1、胡寿松自动控制原理习题解答第四章14-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数K G(s) s 1试用解析法绘出 K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（） ， （） ， （） 解： 有一个极点： （1 ） ，没有零点。根轨迹如图中红线所示。（）点在根轨迹上，而（） ， （）点不在根轨迹上。4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数K (3s 1) G(s) s(2s 1)试用解析法绘出开环增益 K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。 解：系统开环传递函数为 G(s) 3K / 2(s 1/ 3) K g (s 1/ 3)s(s 1/ 2) s(s 1 / 2)有两个极点： （
2、 0） ， （ 1/2） ，有一个零点（ -1/3， j0） 。根轨迹如图中红线所示。4-3 已知开环零、极点分布如图 4-28 所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。胡寿松自动控制原理习题解答第四章21图 4-28 开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系 统开环传递 函数如下， 试概略绘出 相应的闭环 根轨迹图 (要 求确定分离点坐标 d)： (1) G(s) Ks(0.2s 1)(0.5s 1)解：系统开环传递函数为 G(s) 10K K gs(s 5)(s 2) s(s 5)(s 2)有三个极点： （0 ） ， （ 2） ， （5 ）没有零点。分离点坐标计算如下：1 1 d d 21
3、0d 53d 2 14d 10 0 解方程的 d 3.7863 ， d 2 0.88取分离点为 d 0.88根轨迹如图中红线所示。胡寿松自动控制原理习题解答第四章31（2 ） G(s) K (s 1)s(2s 1)解：系统开环传递函数为 G(s) K / 2(s 1) K g (s 1)s(s 0.5) s(s 0.5)有两个极点： （0 ） ， （ 0.5） ，有一个零点（1 ） 。分离点坐标计算如下：1 1 d d 0.51d 1d 2 2d 0.5 0 解方程的 d 1.7 ， d 2 0.29取分离点为 d1 1.7 ， d 2 0.29根轨迹如图中红线所示。(3) G(s) K *
4、(s 5)s(s 2)(s 3)解：系统开环传递函数为 G(s) K * (s 5)s(s 2)(s 3)有三个极点： （0 ） ， （ 2） ， （2 ） ，有一个零点（5 ） 。分离点坐标计算如下：1 1 d d 21 d 31d 5 d 3 10d 2 25d 15 0 解 方 程 的 d1 6.5171 ，胡寿松自动控制原理习题解答第四章4p d 2 2.5964 ， d 3 0.8865取分离点为 d 0.8865根轨迹如图中红线所示。4-5 已知单位反馈控制 系统开环传 递函数如下 ，试概略画 出相应的闭 环根轨迹图 (要求算出起始 角 pi )：（） G(s) K (s 2)(s
5、 1 j 2)(s 1 j 2)解：系统开环传递函数为 G(s) K (s 2) K g (s 2)(s 1 j 2)(s 1 j2) (s 1 j 2)(s 1 j2)有两个极点： p1 （- 1 2） ， p2 （1 -2 ） ，有一个零点（2 ，） 。起始角： m n i (2k 1) z j pi pi pi k 0,1,2,L j 1 j 1 ( j i ) p1 z1 p1 p2 p1 1800 450 900 1350 p2 z1 p2 p1 p2 1800 450 900 2250根轨迹如图中红线所示。胡寿松自动控制原理习题解答第四章5p （） G(s) K (s 20)。s(
6、s 10 j10)(s 10 j10)解：系统开环传递函数为 G(s) K (s 20)s(s 10 j10)(s 10 j10)有三个极点： p1 （ 0， j0） ， p2 （- 10 10） ， p3 （ 10- 10） ， 有一个零点 z1 （20，） 。 起始角： m n i (2k 1) z j pi pi pi k 0,1,2,L j 1 j 1 ( j i ) p1 1800 p2 1800 z1 p2 p1 p2 p3 p2 1800 450 1350 900 00 p3 1800 z1 p3 p1 p3 p2 p3 1800 450 1350 900 00根轨迹如图中红线所
