1、2014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 1 页 共 11 页几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题:1.函数:二次函数有最大值和最小值；一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。2.不等式: 如 x7，最大值是 7；如 x5，最小值是 5.3.几何图形： 两点之间线段线段最短。直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。一、最小值问题例 1. 如图 4，已知正方形的边长是 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 为线段 AC 上的一动点，求 DN+MN 的最小值。解: 作点 D 关于 AC 的对称点
2、D/，则点 D/与点 B 重合，连 BM,交 AC 于N，连 DN，则 DN+MN 最短,且 DN+MN=BM。 CD=BC=8,DM=2, MC=6,在 RtBCM 中,BM= =10,682DN+MN 的最小值是 10。例 2，已知，MN 是O 直径上，MN=2,点 A 在O 上，AMN=30 0,B是弧 AN 的中点，P 是 MN 上的一动点，则 PA+PB 的最小值是 解:作 A 点关于 MN 的对称点 A/,连 A/B,交 MN 于 P，则 PA+PB 最短。连 OB，OA /,AMN=30 0,B 是弧 AN 的中点，BOA /=300, 根据对称性可知NOA /=600, MOA
3、 /=900,在 RtA /BO 中，OA /=OB=1,图 1LBCBA图 4 NB CA DMPO NMBAA/EAM O P NB2014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 2 页 共 11 页A /B= 即 PA+PB=22例 3. 如图 6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4),试在直线 y=x 上确定一点 P，使点 P 到D、E 两点的距离之和最小，并求出最小值。解:作点 E 关于直线 y=x 的对称点 M，连 MD 交直线 y=x 于 P，连 PE，则 PE+PD 最短；即 PE+PD=MD。E(-1,-4), M(-4,-1),过 M 作 MNx 轴的直线交过 D 作 DN
4、y 轴的直线于N，则 MNND, 又D(1,-3),则 N(1,-1), 在 RtMND 中,MN=5,ND=2, MD= = 。259最小值是 。29练习1.（2012 山东青岛 3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm【答案】15。【解】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后侧面是一个长 18 宽 12 的矩形，作点 A 关于杯上沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN 于点 P，连接 BM，过点 C 作 AB
5、 的垂线交剖开线 MA 于点 D。由轴对称的性质和三角形三边关系知APPC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP。由已知和矩形的性质，得 DC=9，BD=12。图 6-4y=xyx432O 112-1-2-3-4-1-2-3P NME D2014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 3 页 共 11 页在 RtBCD 中，由勾股定理得 。22BCD915APPC=BPPC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm。2.正方形 ABCD 边长是 4，DAC 的平分线交 CD 与点 E，点 P,Q 分别是 AD,AE 上的动点（两动点不重合），则 PQ+DQ 的最小值是 解：过点 D 作
6、DFAC，垂足为 F，则 DF 即为 PQ+DQ 的最小值正方形 ABCD 的边长是 4，AD=4，DAC=45，在直角ADF 中，AFD=90，DAF=45，AD=4，DF=ADsin45=4 =22故答案为 23.（2009陕西）如图，在锐角ABC 中，AB4 ，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM MN 的最小值是_解:过 B 作关于 AD 的对称点 B/,则 B/在 AC 上，且 AB=AB/=4 ,MB=MB/,B/MN 最短，即为 B/H 最短。在 RtAHB /中，B /AH45，AB /=4 ，B /H=4,BM M
7、N 的最小值是 4.4.如图，菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为 ，解：四边形 ABCD 是菱形，ADBC，A=120，B=180A=180120=60，作点 P 关于直线 BD 的对称点 P，连接 P/Q，PC，则 P/Q 的长即为 PK+QK 的最小值，由图可知，HB/ DNMCBA DNMCBA2014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 4 页 共 11 页当点 Q 与点 C 重合，CP /AB 时 PK+QK 的值最小，在 RtBCP /中，BC=AB=2，B=60，CP/=BCsinB=2 =
