1、第 5 章 树【例 5-1】写出如图 5-1 所示的树的叶子结点、非终端结点、每个结点的度及树深度。解：（1）叶子结点有：B、D、F、G、H 、I 、J。（2）非终端结点有：A、C、E。（3）每个结点的度分别是：A 的度为 4，C 的度为 2，E 的度为 3，其余结点的度为0。（4）树的深度为 3。【例 5-2】一棵度为 2 的树与一棵二叉树有什么区别？解：度为 2 的树有两个分支，但分支没有左右之分；一棵二叉树也有两个分支，但有左右之分，左右子树的次序不能交换。【例 5-3】树与二叉树有什么区别？解：区别有两点：（1）二叉树的一个结点至多有两个子树，树则不然；（2）二叉树的一个结点的子树有左
2、右之分，而树的子树没有次序。【例 5-4】分别画出具有 3 个结点的树和三个结点的二叉树的所有不同形态。解：如图 5-2(a)所示，具有 3 个结点的树有两种不同形态。如图 5-2(B)所示，具有 3 个结点的二叉树有以下五种不同形态。【例 5-5】如图 5-3 所示的二叉树，试分别写出它的顺序表示和链接表示（二叉链表） 。解：图 5-2(a)图 5-2(b)AB C D EF G H I J图 5-1（1）顺序表示。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11a b c d e f g（2）该二叉树的二叉链表表示如图 5-4 所示。【例 5-6】试找出满足下列条件的所有二叉树：（1）先序序
3、列和中序序列相同；（2）中序序列和后序序列相同；（3）先序序列和后序序列相同。解：（1）先序序列和中序序列相同的二叉树为：空树或者任一结点均无左孩子的非空二叉树；（2）中序序列和后序序列相同的二叉树为：空树或者任一结点均无右孩子的非空二叉树；（3）先序序列和后序序列相同的二叉树为：空树或仅有一个结点的二叉树。【例 5-7】如图 5-5 所示的二叉树，要求：（1）写出按先序、中序、后序遍历得到的结点序列。（2）画出该二叉树的后序线索二叉树。解：（1） 先序遍历序列：ABDEFC中序遍历序列：DEFBAC后序遍历序列：FEDBCA（2）其后序线索二叉树如图 5-6 所示。bacdef图 5-5NU
4、LLcabdef图 5-6ab cd ef g图 5-4 【例 5-8】将图 5-7 所示的树转换为二叉树。解：第一步，加线。第二步，抹线。第三步，旋转。过程如图 5-8 所示。A图 5-7B C D EF G H IK L MJA图 5-8(a) 第一步 加线B C D EF G H IK L MJA图 5-8(b) 第二步 抹线B C D EF G H IK L MJAB图 5-8(c) 第三步 旋转CF DK G EL HM IJ【例 5-9】将如图 5-9 所示的二叉树转换为树。解： 第一步，加线。第二步，抹线。第三步，调整。过程如图 5-10 所示。【例 5-10】将如图 5-11
5、所示的森林转换成二叉树。解： 步骤略，结果如图 5-12 所示。ABC DE F HI J图 5-9CDEFGABHILJK图 5-12图 5-11C DEF GABHI LJ KAB D HC FEJIBAC DE F HI J第一步 第二步 第三步BAC DE F HI J图 5-10【例 5-11】假定用于通信的电文由 8 个字符 A、B 、C、D、E、F、G、H 组成，各字母在电文中出现的概率为 5、25、4、7、9、12、30、8，试为这 8 个字母设计哈夫曼编码。解： 根据题意，设这 8 个字母对应的权值分别为（5，25，4，7，9，12，30，8） ，并且 n=8。（1）设计哈夫
6、曼树的步骤如图 5-13 所示。（2）设计哈夫曼编码利用第八步得到的哈夫曼树，规定左分支用 0 表示，右分支用 1 表示，字母A、B 、 C、D、 E、F 、G、H 的哈夫曼编码如下表示：A:0011 B:01 C:0010 D:1010第一步： 255 4 7 9 12 30 8第二步： 25 7 9 12 305498第三步： 2579 12 30549815第四步： 257 912 3081554918第五步： 257912308155491827第六步：253095491871281527 43第七步：2530954918712815274357第八步：2595491843307128
7、152757100图 5-13E:000 F:100 G:11 H:1011习题 5一、单项选择题1. 在一棵度为 3 的树中，度为 3 的结点数为 2 个，度为 2 的结点数为 1 个，度为 1 的结点数为 2 个，则度为 0 的结点数为（ 1. C）个。A. 4 B. 5 C. 6 D. 72. 假设在一棵二叉树中，双分支结点数为 15，单分支结点数为 30 个，则叶子结点数为（2. B ）个。A. 15 B. 16 C. 17 D. 473. 假定一棵三叉树的结点数为 50，则它的最小高度为（3. C ） 。A. 3 B. 4 C. 5 D. 64. 在一棵二叉树上第 4 层的结点数最多