7、示。Im-20-10j10Re04-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求： K (1) 确定 G(s) s(s 1)(s 10) 产生纯虚根的开环增益值。解：系统特征方程为 s 3 11s 2 10s K * 0令 s j 代入特征方程中得：实部方程为： K * 11 2 0虚部方程为： 10 3 0胡寿松自动控制原理习题解答第四章6p解上述方程得 ： 2 10 K * 110 开环增益按一般定义： K K * /10 11(2) 确定 G(s) K (s z)s 2 (s 10)(s 20)产生纯虚根为1 的值和 K 值。解：系统特征方程为 s 4 30s 3 200s 2 K *
8、 s K * z 0令 s j1 代入特征方程中得：实部方程为： K * z 1 200 0虚部方程为： K * 30 0解上述方程得： K * 30 z 199 / 30（3 ） 概略绘出确定 G(s) K 的闭环根轨迹图。 （要s(s 1)(s 3.5)(s 3 j 2)(s 3 j 2)求确定根轨迹的分离点、起始角和与虚轴的交点） 。解：系统开环传递函数为 G(s) Ks(s 1)(s 3.5)(s 3 j 2)(s 3 j 2)有五个极点： p1 （ 0， j0） ， p2 （ -1， 0） ， p3 （ 3.5， 0） ， p4 （3 ， 2 ） ，p5 （ 3， - 2） ，没有零
9、点。分离点坐标计算如下：1 1 d d 11 d 3.51 d 3. j 21 0d 3. j 24d 4 35d 3 111.5d 2 146d 45.5 0 解 方 程 的 d1 3.5 ， d 2 0.44 ，d 3 2.4 j1.265 d 4 2.4 j1.265取分离点为 d 0.44起始角： m n i (2k 1) z j pi pi pi k 0,1,2,L j 1 j 1 ( j i ) 胡寿松自动控制原理习题解答第四章7 p1 1800 p2 00 p3 1800 p1 p3 p2 p3 p4 p3 p5 p3 1800 146.450 1350 900 75.7 930
10、 p4 1800 p1 p4 p2 p 4 p3 p4 p5 p3 1800 146.450 1350 900 75.7 930根轨迹如图所示。与虚轴的交点：令 s j 代入特征方程中s 5 10.5s 4 43.5s 3 79.5s 2 45.5s K * 0得到：胡寿松自动控制原理习题解答第四章8*实部方程为 ： 10.5 4 79.5 2 K * 0虚部方程为 ： 5 43.5 3 45.5 0解方程得到： 1 6.5136 2 1.0356 ， 将 1 6.5136 代入实部方程得到 K 0 不符合要求，将 2 1.0356 代入实部方程得到 K 73 满足要求。所以取 1.0356
11、即根轨迹与虚轴的交点为 1.03564-7 设单位反馈系统的开环传递函数为K (s 2) G(s) s(s 1)其根轨迹图见图 4-2。试 从数学上证明：复数根轨迹部分是以 (- 2， j0)为圆心，以 2 为半径的一个圆。解：证明如下： 根据辐角条件可知，根轨迹各点应满足(s 2) s (s 1) 1800图 4-2 系统根轨迹图在复平面上 s j ，于是得( j 2) ( j ) ( j 1) 1800亦即 arctan 2 arctan arctan 1 1800利用反正切公式arctan X arctan Y可把上式改写为 arctan X Y1 XY对上式的两边取正切，整理后即得圆方
12、程式胡寿松自动控制原理习题解答第四章9p1p( 2) 2 2 2它的圆心为（ -2， j0）半径等于 2 。这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点。证毕。4-8 已知开环传递函数为K *G(s)H (s) s(s 4)(s 2 4s 20)试概略画出闭环系统根轨迹图。解：系统开环传递函数为K *G(s)H (s) s(s 4)(s 2 4s 20)有四个极点： p1 （ 0， j0） ， p2 （- 4， 0 ） ， p3 （ 2， 4） ， p4 （ 2， - 4） ，没有零点。 分离点坐标计算如下：1 1 d d 41 d 2. j 41 0d 2. j 4即 (2d 2 8d 20)(2d
