1、第二章2一、填空题：1. ，xXP)(12xF2. ，k = 0，1，nknknpC3. 为参数， k = 0，1，,!e4. 15. 其 它 ,0)(bxabxf6. efx,21)(2)(7. xxx,)(28. )(ab9. X -1 1 2pi 0.4 0.4 0.2分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。10. 649分析：每次观察下基本结果“X1/2”出现的概率为 ，而本412)(1021- xdxf题对随机变量 X 取值的观察可看作是 3 重伯努利实验 ，所以649)1(42232CYP11. ,75.0.1.2.
2、 P,8950.1)3.(4.2()3.1()4.2( )216.()21.(.6.586 XPXP 同理，P| X | 3.5 =0.8822.12. .)3()( yFXPyYyG13. ，利用全概率公式来求解：4813.481331420 422 XPYXPYP二、单项选择题：1. B，由概率密度是偶函数即关于 纵轴对称，容易推 导F(-a)= dxfdxfdxfxfdxf aa 00a-0a-0 )(21)(21)()()(2. B，只有 B 的结果满足 limFx3. C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证4. D， ，可以看出 不超过 2，所以2,XYY 0,21 ,2,1 ,
3、,1)( 0 yeydxeyPyFyY，可以看出，分布函数只有一个间断点.5. C, 事件的概率可看作为事件 A（前三次独立重复射击命中一次）与事件 B（第四次命中）同时发生的概率，即.pCBPAp2313)()()(三、解答题（A）1(1)X 1 2 3 4 5 6pi 36697631分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36 种，如果 X=1，则表明两次中至少有一点数为 1，其余一个 1 至 6 点均可，共有（这里 指任选某次点数为 1，6 为另一次有 6 种结果均可取，1-62C12减 1 即减去两次均为 1 的情形，因为 多算了一次）或 种，故2C152C,其他结果
4、类似可得.36536-212XP(2) 6 1 65432 12 0)(x xXPXPXP xxxxF于 于于于于于6 1534 23 6720xxx于于于2X -1 99pi 1265注意，这里 X 指的是赢钱 数， X 取 0-1 或 100-1，显然 .126950CXP3 ，所以 .1!0aekea4(1) ，3x1241-x03x121-)( 于于于于于于XPxf(2) 、 、412pXP 2125XP；43323XP5(1) ，3121lim112242 iiXP于(2) ，6155(3) .7121lim23313iiXP于6(1) .50t50eXP(2) .25211xx7解
5、：设射击的次数为 X，由题意知 4，BkkkCP401098.2，其中 8=4000.02.972.08.1!810ekK8解：设 X 为事件 A 在 5 次独立重复实验中出现的次数， .305于BX则指示灯发出信号的概率 )7.7.03.30(113 3254155 CCPp ；6.89.9. 解：因为 X 服从参数为 5 的指数分布，则 ，51)(xeF，2)10(eFXP25eBY于则 0,1k)1()5 kCkY.67-52于eP10. (1)、由归一性知： ，所以 .2cos)(1axddxf 21(2)、 .4|in1cs4000XP11. 解 （1）由 F(x)在 x=1 的连续
6、性可得 ，即 A=1.)1(lim)(li11FxFx（2） .7.3. 03.).(（3）X 的概率密度 . ,2xf12. 解 因为 X 服从（0，5）上的均匀分布，所以 其 他051)(xxf若方程 有实根，则 ，即02422Xx 03216)4(2X，所以有实根的概率为 1X50512212xdxPp13. 解: (1) 因为 所以4)(3于NX)2(52FXP5328.0169.08413.5.01 )(0496.018.2)5.(23)(1XPX)(F)5.2().(5.0.230.1697.13XP)(F)0(1.5.0(2) ，则 ，经查表ccXP2c21)3(c得，即 ，得
7、；由概率密度关于 x=3 对称也容易看出。21)0(033(3) ，dXPdXP)(1F9.0)23(d则 ，即 ，经查表知 ，1.)(9.)2-(87.1故 ，即 ；283-4.014. 解： kXPkkX)()k)(1.0所以 ， ；由对称性更容易解出；95.0)(95.0)(kFp15. 解 则 ),(2NXXPXP)()(F)1(0.6821)(2上面结果与 无关，即无论 怎样改变， 都不会改变；XP16. 解：由 X 的分布律知p 5161530x -2 -1 0 1 32X4 1 0 1 92 1 0 1 3所以 Y 的分布律是Z 的分布律 为 17. 解 因为服从正态分布 ，所以
