1、14.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物 50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以 2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小 f=mg，所以，人对传送带做功的功率为：N = fv = mgv = 509.82 = 9.8102（瓦）4.2.4 一细线系一小球，小球在光滑水平桌
2、面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力 F 向下拉绳，证明力 F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由 r1, 1 变为 r2, 2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力 T=F FTFrrrT ATAdd),()( )(2121 211224.3.1 质量为 m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力 T=50N，木块在 A 点时具有向右的速率 v0=6m/s，求力 T 将木块从 A 拉至 B 点时的速度。解：以 A 为原点建立图示坐
3、标 o-x，木块由 A 到 B，只有拉力 T 做功： 403)(4040 2cosxdxdFJxxT 1)35(|9)4(5 |9)4(9402 402/1250402/12 设木块到达 B 时的速度为 v，由动能定理： 20121mvA，方向向右smAv /8.06./2/220 F4m3mA B Tx24.3.3 质量为 m 的物体与轻弹簧相连，最初 m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度 v0 向右运动，弹簧的劲度系数为 k， 物体与支撑面间的滑动摩擦系数为 求证物体能达到的最远距离 l 为 )1(20gvkmg证明：质点 m 由弹簧原长位 置运动到最远位置 l，弹力 F 和滑
4、动摩擦力 f 对质点做负功，导致质点动能由 mv02/2 变为 0。根据动能定理：A F+Af=0 - mv02/2 其中， ，代入中，并整理，有：kl 2+2 mgl-m mglklldkfF,21v02=0. 这是一个关于 l 的一元二次方程，其根为：，负根显然不合题意，舍去，所以，kvmgml24)(20 )1(20201 gmvkkg4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为 500g 的圆柱体，圆柱体又套 30 l v1在可沿水平方向移动的框架内，框架 30槽沿铅直方向，框架质量为 200g.自 o 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 F x平力 F=20.0N 作用下移至图中位置， v2
5、求圆柱体的速度，线长 20cm,不计摩擦。解：设绳长 l，圆柱质量 m1，框架质量 m2，建立图示坐标 o-xy；据题意，圆柱在 o 点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为 v1，方向与线 l 垂直，框架的速度为 v2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知 v2=v1x，v 1y=v1xtg30圆柱体 m1 与框架 m2 构成一质点系，此质点系在从竖直位置运动到图示位置的过程中，只有重力 W1=m1g 和拉力 F 做功：其中，AW1= - m1gl(1-cos30)= - 0.13J, AF = F l sin30= 2J, 由质点系动能定理，有 21211221
6、21 )(xyxF vmvv )/()30( 2342tgv FWx 代入数据,v 1x2=4.3 , v1y2=(v1xtg30)2=1.44 v1=(v1x2+v1y2)1/2=2.4m/s.4.4.1 两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧 1 和弹簧 2 的劲度系数各为 k1,k2，它们自由伸展的长度相差 l，坐标原点置于弹簧 2 自由伸展处，求弹簧组在 0xl 和 x0 时弹性势能的表达式。解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零。弹簧 2 的势能表达式显然为：m mlko xlk1k23；0,212xkEp弹簧 1 的势能： )(,)( |)()(121212 02
7、1200 lxlkxlxlk xkddxxp 当 0xl 时， Ep2当 x0 时， lxkkp 1211)(4.5.1 滑雪运动员自 A 自由下落，经 B 越过宽为 d 的横沟到达平台 C 时，其速度 vc刚好在水平方向。已知 A、B 两点的垂直距离为 25m.坡道 B 点的切线方向与水平面成 30角，不计摩擦，求：运动员离开 B 处的速率 vB；B、 C 的垂直高度差 h 及沟宽 d；运动员到达平台时的速率 vc.解：运动员在整个运动过程中,只有重力做功,故机械能守恒，取 B 点为势能零点。mgH = mv B2/2 smgHv /1.258.9运动员由 B 到 C 作斜抛运动，据题意，C
8、 点即为最高点。由斜抛运动规律可知，v c = vB cos30 = 19.1m/smv B2/2 = m vc2/2+mgh h = (vB2-vc2)/2g = 6.3m；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：0 = vBsin30-gt t = vB /2g =1.13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = vB cos30t = 21.6m.4.5.2 装置如图所示，球的质量为 5kg，杆 AB 长 1m，AC 长 0.1m，A 点距 o 点0.5m，弹簧的劲度系数为 800N/m，杆 AB 在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，
