1、第一章 质点运动学1-1 已知质点沿 x 轴作周期性运动，选取某种单位时其坐标 x 和 t 的数值关系为，求 t = 0, 3, 6, 9, 12 s 时质点的位移、速度和加速度。6sin3解：位移 ，速度 tdtv6cos2，加速度t6in3)0(.dtvas12对于不同的时刻，相应的 x、v、a 值见下表（长度单位设为米）：t (s) x(m) v(m/s) a(m/s2)0 0 /2 03 3 0 -2/126 0 -/2 09 -3 0 2/1212 0 /2 01-2 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r =R( costi+sintj )求(1)质点轨迹，(2) 速度和加速度，并证
2、明其加速度总指向一点。解（1） , , ； .tRxcostysin22yx上上（2） ,)co(jdrv.上, si2rttta1-3 在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数数值形式为r = 4 t2 i+(2t+3) t j 求(1)质点轨迹，(2) 从 t=0 到 t=1 的位移，(3) t = 0 和 t= 1 两时刻的速度和加速度。解:（1） ； 0，y3, 质点轨迹为抛物线的一段（见2)3(,4yxytxx上右图）.(2) ；,5)1(,30(jirj jir24)(1， .m22上 624,51tgx上(3) ； ，大小为 ,方向沿 y 轴jitdv8jv)0( smv/)0(向
3、； ,大小为 ,方向与 x)1( 728)1(2轴夹角为 ； , ，方向沿 x 轴1482tgidtva/sa正向. 1-4 站台上一观察者，在火车开动时站在第一节车厢的最前端，第一节车厢在 t1 = 4.0s内从他身旁驶过。设火车作匀加速直线运动，问第 n 节车厢从他身旁驶过所需的时间间隔 t n 为多少。令 n = 7，求 tn解：火车初速 ，加速度为 a，每节车厢长为 l，第一节车厢经过观测者所需时间为0v且 . 若第 1 至 n 节车厢经过观察者所需总时间为 ，,41statl21 nt则显然： , ；故第 n 节车厢经过者所需时12nntl 1tt间为： .)(4)(1ttn令 n
4、= 7, 则 .s78506471-5 一球从高度为 h 处自静止下落。同时另一球从地面以一定初速度 v0 上抛。v 0 多大时两球在 h2 处相碰?解：法一: 因两球的重力加速度均为 g 朝下，故以上球为参照系。两球自出发点至相碰点所费时间由 可知为 ；等价地，相当于下球以 向21tht ght0上抛.法二：由运动方程 , ; 2gts上 210hgtvs上解得 , ght.0htv1-6 一球以初速 v0 竖直上抛，t 0 s 后在同一地点以同样速率向上抛出另一小球。问两球在多高处相遇?解：设前、后球相遇的时间分别为 t ,t1；相遇的高度分别为 y、 y1；则 ， ；以 及 代入，解得2
5、01gty210gvy01tt， .01/vt 081-7 一物体作匀加速直线运动，走过一段距离s 所用的时间为 t1，紧接着走过下一段距离s 所用的时间为 t2，试证明，物体的加速度为 .22tsa证明：走过第一段距离为 , 2110ttvs走过两段距离为 22)()(ta；)1()( 2211021 tatsttavt 由此解得 , .)(21121tstts 212tt1-8 路灯距地面的高度为 h1，一身高为 h2 的人在路灯下以匀速 v1 沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度 v2 .解：设人与离路灯在地面上投影点的距离为 x1,人影顶端与同点的距离为 x2则;,212
6、11xxh2即人影的顶端作匀速运动。.121212 constvhdtxhdtxv1-9 设 为由炮位所在处观看靶子的仰角， 为炮弹的发射角。试证明：若炮弹命中靶点恰为弹道的最高点，则有 tan = 2tan解： , ;gymsin20 gxmsi20或：txt 1cosi21 tgt21-10 在同一竖直面内的同一水平线上 A、 B 两点分别以 30、60 为发射角同时抛出两个小球，欲使两球在各自轨道的最高点相遇，求 A、 B 两点之间的距离。已知小球 A 的初速为 vA0 = 9.8m/s解：由 ，得 ;gvyABmA260sin3si02 003vmgvvxA BA8.32.98)312
7、( )62sii(001-11 飞机以 v0 = 100 的速度沿水平直线飞行，在离地面高 h = 98m 时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：(1)投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度? 此时目标距飞机在下方地点多远? (2)物品投出 1s 后，物品的法向加速度和切向加速度各为多少?解：（1）由 , 得 hgty21ght2.mvtxs 247508.900 , .ghtg2 4836.).21( t(2) ,22220 /96.01.109cos stgvayt ./75.8.in mtx又： ,Rvatgn22故 t = 1s 时的曲率半径为 g1.03518.9
8、)0(223 1-12 已知炮弹的发射角为 ，初速为 v0，求抛物线轨道的曲率半径随高度的变化。解： , ;tvyx sinco0上 gyvvyx202, )(21dtayxt ymxmB/2xmA/2习题 1-10;vgvgava xyytn 2222.3003)(cos1vgx1.13 一弹性球自静止竖直地落在斜面上的 A 点，下落高度 h = 0.20m，斜面与水平夹角 = 30问弹性球第二次碰到斜面的位置 B 距 A 多远。设弹性球与斜面碰撞前后速度数值相等，碰撞时入射角等于反射角。解：按题设着地立的速度为 .取斜面与铅垂面的交线为 轴，与斜面正交并向ghv20上的直线为 轴.由此可得
9、,)(13sin6co00 gtvtdtxv 2gy, . )21(0tvx )1(0gtvy小球碰到斜面时 , 于是有g.mhgvvxAB 802.42)41(200 1-14 一物体从静止开始作圆周运动。切向加速度 at = 3.00m/s2，圆的半径 R = 300m问经过多少时间物体的加速度 a 恰与半径成 45 夹角。解： , .tavRtvn2在 时， ；145cos02nt nta此时 .at.31-15 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速度为 v0 = 49.0m/s，而气球以速度 v = 19.6m/s 匀速上升，问气球中的观察者分别在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各为多少？解： , 8.940tgt上.vv观2 上观测者观测到物体的速度如右表所示:t(s) V 测物 (m/s)2 9.8 (快)3 0 （不动）4 -9.8 （慢）