8、 5. (2012 兰州)如图，四边形 ABCD 中，BAD120，BD90，在 BC、CD上分别找一点 M、N，使AMN 周长最小时，则AMNANM 的度数为【 】A130 B120 C110 D100解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A，A，连接 AA，交 BC 于 M，交 CD 于 N，则 AA即为AMN 的周长最小值作DA 延长线 AH，EAB120，HAA60，AAMAHAA60，MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)260120，故选：B6. （2011贵港）如图所示，在边长为 2 的正ABC 中，E、
9、F、G 分别为 AB、AC、BC的中点，点 P 为线段 EF 上一个动点，连接 BP、GP，则BPG 的周长的最小值是 解：要使PBG 的周长最小，而 BG=1 一定，只要使 BP+PG 最短即可，连接 AG 交 EF 于 M，等边ABC，E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中点，AGBC，EFBC，AGEF，AM=MG，A、G 关于 EF 对称，2014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 5 页 共 11 页即当 P 和 E 重合时，此时 BP+PG 最小，即PBG 的周长最小，AP=PG，BP=BE，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3故答案为：37.（第
10、二阶段十三）在平面直角坐标系中，RtOAB 的顶点 A 的坐标是（9，0），tanBOA= ，点 C 的坐标为（2，0），点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小3值为 67解：作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DNOA 于 N，则此时 PA+PC 的值最小，RtOAB 的顶点 A 的坐标为（9，0），OA=9，tanBOA= AB=3 ，B=60，3AOB=30，OB=2AB=6 3由三角形面积公式得：S OAB = OAAB= OBAM，12即 93 =6 AM，3AM= ， AD=2 =9，929AMB=90，B=6
11、0，BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA，NDA=30，AN= 12AD= ，由勾股定理得：DN= = = ，92ADN293C（2，0），CN=92 = ，925在 RtDNC 中，由勾股定理得：DC= = =2C293567即 PA+PC 的最小值是 ，672014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 6 页 共 11 页8.（2013 苏州）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3， ），点 C 的坐标为（ ，0），点 P 为斜边 OB 上的一动点，则312PAC 周长的最小值为（ ）解：作 A 关于 OB 的对称点 D，连接
12、 CD 交 OB 于 P，连接AP，过 D 作 DNOA 于 N，则此时 PA+PC 的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3， ） ，AB= ，OA=3，B=60，由勾股定理得：OB=2 ，由三角形面积公式得： OAAB= OBAM，AM= ，AD=2 =3，AMB=90，B=60，BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA，NDA=30，AN= AD= ，由勾股定理得：DN= ，C（ ，0） ，CN=3 =1，在 RtDNC 中，由勾股定理得：DC= ，即PAC 周长的最小值为 + ，529.（2013徐州模拟.仿真一）在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点
13、A,B,C 的坐标分别是（0，0），（20，0）（20，10）。在线段 AC、AB 上各有一动点 M、N，则当 BM+MN 为最小值时，点 M 的坐标是（ ）解：如图，作点 B 关于 AC 的对称点 B，过点 B作 BNOB 于 N，BN 交 AC 于 M，则BN=BM+MN=BM+MN，BN 的长就是 BM+MN 的最小值连接 OB，交 DC 于 P四边形 ABCD 是矩形，DCAB，BAC=PCA，点 B 关于 AC 的对称点是B，PAC=BAC，PAC=PCA，PA=PC2014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 7 页 共 11 页令 PA=x，则 PC=x，PD=20-x在 RtADP
14、 中，PA 2=PD2+AD2，x 2=（20-x） 2+102，x=12.5cosBON=cosOPD，ON：OB=DP：OP，ON：20=7.5：12.5，ON=12tanMON=tanOCD，MN：ON=OD：CD，MN：12=10：20，MN=6点 M 的坐标是（12，6） 故答案为（12，6） 10.如图，在矩形 ABCD 中，AB=20,BC=10,在 AC、AB 上各取一点 M、N,使得 BM+MN 有最小值，求最小值。解：如图，作点 B 关于直线 AC 的对称点 B，交AC 与 E，连接 BM，过 B作 BGAB 于 G，交 AC 于 F，由对称性可知，BM+MN=BM+MNB