8、为（ 4. D） 。A. 2 B. 4 C. 6 D. 85. 用顺序存储的方法将完全二叉树中的所有结点逐层存放在数组中 R1n，结点 Ri若有左孩子，其左孩子的编号为结点（5. B） 。A. R2i+1 B. R2i C. Ri/2 D. R2i-16. 由权值分别为 3,8,6,2,5 的叶子结点生成一棵哈夫曼树，它的带权路径长度为（6. D ） 。A. 24 B. 48 C. 72 D. 537. 线索二叉树是一种（ 7. C）结构。A. 逻辑 B. 逻辑和存储 C. 物理 D. 线性8. 线索二叉树中，结点 p 没有左子树的充要条件是（ 8. B） 。A. p-lc=NULL B. p
9、-ltag=1 C. p-ltag=1 且 p-lc=NULL D. 以上都不对9. 设 n , m 为一棵二叉树上的两个结点，在中序遍历序列中 n 在 m 前的条件是（9. B） 。A. n 在 m 右方 B. n 在 m 左方 C. n 是 m 的祖先 D. n 是 m 的子孙10. 如果 F 是由有序树 T 转换而来的二叉树，那么 T 中结点的前序就是 F 中结点的（10. B ） 。A. 中序 B. 前序 C. 后序 D. 层次序11. 欲实现任意二叉树的后序遍历的非递归算法而不必使用栈，最佳方案是二叉树采用（ 11. A）存储结构。A. 三叉链表 B. 广义表 C. 二叉链表 D.
10、顺序12. 下面叙述正确的是（ 12. D） 。A. 二叉树是特殊的树B. 二叉树等价于度为 2 的树C. 完全二叉树必为满二叉树D. 二叉树的左右子树有次序之分13. 任何一棵二叉树的叶子结点在先序、中序和后序遍历序列中的相对次序（13. A ） 。A. 不发生改变 B. 发生改变C. 不能确定 D. 以上都不对14. 已知一棵完全二叉树的结点总数为 9 个，则最后一层的结点数为（14. B ） 。A. 1 B. 2 C. 3 D. 415. 根据先序序列 ABDC 和中序序列 DBAC 确定对应的二叉树，该二叉树（ 15. A ） 。A. 是完全二叉树 B. 不是完全二叉树C. 是满二叉树
11、 D. 不是满二叉树二、判断题1. 二叉树中每个结点的度不能超过 2，所以二叉树是一种特殊的树。 （1. ）2. 二叉树的前序遍历中，任意结点均处在其子女结点之前。 （ 2. ）3. 线索二叉树是一种逻辑结构。 （ 3.）4. 哈夫曼树的总结点个数（多于 1 时）不能为偶数。 （4.）5. 由二叉树的先序序列和后序序列可以唯一确定一颗二叉树。 （5.）6. 树的后序遍历与其对应的二叉树的后序遍历序列相同。 （6.）7. 根据任意一种遍历序列即可唯一确定对应的二叉树。 （7.）8. 满二叉树也是完全二叉树。 （ 8.）9. 哈夫曼树一定是完全二叉树。 （9.）10. 树的子树是无序的。 （10.
12、 ）三、填空题1. 假定一棵树的广义表表示为 A（B（E） ，C（F（H，I，J） ，G） ，D ） ，则该树的度为_，树的深度为_，终端结点的个数为_，单分支结点的个数为_，双分支结点的个数为_，三分支结点的个数为_，C 结点的双亲结点为_，其孩子结点为_和_结点。1. 3，4，6，1，1，2，A，F，G2. 设 F 是一个森林，B 是由 F 转换得到的二叉树，F 中有 n 个非终端结点，则 B 中右指针域为空的结点有_个。2. n+13. 对于一个有 n 个结点的二叉树，当它为一棵_二叉树时具有最小高度，即为_，当它为一棵单支树具有_高度，即为_。3. 完全， 2log(1)n，最大，n4
13、. 由带权为 3，9，6，2，5 的 5 个叶子结点构成一棵哈夫曼树，则带权路径长度为_。4. 555. 在一棵二叉排序树上按_遍历得到的结点序列是一个有序序列。5. 中序6. 对于一棵具有 n 个结点的二叉树，当进行链接存储时，其二叉链表中的指针域的总数为_个，其中_个用于链接孩子结点，_个空闲着。6. 2n，n-1，n+17. 在一棵二叉树中，度为 0 的结点个数为 n0，度为 2 的结点个数为 n2，则 n0=_。7. n2+18. 一棵深度为 k 的满二叉树的结点总数为_，一棵深度为 k 的完全二叉树的结点总数的最小值为_，最大值为_。8. 2 k-1，2 k-1，2 k-19. 由三
14、个结点构成的二叉树，共有_种不同的形态。9. 510. 设高度为 h 的二叉树中只有度为 0 和度为 2 的结点，则此类二叉树中所包含的结点数至少为_。10. 2 h-111. 一棵含有 n 个结点的 k 叉树，_形态达到最大深度，_形态达到最小深度。11. 单支树，完全二叉树12. 对于一棵具有 n 个结点的二叉树，若一个结点的编号为 i(1in)，则它的左孩子结点的编号为_，右孩子结点的编号为_，双亲结点的编号为_。12. 2i，2i+1，i/2（或 i/2）13. 对于一棵具有 n 个结点的二叉树，采用二叉链表存储时，链表中指针域的总数为_个，其中_个用于链接孩子结点，_个空闲着。13.
