1、Ch .6 线性系统综合目录 ( 1/ 1)目 录 概述 6.1 状态反馈与输出反馈 6.2 反馈控制与极点配置 6.3 系统镇定 6.4 系统解耦 6.5 状态观测器 6.6 带状态观测器的闭环控制系统 6.7 Matl ab问题 本章小结系统解耦 ( 1/ 3)6.4 系统解耦 耦合是生产过程控制系统普遍存在的一种现象。 在一个 MI MO系统中 , 每一个输入都受多个输出的影响 , 每个输出受多个输入的控制 , 当一个控制量的变化必然会波及其它量的变化 , 这种现象称为耦合。 所谓解耦 , 就是消除系统间耦合关联作用。 如果一个输入量只受一个输出量影响 , 即一个输出仅受一个输入控制 ,
2、 这样的系统称为无耦合系统。系统解耦 ( 2/ 3) 在许多工程问题中 , 特别是过程控制中 , 解耦控制有着重要的意义。 目前许多在航天 , 发电 , 化工等方面的控制系统难于投入运行 , 不少是因耦合的原因造成 , 因此解耦问题的研究十分重要。 若一个 m维输入 u 和一个 m维输出 y 的动力学系统 , 其传递函数矩阵是一个对角线有理多项式矩阵则称该多变量系统是解耦的。11 ( ) 0( )0 ( )mmW sW sW s = 系统解耦 ( 3/ 3) 实现解耦有两种方法 : 补偿器解耦 状态反馈解耦 。前者方法简单 , 但将使系统维数增加 , 后者虽然不增加系统的维数 , 但利用它实现
3、解耦的条件比补偿器解耦相对苛刻。 下面分别介绍这两种解耦方法。补偿器 解耦 ( 1/ 7)6.4.1 补偿器解耦 图 6- 3 所示的为前馈补偿器解耦框图。 图 6- 3 中 , Gp ( s ) 为原系统的传递函数阵 , Gc ( s ) 为补偿的传递函数矩阵 , 即解耦控制器。图 6- 3 串联解耦方框图)( sGc )( sGp)( sY)( sU-补偿器 解耦 ( 2/ 7) 根据串联组合系统的传递函数公式可知串接补偿器后前向通 路的传递函数为G ( s ) = Gp ( s ) Gc ( s )其中反馈回路的的传递矩阵为 G ( s ) = I , 那么系统的闭环传递函数为 :W(
4、s ) = I + Gp ( s ) Gc ( s ) - 1 Gp ( s ) Gc ( s ) 用 I + Gp ( s ) Gc ( s ) 左乘上式，有 I +Gp ( s ) Gc ( s ) W( s ) = Gp ( s ) Gc ( s )即Gp ( s ) Gc ( s ) I - W( s ) =W ( s )补偿器 解耦 ( 3/ 7) 分别用 ， I - W ( s ) - 1 左乘与右乘上式，有 为实现系统解耦 , 要求为 W( s ) 对角线矩阵，因此 , I - W ( s ) 也为对角线矩阵。 故，得出 Gp ( s ) Gc ( s ) 也需为对角线矩阵。 即
5、为实现如图 6- 3 所示结构的系统的解耦 , 应取合适补偿器 Gc ( s ) 使 Gp ( s ) Gc ( s ) 是非奇异对角线矩阵。 1 ( )pG s 11( ) ( ) ( ) ( )c pG s G s W s I W s = 补偿器 解耦 ( 4/ 7) 例 6- 8 例 6-8 已知系统如图 6- 4 所示 ,图 6-4 串联解耦及补偿器方框图1u2u)(1 1 sGc)(1 2 sGc)(2 2 sGc)(2 1 sGc121+s111+s-1y2y1r2r对象补偿器 解耦 ( 5/ 7)试设计一补偿器 Gc ( s ) , 使闭环系统的传递函数矩阵为 :1u2u)(11
6、 sGc)(12 sGc)(22 sGc)(21 sGc121+s111+s-1y2y1r2r对象1 01( )105 1sW ss += + 解 由图 6- 4 可求得被控对象部分的传递函数矩阵为 :1 02 1( )111psG ss += + 补偿器 解耦 ( 6/ 7) 根据 补偿器 Gc ( s ) 的求解公式 , 有 111( ) ( ) ( ) ( )1 10 0 02 1 1 11 1 51 0 01 5 1 5 12 1 0( 1 ) ( 2 1 ) 15c pG s G s W s I W sss s sss s ssss s ss s= + + += + + + + =
7、+ + + 补偿器 解耦 ( 7/ 7) 基于所求解的补偿器 Gc ( s ) , 可实现如图 6- 3 示的解耦控制系统。 例 6- 8 求得的解耦补偿器 Gc ( s ) 的传递函数阵的某个元素出现分子多项式阶次高于分母多项式阶次 , 这会带来该解耦控制器工程上物理实现的困难 , 一般工程上只能做到近似实现。状态反馈 解耦 ( 1/ 16)6.4.2 状态反馈解耦 所谓状态反馈解耦 , 即通过对系统设计状态反馈律 , 构造状态反馈闭环控制系统 , 使得闭环系统的输入输出间实现解耦。 状态反馈解耦问题的模型描述为 : 对给定的被控系统的状态空间模型为其中 u,y为 m维向量 , x 为 n