13、 4) 0 解方程的 d 2 ， d 2 2 j2.45 ， d 3 2 j2.45取分离点为 d1 2 ， d 2 2 j2.45 ， d 3 2 j2.45起始角： m n i (2k 1) z j pi pi pi k 0,1,2,L j 1 j 1 ( j i ) p1 1800 p2 900 903 p4 00根轨迹如图所示。胡寿松自动控制原理习题解答第四章10p14-9 已知开环传递函数为K * (s 2)G(s) (s 2 4s 9)2试概略绘制其闭环系统根轨迹。解： 系统有四个极点： p1 p2 （ 2， j2.24） ， p3 p4 （ 2， 2.24） ， 有一个 零点 z
14、1 （2 ，0 ） 。分离点坐标计算如下：2d 2 j2.242 d 2 j2.241d 2即 3d 2 12d 7 0 解方程的 d 3.29 ， d 2 0.71 ，取分离点为起始角：d1 3.29 m n i (2k 1) z j pi pi pi k 0,1,2,L j 1 j 1 ( j i ) 胡寿松自动控制原理习题解答第四章11p p*12 p1 (2k 1)1800 z j pi pi pi k 0,1,2,L (2k 1)1800 900 900 900 (2k 1)1800 900所以： 1 450 ,2250 同理 2 1350 ,450系统根轨迹如下图：4-10 设单位
15、反馈控制系统的开环传递函数G(s) Ks(0.01s 1)(0.02s 1)要求： (1) 画出准确根轨迹 (至少校验三点 )； (2) 确定系统的临界稳定开环增益 K； (3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益 K。 解：系统开环传递函数为G(s) K 5000K Ks(0.01s 1)(0.02s 1) s(s 100)(s 50) s(s 100)( s 50)有三个极点： p1 （ 0， j0） ， p2 （ -50， 0） ， p3 （1 00，0 ） ，没有零点。分离点坐标计算如下：1 1 d d 501 0d 100即解方程 3d 2 300d 5000 0 得 d 78.9
16、， d 2 21.1 ，胡寿松自动控制原理习题解答第四章12pm n取分离点为 d 21.1 ，起始角： i (2k 1) z j pi pi pi k 0,1,2,L j 1 j 1 ( j i ) p1 1800 p2 00 p3 1800根轨迹如图所示。（2 ）令 s j 代入系统特征方程中 s 3 150s 2 5000s K * 0得到实部方程为： K * 150 2 0虚部方程为： 5000 3 0解方程得： 70.7 K * 750000 所以 K c 150（3 ）令 s 21.1 代入系统特征方程中 s 3 150s 2 5000s K * 0得到 K * 48112 系统临
17、界阻尼比相应的开环增益 K 9.62胡寿松自动控制原理习题解答第四章1324-11 一单位反馈系统，其开环传递函数G(s) 6.9(s 6s 25)s(s 2 8s 25)试用根轨迹法计算闭环系统根的位置。解：系统特征方程为： s(s 2 8s 25) 6.9(s 2 6s 25) 0即： s 3 14.9s 2 66.4s 172.5 0-9.9780-2.4610 + 3.3513i-2.4610 - 3.3513i解方程得： s1 9.978 s2 2.461 j3.3513 s3 2.461 j3.3513所以：闭环系统根的位置为 s2 2.461 j3.3513 s3 2.461 j
18、3.3513根轨迹如图所示：4-12 设反馈控制系统中K *G(s) ,s 2 (s 2)(s 5) H (s) 1要求：（1 ） 概略绘出系统根轨迹图，并判断闭环系统的稳定性；（2 ） 如果改变反馈通路传递函数， 使 H (s) 1 2s ， 试判断 H (s) 改变后的系统稳定性，胡寿松自动控制原理习题解答第四章14研究由于 H (s) 改变所产生的效应。解： （1 ） 系 统有四个极点 p1 (0, j0) ， p2 (0, j0) ， p3 (2, j0) ， p4 (5, j0) ； 没有零点。 系统根轨迹如下图：所以闭环系统不稳定。（2 ）如果 H (s) 1 2s ，这时系统的开