9、不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为 v，弹簧原长： ，在小球从51.0.5.02l水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：，可求得：202121 )(0lACOkBmgvH=25m hdvBvcA30AB Co4smlACOkBgv /28.45/)1.05.(801.9224.6.2 m 为静止车厢的质量，质量为 M 的机车在水平轨道上自右方以速率 v 滑行并与m 碰撞挂钩.挂钩后前进了距离 s 然后静止。求轨道作用于车的阻力。 解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段，机车与车厢发生完全非弹性碰撞而获得共同
10、速度 v，由于轨道阻力远小于冲力，可认为质点 v系动量守恒，Mv=(M+m)v,v=Mv/(M+m) f第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了 s，速度由 v变为零，由动能定理，有 fs = 0 - (M+m) v2 /2,将 v代入，可求得 )(2mMsvf4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时,两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为 e.若球 A 自高度 h1 释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。解：设两球质量均为 m，球A 由 h1 高处运动到水平位置获得的速度 vA，可由能量守恒方程求出：mgh
11、 1=mvA2/2v A= 1gh设 A,B 两球碰后速度分别为vA和 vB，根据非完全弹性碰撞的基本公式，有即， ABemv ABAve可求得， )2(/)1(2/)( 11ghevAB设 A 球弹回后的最大高度为 h，根据能量守恒, mvA2=mgh1122)(4egvh若为完全弹性碰撞，则 e=1,由（1）,（2）可知：v A=0, vB=vA ,即，碰后 A 球静止，B球以 A 球原来的速度向右运动； B 球达到 h1 高度返回后，又把能量、动量、速度全部传给A 球，周而复始，这种传递永远进行下去。4.6.4 质量为 2g 的子弹以 500m/s 的速度射向质量为 1kg，用 1m 长
12、的绳子悬挂着的摆，m Mh1A Bx5子弹穿过摆后仍然有 100m/s 的速度，问摆沿铅直方向升起若干？解：用 v0,v 分别表示子弹穿过摆前后的速度，V 表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为 h由动量守恒： ，可得 Mm0 8.0)15(02.)(0 vVMm由能量守恒： ghV21mgh03.)89/(.0/24.6.5 一质量为 200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长 10cm，今有一质量为200g 的铅快在高 30cm 处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。解：框架静止时，弹簧伸长 l=0.1m ，由平衡条件 mg=kl,求得：
13、k=mg/l=0.29.8/0.1=19.6N/m铅块落下 h=30cm 后的速度 v0，可由能量守恒方程求出：201mvghsm/42.38.9设铅快与框架碰后的共同速度为 v，由动量守恒：vv /1./.,20210设框架下落的最大距离为 x，由机械能守恒：，进行整理并代入数据，可得 x 的一元二次mglklm)()( 2212121 方程： x3.0,3.0.4.6.6 质量为 m1=0.790kg 和 m2=0.800kg 的物体以劲度系数为 10N/m 的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。质量为 0.01kg 的子弹以速率 v0=100m/s 沿水平方向射于 m1 内
14、，问弹簧最多压缩了多少？解：整个过程可分为两个阶段 v0处理。第一阶段：子弹射入 m1 内，发生完全非弹性碰撞，动量守恒，设子弹质量为 m0，子弹与 m1 获得的共同速度为 v,则有m0v0 = (m1+m0) v v = v 0m0 / (m1+m0) （1）第二阶段：子弹与 m1 以共同速度 v 开始压缩弹簧至 m1 与 m2 有相同的速度 V,压缩结束；在此过程中，由 m0,m1,m2 组成的质点系，其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为l.由动量守恒，有： )2()()( 0210210210 vVVvm0m1m2mv0 vVMlhmm6由能量守恒: )3()()( 210212012
15、 klVmvm将、代入中，可求得： kvl 5.)(021010 4.6.10 两车厢质量均为 M,左边车厢与其地板上质量为 M 的货箱共同向右以 v0 运动，另一车厢以 2v0 从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为 l，求：货箱与车厢地板间的摩擦系数； 车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段是两个车对撞获得共同速度 v（向左） ，由动量守恒：M(2v 0)-Mv0=2Mv, v=v0/2第二阶段是两节车厢以速度 v 在摩擦力作用下与货箱发生相对移动，移动距离是 l，最后都静止下来。在此过程中，一对滑动摩擦力做功之和为：A f=-mgl，对质点系应用动能定理： )4/(,)(20202011021 glvMmgl 设货箱相对车的速度为 v，显然，v=v 0+v=2v+v=3v，两边同乘摩擦力作用时间 t，即为对应的距离，l=3d, d= l/3Mv0 2v0M M
