1、14321-1-4 -2 2 421专题：正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图） ，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。【典型例题】例 1：（1）已知随机变量 X 服从二项分布，且 E（X ）=2.4，V （X）=1.44，则二项分布的参数 n，p 的值为 （ ）An=4， p=0.6 B n=6,p=0.4 Cn=8，p=0.3 Dn=24，p=0.1答案：B。解析： ， 。4.2npE4.1)(pnV（2）正态曲线下、横轴上，从均数到 的面积为
2、 ( )。A95% B50% C97.5% D不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B。解析：由正态曲线的特点知。（3）某班有 48 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80，标准差为 10，理论上说在80 分到 90 分的人数是 （ ）A 32 B 16 C 8 D 20答案：B。解析:数学成绩是 XN(80,102)，。80908(809) (1)0.34,.13611PXPZPZ（4）从 1，2，3，4，5 这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为_ 。答案：8.5。解析：设两数之积为 X，X 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20P 0.1 0.1 0.1
3、 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1 为 ，2 为 ，)(1,x)(2x则 ， （填大于，小于）1答案：，。解析：由正态密度曲线图象的特征知。例 2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格.（）求甲答对试题数 的概率分布及数学期望；（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：（）依题意，甲答对试题数 的概率分布如 下：甲答对试题数 的数学期望 E= .596132103（
4、）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则 0 1 2 3P 362P(A)= = ，P(B)= . 3106426C32154206310828C因为事件 A、B 相互独立，方法一：甲、乙两人考试均不合格的概率为 451321BPA甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 451答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 45方法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 451325132BAPBAP答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 .4例 3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 X 和 Y，其分布列如下： （1）求 a,b 的 值；（2）比较两名射手的水平.答案：
5、（1）a=0.3,b=0.4;（2） 23.04.23.01,.26031.2.0 EYEX,85DY所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.例 4：一种赌博游戏：一个布袋内装有 6 个白球和 6 个红球，除颜色不同外，6 个小球完全一样，每次从袋中取出 6 个球，输赢规则为：6 个全红，赢得 100 元；5 红 1 白，赢得 50 元；4 红 2 白，赢得 20 元；3 红 3 白，输掉 100 元；2 红 4 白，赢得 20 元；1 红 5 白，赢得 50 元；6 全白，赢得 100 元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心
6、动”.。答案：设取出的红球数为 X，则 XH（6，6，12） ， ，其中 k=0,1,2,6612()kCPX设赢得的钱数为 Y，则 Y 的分布列为X 100 50 20 100P 14626775140231 ，故我们不该“心动” 。150()05029.46273EY 0.1 0.6Y 1 2 3P 0.3 b 0.33【课内练习】1标准正态分布的均数与标准差分别为( )。A0 与 1 B1 与 0 C0 与 0 D1 与 1答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2正态分布有两个参数 与 ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。A 越大 B 越小 C 越大 D 越小答案： C。解析：由正态密
7、度曲线图象的特征知。3已在 个数据 ，那么 是指nnx,21 niix12A B C D （ ）答案：C。解析：由方差的统计定义知。 4设 ， ， ，则 的值是 。),(pn2E4Vn答案：4。解析： ，14)1(p5对某个数学题，甲解出的概率为 ，乙解出的概率为 ，两人独立解题。记 X 为解出该题的人数，则33E（X） = 。答案： 。解析： 。17212145(0),(),4232PXPX231()4P 。57()026设随机变量 服从正态分布 ，则下列结论正确的是 。)1,(N(1) 0|)|()|( aPaP(2) )(2| (3) 1)|(4) )0(| aPa答案：(1),(2),
8、(4) 。解析： 。|7抛掷一颗骰子，设所得点数为 X，则 V（X）= 。答案： 。解析： ，按定义计算得 。35121(),2,66Pk 735(),()21EXV8有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。 答案： 由于 E（甲）=E（乙） ，V（甲）V（乙） ，故选择甲单位。解析：E（甲）=E（乙）=1400，V（甲）=40000，V（乙）=160000。甲单位 1200 1400 1600 1800概率 0.4 0.3 0.2 0.1乙单位 1000 1400 1800 2200概率 0.4 0.3 0
9、.2 0.149交 5 元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球 10 个，其中有 8 个标有 1 元钱，2 个标有 5 元钱，摸奖者只能从中任取 2 个球，他所得奖励是所抽 2 球的钱数之和（设为 ） ，求抽奖人获利的数学期望。答案：解：因为 为抽到的 2 球的钱数之和，则 可能取的值为 2，6，10. ， ，458)2(10CP4516)6(208CP451)0(2CP16E设 为抽奖者获利的可能值，则 ，抽奖者获利的数学期望为5785)(故，抽奖人获利的期望为- 。10甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或乙解出的概率为 0.92.（1）求该题被乙独
10、立解出的概率；（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差.答案：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为 A、B.设甲独立解出此题的概率为 P1，乙为 P2. 则 P（A）=P 1=0.6, P(B)=P20 1 2P 0.08 0.44 0.48，0.81.42.8.4096.E，222()0(1)(1)480.156.704.1280.4V或利用 。22.3690.E1212122()()() 0.920.6.0.94386()().40.81()20.48.42:BPPAPB则 即 分的 概 率 分 布 为5【作业本】A 组1袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，从中任取 3 球