19、环传递函数为：G(s)H (s) K * (2s 1) K g (s 0.5) 其中 K 2K *s 2 (s 2)(s 5) s 2 (s 2)(s 5) g系统根轨迹如下图：胡寿松自动控制原理习题解答第四章15g ggg这时系统的特征方程为：s 2 (s 2)(s 5) K (s 0.5) s 4 7s 3 10s 2 K s 0.5K g 0令 s j 代入特征方程中，得到：实部方程为 ： 4 10 2 0.5K 0虚部方程为： K 7 3 0解 上 述 方 程 得 到 ： K g 45.5 这 是 系 统 的 临 界 稳 定 的 放 大 倍 数 。 即 0 K * 22.75 闭 环
20、系统稳定。4-13 试绘出下列多项式方程的根轨迹 (1) s 3 2s 2 3s Ks 2K 0(2) s 3 3s 2 (K 2)s 10K 0K (s 2)(1)解：设等效单位反馈传递函数为 G(s) s 3 2s 2 3s则系统的特征方程为： s 3 2s 2 3s Ks 2K 0系统有三个极点： p1 （0 ， j0） ， p2 （1 ， j1.414） ， p3 （ 1， 1 .414） ， 有一个零点 z1 （2 ，0 ） 。胡寿松自动控制原理习题解答第四章161系统根轨迹如下图：(2)解：设等效单位反馈传递函数为 G(s) K (s 10)s 3 3s 2 2s则系统的特征方程为
21、： s 3 3s 2 (K 2)s 10K 0系统有三个极点： p1 （0 ，j 0） ， p2 （1 ，j 0） ， p3 （2 ， 0 ） ，有一 个零点 z1 （1 0，0 ） 。 分离点坐标计算如下：1 1 d d 11 d 21d 10即 2d 3 33d 2 60d 20 0 解方程的 d 0.4344 ， d 2 1.59 ， d 3 14.5取分离点为 d1 0.4344系统根轨迹如下图：胡寿松自动控制原理习题解答第四章174-14 设系统开环传递函数如下，试画出 b 从零变到无穷时的根轨迹图。20（1 ） G(s) (s 4)(s b)（2 ） G(s) 30(s b)s(s
22、 10)解： （1 ）系统的特征方程为： (s 4)(s b) 20 s 2 4s 20 b(s 4) 0b(s 4)系统的等效单位反馈传递函数为： Geq (s) s 2 4s 20系统有两个极点 p1 (2, j 4) ， p2 (2, j 4) ，有一个零点 z1 (4, j0)系 统 根 轨 迹 图 如 下 ：胡寿松自动控制原理习题解答第四章18（2 ）系统的特征方程为： s(s 10) 30(s b) s 2 40s 30b 0系统的等效单位反馈传递函数为： Geq (s) 30bs 2 40sb*s 2 40s系统有两个极点 p1 (0, j0) ， p2 (40, j0) ，没有
23、零点。系统根轨迹图如下：胡寿松自动控制原理习题解答第四章194-15 设控制系统结构图如图 4-29 所示，试概略绘制其根轨迹图。R(s) K*(s+1)2(s+2)2C(s)解：系统开环传递函数为K * (s 1) 2G(s) (s 2) 2系统有两个极点， p1 p2 (2, j0) ，有两个零点 z1 z 2 (1, j0)系统根轨迹如下图：胡寿松自动控制原理习题解答第四章204-16 设单位反馈控制系统的开环传递函数K (1 s) G(s) s(s 2)试绘制其根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的 K 值。 解：系统开环传递函数为 G(s) K (s 1)s(s 2)系统有两个极
24、点， p1 (0, j0), p2 (2, j0) ，有一个零点 z1 (1, j0)这是一个零度根轨迹。 系统根轨迹如下图：分离点坐标计算如下：1 1 d d 21d 1胡寿松自动控制原理习题解答第四章211即 d 2 2d 2 0 解方程的 d 0.732 ， d 2 2.732取分离点为 d1 0.732 ， d 2 2.732系统的特征方程为： s(s 2) K (s 1) s 2 2s K (s 1) 0将 s 0.732 代入特征方程中得到： K * 0.5674将 s 2.732 代入特征方程中得到： K * 7.464以上两个 K * 值是产生重实根的 K * 值。令 s j
