1、 概率论与数理统计习题及答案习题 一2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生；（3） A，B，C都发生； （4） A，B，C至少有一个发生；（5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.【解】（1） A （2） AB （3） ABC（4） A B C= C B A BC A C AB ABC= (5) = (6) (7) BC A C AB C A B = = (8) AB BC CA=AB A C BC ABC 3.略.见
2、教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（ ）.【解】 P（ ）=1?P（AB）=1?P(A)?P(A?B)=1?0.7?0.3=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2） 当A B= 时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概
3、率.【解】 P（A B C ）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)= + + ? = 7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p= 8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）= =（ ）5 （亦可用独立性求解，下同）（2） 设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故P（A
4、2）= =( )5(3) 设A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1?P(A1)=1?( )59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n30.如图阴影 示.22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之小 的概率；（2） 两个数之积小 的概率.【解】 设两数为x,y，currency10反）对性P（ 正正）=P（ 反反）因 P( 正正)= 46.证明“确 的原currency1”（Sure?thing）：P（A|C）P(B|C),P(A| )P(B| )，currency1P（A）P(B).【证】 P（A|C）P(B|C), 即有 同理
5、 故 47.一列”共有n，有k(kn)个 客 ” 随意地.求 一至少有一个 客的概率.【解】 设Ai= i是 的，（i=1,n）,currency1其中i1,i2,in?1是1，2， ，n中的任n?1个.n全 的概率是零， 是故 求概率为48.设随机试中，一事件A出的概率为0.试证明：不论0如小，要不地独立地 试，currency1A会出的概率为1.【证】在n 试中，A至少出一 的概率为49.中有m正品，n 品（ 品的两 有 ）.在中任取一，它 r ， 都 到 .试问 是正品的概率是多少？【解】设A= r 都 到 B= 为正品题 currency1 式50. （Banach）”盒问题：数学 有
6、 两盒”， 盒有N”， 用”时他在两盒中任取一盒 从中任取一.试求他 发一盒 时另一盒恰有r的概率是多少？ 一 用完一盒”时（不是发 ）而另一盒恰有r的概率有多少？【解】 B1 B2记”取不同两盒的事件，currency1有 .（1）发一盒 ，另一盒恰 r， 明取2n?r ，设n 取B1盒（ ），n?r 取B2盒， 2n?r+1 B1，发 把取2n?r ” 作2n?r 试，currency1 求概率为式中2反 B1与B2盒的对性（即 可 是B2盒 取 ）.（2） 2n?r?1 取”，有n?1 取B1盒，n?r 取B2盒， 2n?r 取B1盒，故概率为51.求n 试中A出数 的概率.【解】 设在
7、一 试中A出的概率为p.currency1 两式 求概率为要求在n 试中A出数 的概率，currency1要两式加，即 .52.设A，B是任意两个随机事件，求P（ +B）（A+B）（ + ）（A+ ）的值.【解】因为（A B ） （ ）=A B（ B） （A ）=AB 求 故 求值为0.53.设两两 独立的三事件，A，BC 条件：ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)0,P(A|B)=1,试比 P(A B) 与P(A)的大小. (2006 考)解：因为 .习题 1.一中有5乒乓”，编为1，2，3，4，5，在其中同时取3， X表示取出的3”中的最大码，出随机X的 .【解】故 求 为X 3 4
8、5P 0.10.30.62.设在15同类零件中有2为 品，在其中取3 ， 任取1，作不放回 ， X表示取出的 品个数，求：（1） X的 ；（2） X的 数 作图；(3).【解】故X的 为X 0 1 2P （2） 当xa时，F（x）=1即 数18.设随机X在2，5 服从 .对X 行三 独立观测，求至少有两 的观测值大 3的概率.【解】XU2,5，即故 求概率为19.设顾客在银行的窗口 待服务的时 X（ 钟计）服从 数 .顾客在窗口 待服务，超过10钟他 开.他一个月要到银行5 ， Y表示一个月他未 到服务而 开窗口的 数，试 出Y的， 求PY1.【解】依题意 ，即其密fl 数为该顾客未 到服务而
9、 开的概率为,即其 为20.人 汽”站 ”，有两条路可走. 一条路程 短但交通拥挤， 需时 X服从N（40，102）； 条路程 ，但阻塞少， 需时 X服从N（50，42）.（1） 身时 ”开有1小时，问 走 条路 ”的把握大？（2） ”开时 有45钟，问 走 条路赶 ”把握大？【解】（1） 走 一条路，XN（40，102），currency1走 条路，XN（50，42），currency1+故走 条路 ”的把握大.（2） XN（40，102），currency1XN（50，42），currency1故走 一条路 ”的把握大.21.设XN（3，22），（1） 求P20;(2) f(x)= 试确
10、数a,b， 求其 数F（x）.【解】（1） 故 即密fl 数为 当x0时 当x0时 故其 数(2) b=1即X的密fl 数为当x0时F（x）=0当00时， 故 (2) 当y1时 当y1时 故 (3) 当y0时 当y0时 故 31.设随机XU（0,1），试求：（1） Y=eX的 数及密fl 数；（2） Z=?2lnX的 数及密fl 数.【解】（1） 故 当 时 当10时， 即 数故Z的密fl 数为32.设随机X的密fl 数为f(x)= 试求Y=sinX的密fl 数.【解】 当y0时， 当00）=1，故06,currency1P（X1时， 即 故 51.设随机X的密fl 数为fX(x)= ,求Y=
