1、定积分之换元法,与分部积分法,考察定积分,积分上限函数及其导数,变下限定积分,变上限定积分和变下限定积分通称为变限定积分,(x)和(x)是a,b上的连续函数。,定理 如果函数f(x)在区间 a,b上连续，则变上限定积分,在a,b上可导，且它的导数是,即(x)是f(x)在a,b上的一个原函数。,证,由积分中值定理得,例1 求下列函数的导数,解,解,练习,解,（1 ）,（2）,例1 求下列函数的导数,解,（3 ）,解,（4 ）,如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S(t)，则在时间段T1,T2内所发生的位移变化为S(T1)-S(T2),如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知,微积分基本
2、公式,而,？,设 在区间 上连续， 是它的任意一个原函数，,微积分基本公式牛顿莱布尼兹公式,证明思路,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例2 求下列定积分,解 因为 在 上连续， 是它的一个原函数,所以,解 原式,解,解,解 原式,解 原式,解,分段函数的积分计算，应分区间选取相应的函数,解,例3 求,例4 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,例1,定积分的换元法,换元必须换限,不换元则不变限,凑微分,另解 原式,解 原式,？,解 原式,积分 变量变，积分区间变,定积分的换元法,定理,应用换元公式时应注意:,（2）,（1）,例2,定积
3、分的换元法,换元必须换限,解,令,原式,定积分的换元法,换元必须换限,解,原式,解,令,原式,定积分的换元法,换元必须换限,证,例5,解 原式,解 原式,定积分的换元积分法小结 1、基本换元规律，与不定积分相同；2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代， 但必须做到换元同时换限。,定积分的分部积分法,定积分的分部积分公式,例6,解 原式,解,定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,解,定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,解 原式,解 原式,所以,定积分的分部积分法小结 1、u与dv的选择规律，与不定积分的规律完全相同；2、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函 数的函数值之差。,
