1、一、 选择题（本题共 5 小题,每小题 3 分，共 15 分)(从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ） 。(A) 1，1 ，i , i (B) 1，1 (C) 1，1，i2、设 H 是群 的子群，a， b ，则 aH = bH 的充要条件是（ ） 。(A) a1 b1 H (B) a1 bH (C) ab1 H3、在模 6 的剩余类环 Z6 中，Z 6 的极大理想是( )。(A) （ ） ， （ ） (B) （ ） (C)（ ）3234、若 Q 是有理数域,则(Q( ):Q)是( )。(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。(A)
2、欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环 二、填空题（本题共 5 空，每空 3 分，共 15 分）（请将正确答案填入空格内）1、R 为整环，a，bR ，b|a，则（b） （a） 。2、F 是域，则 是域当且仅当 。()xf3、域 F 上的所有 n 阶方阵的集合 M (F)中，规定等价关系n:A B 秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有_个。4、6 次对称群 S 中,(1235) (36)=_。615、12 的剩余类环 Z12 的可逆元是 。三、判断题（本题共 5 小题,每小题 2 分，共 10 分）（请在你认为正确的题后括号内打“” ，错误的打“”
3、）1、设 是群， H， 若对任意 a,bH 可推出 abH ， 则 HG （ ）G2、群 中的元 ， ,则 。 ( ) ,ab()2,7,ba()14ab本题得分本题得分本题得分3、商环 是一个域。 （ ）6Z4、设 f 是群 G 到群 的同态映射，若 ， 则 。 （ ） 1()fHG5、任意群都同构于一个变换群。 （ ）四、计算题（本题共 2 小题,每小题 10 分，共 20 分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、找出 的全部理想，并指出哪些是极大理想。对极大理想 ,写出 的全部元。6Z K6Z2、确定 3 次对称群 S3 的所有子群及所有正规子群。五、证明题（本题共 4 小题,每小题 10
4、 分，共 40 分）1、 设 f 是群 G 到群 的满同态，N 是 G 的正规子群，证明：。KerNGf)(2、设 N G, G:N=2008, 证明：对 , 恒有 。x208x3、设 R 为交换环，若 R 的理想 PR,则 R P 是整环当且仅当 P 是素理想。4、设 Rx是实数域 R 上的一元多项式环，取 ，证明：21，C 为复数域。2(1)近世代数测试题（一）一、 选择题（本题共 5 小题,每小题 3 分，共 15 分)(从下列备选答案中选择正确答案)1、设 G Z，对 G 规定运算 o，下列规定中只有（ ）构成群。(A) aob=a+b-2 (B) aob=a b (C) aob=2
5、a+3 b （“”为数的乘法）本题得分本题得分2、设 HG，a，bG，则 H a = H b 的充要条件是（ ）.(A) abH (B) ab1 H (C) a1 bH3、在整数环 Z 中，包含（15）的极大理想是（ ） 。(A) （3） (B) （5） (C) （3）或（5）4、若 Q 是有理数域,则(Q( ):Q)是( )3(A) 6 (B) 3 (C) 25、下面不成立的命题是（ ）(A) 域是整环 (B) 除环是域 (C) 整数环是整环二、填空题（本题共 5 空，每空 3 分，共 15 分）（请将正确答案填入空格内）1、环 Z(i)=a+bi|a,b Z的单位是 _。2、若 a 是群
6、G 中的一个 8 阶元 ,则 a 的阶为_ 。63、设 M100 (F)是数域 F 上的所有 100 阶方阵的集合,在 M100 (F)中规定等价关系下：AB 秩(A)=秩(B )，则这个等价关系所决定的等价类共有_个。4、6 次对称群 S 中,(1245) (46)=_。615、12 的剩余类环 Z12 的零因子是 。三、判断题（本题共 5 小题,每小题 2 分，共 10 分）（请在你认为正确的题后括号内打“” ，错误的打“” ）1、若 H N， H G,那么 NH G。 （ ）2、设 I 是一主理想环，则 I 是一欧氏环。 （ ）3、商环 是一个域。 （ ）(9)Z4、设 f 是群 G 到
7、群 的同态映射，H G，则 f (H) 。 （ ） 5、素数阶的群 G 一定是循环群。 （ ）四、计算题（本题共 2 小题,每小题 10 分，共 20 分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、在 10 次对称群 S10 中， = . 196875243100将 表成一些不相交轮换之积，并求 及 。1()2、在整数环 Z 中，试求出所有包含 30 的极大理想。五、证明题（本题共 4 小题,每小题 10 分，共 40 分）1、设 f 是环 R 到环 的满同态， A 为 R 的理想，证明：。KerfA)(2、设 N G, G:N=2009, 证明：对 , 恒有 。Gx209xN3、设 R 为交换环，则 R 的每个极大理想都是素理想。4、设 G 与 是两个群， ，K = Kerf， ，令 H = x |xG ，f(x) ，f:H证明： 且 。H