25、代入特征方程中，得到：实部方程为： K * 2 0虚部方程为： 2 K * 0解上述方程得到： K * 2 ， 2所以产生虚根的 K * 值为 K * 24-17 设控制 系统如图 4-30 所示， 试概略绘出 K t 0 ， 0 K t 1 ， K t 1 时的根轨迹和单位阶跃响应曲线。 若取 K t 0.5 ， 试求出 K 10 时的闭环零、 极点， 并 估算系统的动态性能。R(s) K C(s) s(s+1)1+Kts解： （1 ） K t 0 时系统的开环传递函数为G(s) Ks(s 1)系统的根轨迹如下图：胡寿松自动控制原理习题解答第四章22（2 ） 0 K t 1 时系统的开环传递
26、函数为G(s)H (s) K (1 K t s) 此时 G(s)H (s) K* (s z)， z 1 设 K 0.5 则 z 2s(s 1) s(s 1) t系统的根轨迹如下图：胡寿松自动控制原理习题解答第四章23（3 ） K t 1 时系统的开环传递函数为G(s)H (s) K (1 K t s) 此时 G(s)H (s) K* (s z)， z 1 设 K 2 则 z 0.5s(s 1) s(s 1) t系统的根轨迹如下图：胡寿松自动控制原理习题解答第四章241（4 ）取 K t 0.5 ，试求出 K 10 时的闭环零、极点，并估算系统的动态性能。系统的特征方程为： s 2 6s 10
27、0 解方程的 s 3 j ， s2 3 j此时闭环系统没有零点、有一对共轭极点分别为 s1 3 j ， s2 3 j系统呈现二阶系统特性：阻尼比为 0.948，超调量近似为 1%。自然振荡角频率为 3.16。4-19 设控制系统开环传递函数为G(s) K (s 1)s 2 (s 2)(s 4)试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同?解： （1 ）负反馈情况系统有四个极点， p1 p2 (0, j0), p3 (2, j0), p4 (4, j0) ， 有一个零点 z1 (1, j0)系统根轨迹如下图所示：胡寿松自动控制原理习题解答第四章25系统的特征方程为：
28、s 4 6s 3 8s 2 K (s 1) 0令 s j 代入特征方程中，得到：实部方程为 ： 4 8 2 K * 0虚部方程为： K * 6 3 0解上述方程得到： K * 12 ， 2所以当 0 K * 12 是系统稳定。（2 ）正反馈情况系统是一个零度根轨迹。系统的特征方程为： s 4 6s 3 8s 2 K (s 1) 0系统有四个极点， p1 p2 (0, j0), p3 (2, j0), p4 (4, j0) ， 有一个零点 z1 (1, j0)系统根轨迹如下图所示：胡寿松自动控制原理习题解答第四章26t2 22所以系统闭环不稳定。4-20 设控制 系统如图 4-31 所示， 其中
29、 Gc (s) 为改善系统性能而加入的校正装置。 若 Gc (s)可从 K t s 、 K t s 和 K t s /(s 20) 三种传递函数任选一种，你选哪一种？为什么？R(s) 100s+2010 s(s+10)Gc(s)C(s)解： （1 ） Gc (s) = K t s 时系统的开环传递函数为： G(s) 10 100s 10s 10K t s s 20即： G(s) 1000s(s 10 10K t )(s 20)此时系统特征方程为： s 3 30s 2 200s 1000 10K s(s 20) 0系统等效开环传递函数为：Geq (s) 10K t s(s 20)s 3 30s
30、3 200s 100胡寿松自动控制原理习题解答第四章27t22 22（2 ） Gc (s) = K t s 时系统的开环传递函数为： G(s) 10s 10s 10K t s100s 20即： G(s) 1000s(s 10K t s 10)(s 20)此时系统特征方程为： s 3 30s 2 200s 1000 10K s 2 (s 20) 0系统等效开环传递函数为：G (s) 10K t s (s 20)eq s 3 30s 3 200s 100胡寿松自动控制原理习题解答第四章28ttt22（3 ） Gc (s) = K t s /(s 20) 时系统的开环传递函数为：G(s) 10(s 20)s 3 30s 2 200s 10K s 2 100s 20即： G(s) 1000s(s 2 10K s 30s 200)此时系统特征方程为： s 3 30s 2 200s 1000 10K s 2 0系统等效开环传递函数为：G (s) 10K t seq s 3 30s 3 200s 100胡寿松自动控制原理习题解答第四章29选第一种。
