1、学案 12 函数模型及其应用导学目标： 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型( 指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用自主梳理1三种增长型函数模型的图象与性质函数性质 yax(a1) ylog ax(a1) yxn(n0)在(0，) 上的单调性增长速度图象的变化 随 x 增大逐渐表现为与 _平行 随 x 增大逐渐表现为与 _平行 随 n 值变化而不同2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数 ya x (a1)与幂函数 yx n (n0)在区间(0，)上，无论
2、n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 ax会小于 xn，但由于ya x的增长速度_yx n的增长速度，因而总存在一个 x0，当 xx0 时有_(2)对数函数 ylog ax(a1)与幂函数 yx n (n0)对数函数 ylog ax(a1)的增长速度，不论 a 与 n 值的大小如何总会 _yx n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数 x0，使 xx0 时有 _由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0， ) 上，总会存在一个 x0，使 xx0 时有_3函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建
3、立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题4函数建模的基本程序自我检测1下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是 ( )Av ex Bv100ln x1100Cvx 100 Dv1002 x2某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元) 分别为 L15.06x 0.15x 2和 L22x，其中 x 为销售量( 单位：辆) 若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为 ( )A45.606 B45.6C45.56 D45.513(2010陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代
4、表那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y x(x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 ( )Ay By x10 x 310Cy Dy x 410 x 5104(2011湘潭月考)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是 ( )5一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0
5、.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_小时，才能开车？(精确到 1 小时 )探究点一 一次函数、二次函数模型例 1 (2011阳江模拟) 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万元 )与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y 48x8 000，已知x25此生产线年产量最大为 210 吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？变式迁移 1 某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3 000 元时
6、，可全部租出当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？探究点二 分段函数模型例 2 据气象中心观察和预测：发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示，过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km)(1)当 t4 时
7、，求 s 的值；(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由变式迁移 2 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.80元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为 5x,3x(吨)(1)求 y 关于 x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费探究点三 指数函数模型例
8、 3 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成 6 份，奖励给分别在 6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平) 为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加假设基金平均年利率为 r6.24%.资料显示： 1999 年诺贝尔奖发放后基金总额约为 19 800 万美元设 f(x)表示第 x(xN *)年诺贝尔奖发放后的基金总额 (1999 年记为 f(1)，2000 年记为 f(2)，依次类推)(1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3)，并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式；(2)试根据 f(x
9、)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美元”是否为真，并说明理由(参考数据：1.031 2 91.32)变式迁移 3 (2011商丘模拟) 现有某种细胞 100 个，其中有占总数 的细胞每小时分裂12一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 1010 个？(参考数据：lg 30.477，lg 20.301)1解答应用问题的程序概括为“四步八字” ，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模