11、1? 的密fl 数fY(y). 【解】 故 52.设一大设在任 为t的时 发生故障的 数N（t）服从参数为t的.（1） 求继两 故障之 时 隔T的概率；（2） 求在设经无故障工作8小时的 下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993 考）【解】（1） 当tt与N(t)=0 价，有即 即 隔时 T服从参数为的 数 （2） 53.设随机X的绝对值不大 1，PX=?1=1/8，PX=1=1/4.在事件?1P|Y-2|0)的， 客在中途下的概率为p（0p1），且中途下与否 独立， Y表示在中途下的人数，求：（1）在发时有n个 客的条件下，中途有m人下的概率；（2） 维随机（X，Y）的概率.【解】(1)
12、.(2) 24.设随机XY独立，其中X的概率为X ，而Y的概率密fl为f(y)，求随机U=X+Y的概率密flg(u). 【解】设F（y）是Y的 数，currency1 全概率 式，U=X+Y的 数为XY独立，可见， U的概率密fl为25. 25. 设随机X与Y 独立，且服从 0,3 的 ，求PmaxX,Y1.解：因为随即服从0，3 的 ， 是有因为X，Y 独立， 推 .26. 设 维随机（X，Y）的概率为?1 0 1?101 a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 c其中a,b,c为 数，且X的数学期望E(X)=?0.2,PY0|X0=0.5，记Z=X+Y.求：（1） a,b,c的值；（2
13、） Z的概率；（3） PX=Z. 解 (1) 概率的性 ，a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.，可 .再 ,.解 关 a，b，c的三个方程 .(2) Z的可 取值为?2，?1，0，1，2，即Z的概率为Z ?2 ?1 0 1 2P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) .习题四1.设随机X的 为X ?1 0 1 2P 1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.100个产品中有10个 品，求任意取出的5个产品中的 品数的数学期望 方差.【解】设任取出的5个产品中的 品数为X，currency1X的 为X 0 1
14、2 3 4 5P 故 3.设随机X的 为X ?1 0 1P p1 p2 p3且E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因 , ,联立解 4.中有N”，其中的”数X为一随机，E（X）=n，问从中任取1”为”的概率是多少？【解】记A=从中任取1”为”，currency15.设随机X的概率密fl为f（x）= 求E（X），D（X）.【解】 故 6.设随机X，Y，Z 独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机的数学期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ?4X.【解】(1) (2) 7.设随机X，Y 独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D
15、（Y）=16，求E（3X?2Y），D（2X?3Y）.【解】(1) (2) 8.设随机（X，Y）的概率密fl为f（x，y）= 试确 数k， 求E（XY）.【解】因 故k=2.9.设X，Y是 独立的随机，其概率密fl为fX（x）= fY（y）= 求E（XY）.【解】方 一： 求X与Y的值X与Y的独立性， 方 ：利用随机 数的值 式.因X与Y独立，故联 密fl为是10.设随机X，Y的概率密fl为fX（x）= fY（y）= 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X?3Y2）.【解】 从而(1) (2) 11.设随机X的概率密fl为f（x）= 求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）.【解】
16、(1) .(2) (3) 故 12.中有12个零件，其中9个 格品，3个废品.安机器时，从中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出 格品之取出的废品数为随机X，求E（X）D（X）.【解】设随机X表示在取 格品 取出的废品数，currency1X的可 取值为0，1，2，3.为求其 ，下 求取 可 值的概率， 是， 到X的概率表如下：X 0 1 2 3P 0.750 0.204 0.041 0.005可 13.一工厂生产 设的寿 X（ 年计）服从 数，概率密fl为f（x）= 为确保 费者的利 ，工厂规 出 的设在一年损坏可 调 . 出一台设，工厂获利100元，而调 一台currency1损失20
17、0元，试求工厂出 一台设 利的数学期望.【解】厂方出 一台设 利Y有两个值：100元?200元故 (元).14.设X1，X2， ，Xn是 独立的随机，且有E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2， ，n，记，S2= .（1） 证 =， = ；（2） 证S2= ；（3） 证E（S2）=2.【证】(1) (2) 因故 .(3) 因 ,故 同理因 ,故 .从而15.对随机XY，D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=?1,计算：Cov（3X?2Y+1，X+4Y?3）.【解】 (因 数与任一随机独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其 类 ).16.设 维随机（X，Y）的概率密fl为f
18、（x，y）= 试证XY是不关的，但XY不是 独立的.【解】设 .同理E(Y)=0.而 ,故X与Y不关.下 论独立性，当|x|1时， 当|y|1时， . 故XY不是 独立的.17.设随机（X，Y）的 为?1 0 1?101 1/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8证XY是不关的，但XY不是 独立的.【解】联 表中 有零元 ，X与Y不独立， 联 求 X，Y及XY的 ，其 如下表X ?10 1P Y ?10 1P XY ?10 1P 期望 义 E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)?E(Y),再 关系数性 XY=0,即X与Y的关系数为0，从而XY是不关的.