15、G，当且仅当 M 与 F、点 N 与 G 重合时，等号成立，AC=10 ，5点 B 与点 B关于 AC 对称，BEAC，S ABC = ACBE= ABBC，12得 BE=4 ，BB=2BE=855因BBG+CBE=ACB+CBE=90，则BBG=ACB，又BGB=ABC=90，得BGBABC，/BGACBG=16，故 BM+MN 的最小值是 16cm故答案为：16cm11.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10，点 P 是对角线 BD 上的一个动点，M、N 分别是BC、CD 边上的中点，则 PM+PN 的最小值是解:作点 N 关于 BD 的对称点 N，交 AD与 N/，连接 N/M，则
16、N/M=AB 最短。故答案为：MN /=10cmB CDA BMN PNNMBCAD2014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 8 页 共 11 页12.（仿真六）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 BC 中点P 是 BD 上的一个动点（P 与B、D 不重合）（1）求证：APBCPB；（2）设折线 EPC 的长为 y，求 y 的最小值，并说明点 P 此时的位置解：AE= ,BD=2 ,52可证 BP= BD,BP= ,距 B 点 。132313.如图，ABC 是等腰直角三角形，C=90 0，BC=2 ，B 是三角形的角的平分线，点2E、F 是 BD 和 BC 上的动点，则 CE+EF
17、的最小值解：作 C 关于 BD 的对称点 C/,过 C/作 C/FBC 于 F，则 CE+EF的最小值是 C/F。C/FAC，/=BA/24C /F=2, CE+EF 的最小值是 2.14.如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC,AD=DC=4,BC=8,N 中 BC 上，CN=2,E 是 BC 的中点，M是 AC 上的一个动点，则 EM+MN 的最小值解：作 N 点关于 AC 的对称点 N，连接 NE 交 AC 于MDAC=ACB，DAC=DCA，ACB=DCA，点 N 关于 AC 对称点 N在 CD 上，CN=CN=2 ，又DC=4，EN为梯形的中位线，DB CAEF CDB CAEFPE
18、BCAD2014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 9 页 共 11 页EN= （AD+BC）=6 ，12EM+MN最小值为：EN=616.已知等腰梯形 ABCD，ADBC,AB=DC,AC 平分BCD,BAAC,若 AC=4 ,P、M、N 分别是3AC、AD、DC 上的任意一点，则 PM+PN 的最小值解：作点 N 关于 AC 的对称点 N/,过 N/作 BC 的垂线交 AD 于 M,MN/交AC 于点 P，则 MN 最短是夹在 AD 与 BC 间的垂线段最短。可知B=60 0,在RtABC 中，AC=4 ，则 AB=4.3在 RtABH 中，AH=sin60 04= 4=2 .即 PM+PN
19、 的最小值是 2 。323二，最大值问题知识点:求 的最大值；A,B 在直线 l 的同侧.A,B 在直线 l 的两侧.PAB1.两点 A,B 在直线 MN 外的同侧，点 A 到 MN 的距离 AC=8，点 B 到 MN 的距离BD=5,CD=4，P 在直线 MN 上运动，则 的最大值是 。PB PDCB A l PP ll B / ABPPBA EP/ PDCBA lCDABMNP HNCDABMNP2014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 10 页 共 11 页解：延长 AB 交 L 于点 P，P /A-P/B=AB，由三角形三边关系可知 AB|PA-PB|，AB|PA-PB|，当点 P 运
20、动到 P点时，|PA-PB|最大，BD=5，CD=4，AC=8，过点 B 作 BEAC，则 BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3，AB 2= AE2+BE2=16+9=25AB=5|PA-PB|=5 为最大 故答案为：52.已知在ABC 中，AB=3,AC=2,以 BC 为边的BCP 是等边，求 AB 的最大值和最小值。解:将PAC 绕 P 点逆时针旋转 600得到PBA /,则 AA/=AP A/B=AC,APA /=600,可得到等边三角形 AA/P.AB=3,AC=A /B=2,则 AA/：AB-A /BAA /AB+A /B即 1AA /5,故 AP 的最大值是 5，最小值是
21、1.3.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上任意一点（可与 B 点或 C 点重合），分别过 B、C、D 作射线 AP 的垂线，垂足分别是B、C、D，则 BB+CC+DD的最大值为 2 ，最小值为 2解：连接 AC、DP， S 正方形 ABCD=11=1，由勾股定理得：AC=AB=1，1AP 2SDPC =SAPC = APCC，11=S 正方形 ABCD=SABP+SADP+SDPC= AP（BB+DD+CC），12A /PCBA2014 年几何图形中的最值问题谷瑞林第 11 页 共 11 页 AP=1/BB+DD+CC121AP ,即 AP ，12 1/BB+DD+CC （如 ）121432 BB+CC+DD2，故答案为：2，
