性获得。这样就能大大降低计算量。因此，我们在做磁力线分布图时，也可以仅画出第一象限的磁力线分布，而其它象限的可以利用对称性做出。图32就是根据磁力线方程和以上的分析做出的磁力线分布图。图32第一象限的磁力线分布图Fig32 The distributed map of magnetic flux lines in the first quadrant需要说明的是，本节所推出的磁力线方程不仅仅适用于空心圆柱线圈。它也适用于所有轴对称
31、磁场的磁力线求解。空心圆柱线圈的电感计算第4章空心圆柱线圈的电感电感是自感和互感的总称。在不存在磁介质的情况下，电感值的大小取决于线圈的几何结构。它是表征线圈自身属性的一个量，所以电感的计算是一个重要的问题。本章利用矢量磁位推出了计算空心圆柱线圈自感的解析表达式，并给出了表达式中函数丁的计算方法。最后给出了计算同轴空心圆柱线圈互感的方法。41空心圆柱线圈的自感411解析表达式设线圈是由很细的导线密绕而成，通有电流，线圈的总匝数是肜匝流密度是”。，线圈的绕线区域所占的空间是y，截面面积是S。图41空心圆柱线圈Fig41 Air-cored solenoid coil则第m匝导线所匝链的磁链为郑州
32、大学工学硕士论文鼍。=谤dS=f可一dsJ=d一dlJk式中S。一一线圈第m匝导线所围成的曲面f。一一线圈第m匝导线所围成的曲面的边界。由式(41)可写出线圈所匝链的总磁链根括21币的1鼓馊州作如P罾珙：耋t换成LIdl换成以dy这里以是线圈的电流密度。这样，式(4-2)变为甲=扭一Jcd矿从而可得到51工=手=F1弘桫(41)(42)(43)(44)通电空心圆柱线圈的矢量磁位仅有周向分量也，且在任意点(p，声，z)处的矢量磁位A和电流密度以同方向，所以工=专一砌=軎r2 L，A,d矿(4-5)J扣 。=等J：中压D pA，dz37 J叩坞p把式(3-23)代入式(4-5)整理可得到阻配，rl
33、1一，l一，=I|空心圆柱线圈的电_!嗒计算而其中令f=如。三=等f唧愚epz妒心-e-剐“争z蚪 巧eM(助)如2虿1璧“( (4-7)=2U(R,，足，A)瞥e峙：“-e州扣卜三仃“-1) 。，把式(4-7)、(4-8)代入式(4-6)，并利用Jo=noI可得L=2za。n。2 fu2(R1，马，旯)(尬+e-AD 1)dZ(4-9)以线圈的内半径R为基准把线圈的各个长度量归一化，且令R，p 2莆，其中P和q称之为形状参数。则D口=一1 R， 石=一R吣忍班专e啪)dr=等r哪灿 =群陆r删比照U(曷，R2，)的定义令u(1，p，工)-专f碣(f)出从而得到(411)邦州大掌工学螂士论文u
34、(置，R2，A)=R?u(1，P，x) r 4-12)利用以上结果，式(4-9)可转化成L=2掣。R?丁(g，p) (4一l 3)式中r(q，p)=fu2(1，P，x)(私+e-qx_1)血 (414)式(41 3)就是所求的空心圆柱线圈的自感解析表达式。412函数Hg，p)的计算利用式(413)求空心圆柱线圈电感时，最关键的是计算函数T(q，P)。下面介绍两种计算方法。1)数值计算法由于式(4-14)包含了复杂的积分，要求出其准确解比较困难，所以我们可以使用数值方法求其近似解。对于其中的积分，可采用高斯拉盖尔求积公式145】。为保证精度，应选取求积节点大于15。我们在附录2中给出了用数值方法
35、求解时用到的程序。2)图表法在许多工程实际应用中，一般都事先根据相关公式制作出对应函数的曲线图或函数表。在求解时，只要根据相关的参数在图或数表中找到对应的函数值，然后通过一些简单的四则运算就能求得我们所感兴趣的一些量。用图表法求解比较直观、方便，但结果的精度较低，尤其是图或数表中没有对应的场点时。在工程中当精度要求不是十分严格时，我们推荐使用图表法。使用图表法求电感时最重要的就是相关图形或函数表的建立和使用。在本节我们给出T(q，p)的函数表，在413节中我们将用几个例子介绍该函数表的使用及怎样用数表法求电感。对于式(414)，如果事先设定一组数ql 2qo+hqi，f：1，2，MPj 2 p
36、0+kpjj：、，2N22空心圆柱线圈帕电感计算计算对应的函数值r(q；，P，)，就能形成相应的关于丁(吼，P，)的两维函数表，这里K，是步长。表41中给出了T(q，P)的函数表。利用此函数表能快速、方便地求解出空心圆柱线圈的电感。在此对此函数表的使用作如下说明：(1)函数表的最左一列是形状参数q，最上一行是形状参数P。(2)函数表中丁值的最大绝对误差是510。(3)当所给的形状参数在函数表中没有对应的丁值时，使用下面的插值公式计算即可得到所需的丁值。丁(g，p)：T(qo,Po)+三蔓亟二旦立二!里趔(gg。)吼一go+垫：盟二弛：盟(J口一风) (4-15)PtPo式中，q和P是待求函数，
37、所对应的形状参数，10qq，P。PP。，g。和q，、风和P是在函数表中可直接找到的相邻的形状参数，如图42所示。413应用实例Po Plqo T(qo，P。)T(qo，P】)可I T(ql，po) r(qI，P【)圈42函数丁示意图Fig42 Sketch map of function T侧1设空心圆柱线圈的参数：内半径R，=004m，外半径R2=006m，线圈长度D=020m，匝流密度n。=25x105。解形状参数P=R2RI=15，q=DRI=5，查表41，可得T m 06859 a23郑州太学王学颈士论文表4。l蛹敷r(g，)的计算袭参数o参数4lm Ii0 llS 1i0 I 25
38、130 t拍O lm 1j0 I SS 】神 a00 n a瓣 0矾 n0。l a0I n0i 强02 氇0， e侧j 000“ a0005口【O 0 00I n蚍 00002 OO3 nO005 006 OOO澜 OmlO 00012 a-001 000【la15 n o。叭 a0。0： 00。04 aoo酣OlO n档 嘲17 筑22 026 A3】 0嬲E0 00000 n忡0z O肿呐 00叫7 n11 016 00022 挣 O07 0 0044 氇邓 哪65D笛 001 a呻 0O6 n0010 n17 O0025 00034 OO。4】 0吣55 n0066 n0080 09Bn
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