8、维向量 , A 为 n n 方阵 , B为 n m矩阵 , C为 m n 矩阵。= +=x A x B uy C x状态反馈 解耦 ( 2/ 16) 对上述系统 , 构造如下状态反馈控制律 :u = - K x + H vH H H使得闭环系统的输入输出实现完全解耦。 这里 K是一个 m n 的非奇异的反馈矩阵 , H H H H 是一个m m的实常数非奇异矩阵 , v 是 m维的外部输入向量。 我们通常将 v 作为系统的输入 , y 作为系统输出时 , 求使该系统解耦的 K和 H H H H 的问题称为借助于状态反馈的解耦问题。状态反馈 解耦 ( 3/ 16) 如图 6- 5 所示的为用状态
9、反馈实现解耦的系统。- -u yv xH B ACK图 6- 5 用状态反馈实现解耦状态反馈 解耦 ( 4/ 16) 将状态反馈解耦控制律作用在状态空间模型上 , 可得如下闭环控制系统状态空间模型 状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵 K与 H, 从而使闭环系统是解耦的。 对于该解耦控制问题 , 有如下完全状态反馈解耦控制律存在的条件。( )A BK BHC= +=x x uy x状态反馈解耦 ( 5/ 14) 状态反馈解耦条件 对被控系统和状态反馈解耦控制律 , 状态反馈解耦系统实现输入输出间完全解耦的充分必要条件为如下定义的矩 阵 E 是非奇异矩阵。 其中 是系统输出矩阵 C中第 i
10、行向量 , 是从 0 到 n - 1 之间的某一正整数 , 且 l i 应该满足不等式 的一个最小 j , ( 1 , 2 , )iC i m= 1212mlllmC A BC A BEC A B = , ( 1 , 2 , )il i m= 0jiC A B 状态反馈 解耦 ( 6/ 16) 即 l i 的定义为 : 该解耦条件的证明思路为 : 根据上述定义的 l i , 定义=1,.,1,0,010,1,.,1,0,0nkBACnBACjkBACjlkijikii1211121mlllmC AC AFC A+ = 状态反馈 解耦 ( 7/ 16) 若选取反馈矩阵 K和前馈矩阵 H H H
11、H 如下 至此 , 把所得的代入闭环系统状态空间模型 , 得 :121111 1 121,mlllm+ + = = = C AC AK E F E H EH H HC A- 1 1( ) = +=x A B E F x B E vy C x状态反馈 解耦 ( 8/ 16)则可以证明系统闭环传递函数矩阵为121 1 1111( ) ( )1 0110mllls s Fsss += + = W C I A B E B E状态反馈 解耦 ( 9/ 16) 可以看出 W( s ) 是对角线矩阵 , 所以其闭环系统是一个完全解耦系统。 另外 , 传递函数对角元素均是积分环节 , 故称这样的系统为具有积分
12、型的解耦系统。 下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解耦。 例 6-9 设系统的状态空间模型为：试用状态反馈把系统变成积分型解耦系统。 解 给定系统的传递函数矩阵为 0 0 0 1 00 0 1 0 01 2 3 0 11 1 00 0 1 = + = x x uy x状态反馈解耦 ( 10/14)状态反馈 解耦 ( 11/16) 因此 , 系统存在耦合现象。 系统的状态图如图 6- 6 所示。213 1 1( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2)( ) ( )1( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2)s ss s s s sG s C s I A Bss s s s + + + + +
13、 + = = + + + + 状态反馈解耦 ( 1 2/ 14)图 6- 6 开环系统方框图 1 23+-2x1x2y1y2u1u3x 23 xx =状态反馈 解耦 ( 13/16) 由C1 B = 1 0, C2 B = 0 1知l 1 = l 2 = 0此时有1211221 00 1llC BC A BEC BC A B = = = 121 111 220 0 11 2 3llC AC AFC AC A+ = = = 状态反馈 解耦 ( 14/16) 由于 E是非奇异阵 , 所以系统可以解耦。 因此 , 状态反馈解耦矩阵为110 0 11 2 31 00 1 = = = = K E FH
14、EH H H状态反馈 解耦 ( 15/16) 此时闭环系统状态方程和输出方程为：0 0 1 1 0( ) 0 0 1 ( ) 0 0 ( )0 0 0 0 11 1 0( ) ( )0 0 1t t tt t = + = x x vy x状态反馈 解耦 ( 15/16)其传递函数为则系统变成两个互相无耦合的子系统 , 如图 6- 7 所示。11( ) ( )10 1 1 0 01 1 0 0 1 0 00 0 1 100 0 0 1W s C s I A BK BHs sss s= + = = 状态反馈 解耦 ( 16/16)图 6- 7 解耦后的系统框图 另一方面 , 从式 ( 6- 34)可以看出 , 积分型解耦系统的闭环极点全是零 , 显然系统是不稳定的 , 所以这种解耦方法不令人满意。 不过可以对完全解耦的每个 S I S O子系统单独设计一个状态反馈律将每个解耦的子系统的极点配置到所需要的位置上去。1u2u1y2y1 111 0( ) ( 6 34)10mllsss+ = = W