11、，以 X 表示取出球的最大号码，则 E（X ）等于 （ ）A、4 B、5 C、4.5 D、4.75答案：C。解析：X 的分布列为X 3 4 5P 0.1 0.3 0.6故 E（X）=3 0.1+4 0.3+5 0.6=4.5。2下列函数是正态分布密度函数的是 （ ）A B21)(rxexf2)(xexfC D412)(xf 21)(xf答案：B。解析：选项 B 是标准正态分布密度函数。3正态总体为 概率密度函数 是 （ ）1,0)(xfA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数答案：B。解析： 。2()xfxe4已知正态总体落在区间 的概率是 05，那么相应的正态曲线在 时达到
12、最高点。,.0 x答案：0.2。解析：正态曲线关于直线 对称，由题意知 。x0.25一次英语测验由 40 道选择题构成，每道有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得 3 分，选错或不选均不得分，满分 120 分，某学生选对一道题的概率为 0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。答案：84；75.6。解析：设 X 为该生选对试题个数， 为成绩，则 XB （50，0.7） ，=3XE(X)=400.7=28 V(X)=400.70.3=8.4故 E()=E(3X)=3E(X)=84 V()=V(3X)=9V(X)=75.66某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，
13、再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 ，求此人试验次数 X 的分布列及期望和方差。32解：X 的分布列为X 1 2 3P 23919故 ， 。2()139EX28()4()VX7甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中 10 环的概率为 0.5，乙射击一次命中 10 环的概率为 s，若他们独立的射击两次，设乙命中 10 环的次数为 X，则 EX= ，Y 为甲与乙命中 10 环的差的绝对值.求 s 的值及3Y 的分布列及期望.6答案：解：由已知可得 ，故 ),2(sBX32,42ssEX所 以有 Y 的取值可以是 0，1 ，2. 甲、乙两人命中 10 环的次数都是
14、 0 次的概率是 ，61)(12甲、乙两人命中 10 环的次数都是 1 次的概率是 ，92)3甲、乙两人命中 10 环的次数都是 2 次的概率是 9)3(2所以 ；369361)0(YP甲命中 10 环的次数是 2 且乙命中 10 环的次数是 0 次的概率是 ，361)(12甲命中 10 环的次数是 0 且乙命中 10 环的次数是 2 次的概率是 9所以 ，故36591)(YP 2)()(1)(YPYP所以 Y 的分布列是Y 1 2 3P所以 Y 的期望是 E（Y）= 。978一软件开发商开发一种新的软件，投资 50 万元，开发成功的概率为 0.9，若开发不成功，则只能收回10 万元的资金，若
15、开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费 10 万元，召开新闻发布会成功的概率为 0.8，若发布成功则可以销售 100 万元，否则将起到负面作用只能销售 60 万元，而不召开新闻发布会则可能销售 75 万元.（1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率.（2）求开发商盈利的最大期望值.答案：解：（1）设 A=“软件开发成功” ，B=“新闻发布会召开成功 ” 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是 P(AB)=P(A)P(B)=0.72.（2）不召开新闻发布会盈利的期望值是 (万元)；5.1890)75()9.01(41 E召开新闻发布会盈利的期望值
16、是（万元）.24)6()8.(9.072)510()9.(402 E故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是 24.8 万元7B 组1某产品的废品率为 0.05，从中取出 10 个产品，其中的次品数 X 的方差是 （ ）A、0.5 B、0.475 C、0.05 D、2.5答案：B。解析：XB（10， 0.05） ， 。()10.590.475VX2若正态分布密度函数 ，下列判断正确的是 （ ）21(),xfxeRA有最大值，也有最小值 B有最大值，但没最小值 C有最大值，但没最大值 D无最大值和最小值答案：B。3在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布 ，那么考试成绩在区间 内的概率是
17、)36,10( 12,8（ ）A06826 B03174 C09544 D09974答案：C。解析：由已知 XN（100，36） ，故 。8121(812)()(2)(2)10.95466PPZPZP4袋中有 4 个黑球，3 个白球，2 个红球，从中任取 2 个球，每取到一个黑球得 0 分，每取到一个白球得 1分，若取到一个红球则得 2 分，用 X 表示得分数，则 E（ X）= _；V(X)= _.答案： ； 。解析：由题意知，X 可取值是 0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：915X 0 1 2 3 4P 6366E(X)=0 +1 2 3 4 19V(X)= + 20162622136
18、24165注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数 X 的分布列。5若随机变量 X 的概率分布密度函数是 ，则 = )(,2)(82, Rxex )2(XE。答案：-5。解析： 。2,(1)2()1()5EX6一本书有 500 页，共有 100 个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数 X 的均值、标准差。解：XB 1 1(0,)(0.,()0()0.96555VX 的标准差 。.468VX87某公司咨询热线电话共有 10 路外线，经长期统计发现，在 8 点至 10 点这段时间内，外线同时使用情况如下表所示：电话同时打入次数X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10概率 0.
19、13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 0 0 0 0若这段时间内，公司只安排 2 位接线员（一个接线员只能接一部电话）.（1）求至少一路电话号不能一次接通的概率；（2）在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间至少一路电话不能一次接通，那么公司形象将受到损害，现在至少一路电话不能一次接通的概率表示公司的“损害度”，求这种情况下公司形象的“损害度”；（3）求一周五个工作日的时间内，同时打入电话数 X 的数学期望.答案：解：（1）只安排 2 位接线员则至少一路电话号不能一次接通的概率是1-0.13-0.35-0.27=0.25；（2） “损害度” ；5124)3(5C（3）一个工作日内这一时间内同时打入电话数的期望是 4.87，所以一周内 5 个工作日打入电话数的期望是24.358一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为 35.6 小时、标准差为 4.4 小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于 40 小时的概率是多少？答案：解：电池的使用寿命 XN(35.6,4.42)则 35.640.(40)()(1(1)0.587PXPZ即这节电池可持续使用不少于 40 小时的概率是 0.1587。本资料来源于七彩教育网http:/