19、 从而X与Y不是 独立的.18.设 维随机（X，Y）在 （0，0），（0，1），（1，0）为 的三 服从 ，求Cov（X，Y），XY.【解】如图，SD= ，故（X，Y）的概率密fl为题18图从而 同理 而 .从而 19.设（X，Y）的概率密fl为f（x，y）= 求 方差Cov（X，Y）关系数XY.【解】 从而同理 故 20. 维随机（X，Y）的 方差 为 ，试求Z1=X?2YZ2=2X?Y的关系数.【解】 ：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而故 21.对 两个随机V，W，E（V2），E（W2） 在，证明：E（VW）2E（V2）E（W2）.一不 式为 （Couchy?Schw
20、arz）不 式.【证】 可见 关 t的 式非负，故其 式0，即 故 22.设一设开机后无故障工作的时 X服从参数=1/5的 数.设 时开机，出故障时 关机，而在无故障的 下工作2小时 关机.试求该设 开机无故障工作的时 Y的 数F（y）. 【解】设Y表示 开机后无故障的工作时 ， 题设设 发生故障的 待时 XE(),E(X)= =5.依题意Y=min(X,2).对 y0,f(y)=PYy=0.对 y2,F(y)=P(Xy)=1.对 0y2,当x0时，在(0,x)无故障的概率为PXx=1?e?x, F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=PXy=1?e?y/5.23. 两箱中有同 产品，其中 箱
21、中有3件 格品3件 品，箱中仅有3件 格品.从箱中任取3件产品放箱后，求：（1）箱中 品件数Z的数学期望；（2）从箱中任取一件产品是 品的概率. 【解】（1） Z的可 取值为0，1，2，3，Z的概率为, Z=k0 1 2 3Pk 因 ， (2) 设A表示事件“从箱中任取出一件产品是 品”，据全概率 式有24.设 加工的 零件的径X（ ）服从正态N（,1），径小 10大 12为不 格品，其 为 格品. 件 格品获利， 件不 格品亏损， 利 T（单 ：元）与 零件的径X有如下关系T= 问：平径取值时， 一个零件的平利 最大？ 【解】 故两 取对数有解 ( )可 ，当u=10.9 时，平利 最大.2
22、5.设随机X的概率密fl为f(x)= 对X独立地观 4 ，用Y表示观 值大 /3的 数，求Y2的数学期望.（2002 考）【解】 currency1 .因为及 ,从而 26.两台同 的 记 仪， 台无故障工作的时 Ti(i=1,2)服从参数为5的 数， 开 其中一台，当其发生故障时 用而另一台 开 .试求两台记 仪无故障工作的总时 T=T1+T2的概率密flfT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】 题意：因T1,T2独立， fT(t)=f1(t)*f2(t).当t0时，fT(t)=0;当t0时，利用 积 式 故 Ti E(5),故E(Ti)= ,D(Ti)= (i=1,2)因 ，有E(T)=E(T1+T2)= .因T1,T2独立， D（T）=D（T1+T2）= .27.设两个随机X，Y 独立，且都服从值为0，方差为1/2的正态，求随机|X?Y|的方差.【解】设Z=X?Y， 且XY 独立，故ZN（0，1）.因而，.28. 生产 个产品不 格的概率为p(0p1)，产品 格与否 独立，当出一个不 格产品时，即 机检 .设开机后 一 机时生产的产品个数为X，求E（X）D（X）. 【解】记q=1?p,X的概率为PX=i=qi?1p,i=1,2,，故 题29图