15、 2n，n-1，n+114. 哈夫曼树是指_的二叉树。14. 带权路径长度最小15. 空树是指_，最小的树是指_。15. 结点数为 0，只有一个根结点的树16. 二叉树的链式存储结构有_和_两种。16. 二叉链表，三叉链表17. 三叉链表比二叉链表多一个指向_的指针域。17. 双亲结点18. 线索是指_。18. 指向结点前驱和后继信息的指针19. 线索链表中的 rtag 域值为_时，表示该结点无右孩子，此时_域为指向该结点后继线索的指针。19. 1，RChild20. 本节中我们学习的树的存储结构有_、_和_。20. 孩子表示法，双亲表示法，长子兄弟表示法四、应用题1. 已知一棵树边的集合为，
16、 ， ， ， ， ，请画出这棵树，并回答下列问题：（1）哪个是根结点？（2）哪些是叶子结点？（3）哪个是结点 g 的双亲？（4）哪些是结点 g 的祖先？（5）哪些是结点 g 的孩子？（6）哪些是结点 e 的孩子？（7）哪些是结点 e 的兄弟？哪些是结点 f 的兄弟？（8）结点 b 和 n 的层次号分别是什么？（9）树的深度是多少？（10）以结点 c 为根的子树深度是多少？1. 解答：根据给定的边确定的树如图 5-15 所示。其中根结点为 a；叶子结点有：d、m、n、j、k、f、l；c 是结点 g 的双亲；a、c 是结点 g 的祖先；j、k 是结点 g 的孩子；m、n 是结点 e 的子孙；ab
17、cd e g f him nj k i图 5-15e 是结点 d 的兄弟；g、h 是结点 f 的兄弟；结点 b 和 n 的层次号分别是 2 和 5；树的深度为 5。4. 已知用一维数组存放的一棵完全二叉树：ABCDEFGHIJKL，写出该二叉树的先序、中序和后序遍历序列。4. 解答： 先序序列：ABDHIEJKCFLG中序序列：HDIBJEKALFCG后序序列：HIDJKEBLFGCA6. 找出所有满足下列条件的二叉树：（1）它们在先序遍历和中序遍历时，得到的遍历序列相同；（2）它们在后序遍历和中序遍历时，得到的遍历序列相同；（3）它们在先序遍历和后序遍历时，得到的遍历序列相同；6. 解答：（
18、1）先序序列和中序序列相同的二叉树为：空树或者任一结点均无左孩子的非空二叉树；（2）中序序列和后序序列相同的二叉树为：空树或者任一结点均无右孩子的非空二叉树；（3）先序序列和后序序列相同的二叉树为：空树或仅有一个结点的二叉树。7. 假设一棵二叉树的先序序列为 EBADCFHGIKJ，中序序列为 ABCDEFGHIJK，请写出该二叉树的后序遍历序列。7. 解答：后序序列：ACDBGJKIHFE8. 假设一棵二叉树的后序序列为 DCEGBFHKJIA，中序序列为 DCBGEAHFIJK，请写出该二叉树的后序遍历序列。8. 解答：先序序列：ABCDGEIHFJK9. 给出如图 5-14 所示的森林的先根、后根遍历结点序列，然后画出该森林对应的二叉树。9. 解答：先根遍历：ABCDEFGHIJKLMNO后根遍历：BDEFCAHJIGKNOML森林转换成二叉树如图 5-16 所示。10给定一组权值（5，9，11，2，7，16） ，试设计相应的哈夫曼树。10. 解答：构造而成的哈夫曼树如图 5-17 所示。ABD E FCGHJIKN OML图 5-14
