1、96第十章 质点动力学基本方程10-1 一质量为 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为 ，如图所示。mr设物体与转台表面的摩擦系数为 ，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转f速。解：取物体 为研究对象，受力和运动分析如图(a)，当转速达到最大时，摩擦力也达最大：NfF将 向 轴和 轴方向投影得axy（1）m（2）0g其中 2axr代入式（1） 、 （2）解得 rfmax最大转速 minr/ 30maxaxfgn10-3 半径为 的偏心轮绕 轴以匀角速度 转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。RO导板顶部放有一质量为 的物块 ，设偏心距 ，开始时 沿水平线。求：（1）Ae
2、CO物块对导板的最大压力；（2）使物块不离开导板的 最大值。解：建立如图所示直角坐标系 Oxy，导板与物块均沿 轴线作直y线运动，导板作平动，其运动规律为 teysin对时间求二阶导数得 ay2物块 受重力 mg 和导板的约束反力 作用如图 。ANF)a(物块对导板的压力与 等值、反向、共线。由图(a)得物块N的运动微分方程在 轴的投影式为 )sin(2tegFay1）物块对导板的最大压力 )(2NegmF2）要使物块不离开导板，则应有 0in即 2eg故 max10-5 为了使列车对铁轨的压力垂直于路基，在铁道弯曲部分，外轨要比内轨稍为提高。试就以下的数据求外轨高于内轨的高度 h。轨道的曲率
3、半径为 ，列车的速度为m 30，内、外轨道间的距离为 。/s12v m 6.1b解：取列车为研究对象，设其质量为 m，列车受重力 mg，轨道约束反力 FN 作用，图(a)为其质心受力和运动分析图。将 分别向 轴和 轴方向投影：aFmxy97（1）maFsinN（2）0cog由几何关系知（3）2tahb且 （4）v代入已知数据解得 m .78)(42vgbh10-7 销钉 的质量为 0.2 kg，水平槽杆带动，使其在半径为 的固定半圆槽内Mm 20r运动。设水平槽杆以匀速 向上运动，不计摩擦。求在图示位置时圆槽对销钉/s 0的作用力。解：以水平槽为动系，速度分析如图 ，)a(ve324.3cos
4、ea vv受力与加速度分析如图(b)， 222an m/s 07.1.4rvMrtn向铅直方向投影，得 2tn2ttn m/s 3.1079.38.0sin3com/ 61.0ssi MMxaa设水平槽对 M 的反力为 FN，圆槽对 M 的反力为 F，则 N 24132sx10-9 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当 、 10r、 且 时，火箭的质量为60rad/s . rad/s 0.5000 kg。求此时的喷射反推力 F。解：此题为已知运动求力。用极坐标与直角坐标系描述运动的变换关系 sinrycos（1）2sin2i r约束条件 （常数）m 50rx故 ， （2）sin ta0ic
5、oco2r98所以 （3） tantan22rrr由已知， ， 时， ，m 1060rad/s 2. 2rad/s 0.代入式（2）得 （4）m436式（4）代入（3） ，得（5）22 m/96.73.1).(12.3r式（4） ， （5）代入（1） ，得/s 78y由质点动力学方程 mgF所以 kN 48)7.9(50)(10-11 图示质点的质量为 m，受指向原点 O 的力 F=kr 作用，力与质点到点 O 的距离成正比。如初瞬时质点的坐标为 ，而速度的分量为 。试求质点的轨,yx 0,vyx迹。解：取质点 m 为研究对象，建立如图所示直角坐标系 Oxy，质点受力 F=-kr 作用。根据a
6、F将其向 x 和 y 轴投影，得k解此两个微分方程，并注意到初始条件 00O ,vyyxxtt tt 得到微分方程的解为 tmkvytxsinco0在上列解答中消去时间 t 即得到质点的轨迹方程12020vx轨迹为一个椭圆，圆心在（0，0） ，长短半轴分别为 x0和 。kmv10-13 图示一质点带有负电荷 e，其质量为 m，以初速度 vO 进入强度为 H 的均匀磁场中，该速度方向与磁场强度方向垂直。设已知作用于质点的力为 ，试求质点的)(Fe运动轨迹。提示：解题时宜采用在自然轴上投影的运动微分方程。解：取质点为研究对象，其受力与运动分析如图，选图示坐标系 mnt，质点在 mnt 平面内，也就是速度 v 与力 F 决定的平面内运动。写出质点沿 t 及 n 轴的运动微分方程（1）0dtm（2）eH2由式（1）解得 0v常 量99代入式 2）得 eHmv0所以质点运动轨迹为由进入磁场位置起的半径为 的圆弧。eHmv0