8、 ，),(2N2)(1)(xexf则 ， ，dxexFx2)(21)(yepyFxY)(当 时， ，则0y0)(yY0)(fY当 时，yxpyeFxln2)(l 1)(ln)( YYyf eY 0 1 4 9p 5370Y 0 1 2 3p 570所以 Y 的概率密度为 ；0e210)(2)(lnyyf yY18. 解 ， ，)1,0(UX 1(xxfypyYFY)(yF，所以 他)1() 0,10,1ffX19. 解： ，则)2,1(UX 其 他 2)(xxfyePyYFXY2当 时， ，0y 0)(当 时，)(yFY )ln21(ln21yFyXPX于 于42 4201 )l(0)l()(
9、)(exy exffYY 20. 解: (1) yXPyYFY3)(11 y31)(FX)1()(11 fyf 因为 于023)(xxfX所以 )31()(1yfyfXY于,13082y于,3082y(2) ，)3(133)(22 yFyXPyyYPyF XY )()(1)(22 fFxf X因为 ，于0xfX所以 )3()2yfyfXY他, 13,)(22yy他0,42,)3(y（3） PFY23)(当 时， ，0y 0)(3 yyY )()(33xFyfYY当 时， ，)3 yXXX(21)()()( 33 ffyFxyfYY 所以 ，0,0)(21)(3 yffyf XXY因为 ，于0)
10、(2xxfX所以 于,13)(3yyfY四应用题1解：设 X 为 同时打电话 的用户数，由 题意知 .20,1 BX设至少要有 k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为 0.99，则，其中9.0!8.020011 kiikiii eCP,2查表得 k=5.2解：该问题可以看作为 10 重伯努利试验，每次 试验下经过 5 个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为 1- ，记 X 为 10 块组件中不能正常4.0e工作的个数，则，)1,0(4.eBX5 小时后系统不能正常工作，即 ，其概率为2.89160 )(1()(2 104.1.0104.0. eCeCPX3解：因为 ，所以)4,
11、2(N)30()303 FXPX3149.084.571)25()(设 Y 表示三次测量中误差绝对值不超过 30 米的次数，则 ，)4931.0,(BX(1) .86.5-1)493.01(.103 CYP(2) .85694.2134解：当 时， 是不可能事件，知 ，0yyY0)(yF当 时，Y 和 X 同分布,服从参数为 5 的指数分布，知2，5051)(yyxedF当 时， 为必然事件,知 ，2yY1)(yF因此，Y 的分布函数 为；2,10e- ,)(5yF于5解：(1) 挑选成功的概率 ；70148Cp(2) 设 10 随机挑 选成功的次数为 X，则该 ，701，B设 10 随机挑选
12、成功三次的概率为：，0.36)71()031kCXP以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率 3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。（B）1. 解：由概率密度可得分布函数 6,163),(92,10,)(xxxF，即 ，易知 ；32kXP于 3)(kFk2. 解： X 服从 的均匀分布， ，又）（ ,1于210)(xxf ,01XY于则 ，3)(0202dfPY 1-11XPX所以 Y 的分布律为 2Y-1 1P 31323. 解： ，)1()1(1)( 333 yFyXPyPyFXY 32 )1()()( yffFf XY ；Ry,)1(3624. 证明：因 是偶函数，故
13、 ，xf )(xffx1)( yXPyXPyyYPFY )(1yFx所以 .)() fff xx5. 解：随机变量 X 的分布函数为，显然 ，8 ,1- ,0)(3xxF1,0)(xF，)()( yXPyYY当 时， 是不可能事件，知 ，0yF0)(yFY当 时， ，1 yPyY 11)( 33当 时， 是必然事件，知 ，yX)(yY即 。1 ,0 ,)(yyFY6. （1） 21-2)(1 yXPPY 当 时，即 时， ，02y1y 0)(21-1 dxFyY当 时，即 y1 时， ，1 21210-)(1 yyxY eXPy 所以；于1,02)(1yeyfY（2） ，)(2yePyYyFX
14、Y当 时， 为不可能事件， 则 ，0 0)(2 yePyFXY当 时， ，则 ，1y0lnyln)( ln2dxeyyXY当 时， ，则 ，l dxPFy1lnln02根据 得)()(22yfYY；1, 0)(22yfY（3） ，)(3XPyyFY当 时， ，00)(23 yY当 时， ，yyyxedXPy 103所以 ；0,2 )(3yefY7. (1) 证明：由 题意知 。,)(xxf，21211 yePyYyFeYXYx 于当 时， 即 ，0y0）（ 1于f当 时， ，1 ydxeyyey yXY 2ln2l)(1当 时， ，y 1ln)(021 dxePFY故有 ，可以看出 服从区间（0，1）均匀分布； 0,)(1yfY Y（2） -221222 yePyePFe XXx 于当 时， ，01y1)(22yxY当 时，10y，ydxeyXPyePF yXY 2)1ln(02 2)1ln(-1)(2于当 时，1y，02)1ln(-)( 2)1ln(22 dxyXePyXY由以上结果，易知 ，可以看出 服从区间（0， 1）均匀 0,)(2fY 2Y分布。