10、型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义2考查函数模型的知识表现在以下几个方面：(1)利用函数模型的单调性比较数的大小；(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；(3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( )X 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12Y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61A.y2 x B
11、y log 2xCy (x21) Dy2.61cos x122拟定甲地到乙地通话 m 分钟的电话费 f(m)1.06(0.5m 1)(单位：元) ，其中m0，m 表示不大于 m 的最大整数 (如3.72)3，4 4)，当 m0.5,3.1 时，函数 f(m)的值域是( )A1.06,2.12,3.18,4.24B1.06,1.59,2.12,2.65C1.06,1.59,2.12,2.65,3.18D1.59,2.12,2.653(2011秦皇岛模拟)某商店出售 A、B 两种价格不同的商品，由于商品 A 连续两次提价 20%，同时商品 B 连续两次降价 20%，结果都以每件 23 元售出，若商
12、店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是 ( )A多赚约 6 元 B少赚约 6 元C多赚约 2 元 D盈利相同4国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4 000元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿酬的 11%纳税已知某人出版一本书，共纳税 420 元，这个人应得稿费(扣税前) 为 ( )A4 000 元 B3 800 元C4 200 元 D3 600 元5(2011沧州月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x) x22x
13、 20( 万元) 一万件售价是 20 万元，为获取12更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 ( )A18 万件 B20 万件C16 万件 D8 万件题号 1 2 3 4 5答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 b,2009 年产生的垃圾量为 a t，由此预测，该区下一年的垃圾量为_t,2014 年的垃圾量为_t.7(2010金华十校 3 月联考) 有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示) ，则围成场地的最大面积为_( 围墙的厚度不计) 8已
14、知每生产 100 克饼干的原材料加工费为 1.8 元某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号 小包装 大包装重量 100 克 300 克包装费 0.5 元 0.7 元销售价格 3.00 元 8.4 元则下列说法中正确的是_( 填序号)买小包装实惠；买大包装实惠；卖 3 小包比卖 1 大包盈利多；卖 1 大包比卖 3小包盈利多三、解答题(共 38 分)9(12 分)(2010湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机 x 台，根据企业月度报表知，每月总产值 m(万元)与总支出 n(万元)近似地满足下列关系： m x ，n x25x ，92 14 14 74当 mn0 时，
15、称不亏损企业；当 mnxn (2)慢于 log axxnlogax自我检测1A 由 e2，知当 x 增大时， ex增大更快11002B 依题意，可设甲销售 x 辆，则乙销售(15x)辆，总利润 S5.06x 0.15x 22(15x)0.15x 23.06x 30 (x 0)当 x 10 时， Smax45.6(万元)3B 每 10 个人可以推选 1 个，(xmod 10)6 可以再推选一个，即如果余数( xmod 10)7 相当于给 x 多加了 3，所以可以多一个 10 出来4A55解析 设 x 小时后，血液中的酒精含量不超过 0.09 mg/mL，则有 0.3 x0.09，即 x0.3.(
16、34) (34)估算或取对数计算，得 5 小时后，可以开车课堂活动区例 1 解 (1)每吨平均成本为 (万元)yx则 48yx x5 8 000x2 4832，x58 000x当且仅当 ，即 x200 时取等号x5 8 000x年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低为 32 万元(2)设年获得总利润为 R(x)万元，则 R(x)40xy40x 48x8 000x25 88x8 000x25 (x220) 21 680(0x 210)15R(x)在0,210 上是增函数，x 210 时，R(x )有最大值为 (210220) 21 6801 660.15年产量为 210 吨时，可获得最大利润
17、1 660 万元变式迁移 1 解 (1)租金增加了 600 元，所以未租出的车有 12 辆，一共租出了 88 辆(2)设每辆车的月租金为 x 元(x3 000) ，租赁公司的月收益为 y 元，则 yx 50(100 x 3 00050 ) x 3 00050 150(100 x 3 00050 ) 162x21 000x250 (x4 050) 2307 050，150当 x4 050 时，y max307 050.答 当每辆车月租金定为 4 050 元时，租赁公司的月收益最大，最大为 307 050.例 2 解 (1)由图象可知：当 t4 时，v3412(km/h)，s 412 24(km)
18、12(2)当 0t10 时，s t3t t2，12 32当 104 时，y41.83x1.83(5x 4)20.4x4.8.当乙的用水量超过 4 吨，即 3x4 时，y241.83(3x4) (5 x4) 24x 9.6.所以 yError!(2)由于 yf(x)在各段区间上均单调递增，当 x 时，yf 1010，得( )x108，32 32两边取以 10 为底的对数，得 xlg 8，x ，32 8lg 3 lg 2 45.45，8lg 3 lg 2 80.477 0.301x45.45.答 经过 46 小时，细胞总数超过 1010 个课后练习区1B 通过检验可知，ylog 2x 较为接近2B
19、 当 0.5m0，所以 x4.故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产 4 台电机(6分)(2)若企业亏损最严重，则 nm 取最大值因为 nm x25x x14 74 92 14 (x 1)2.(9 分)14x 12 9 94 14所以当 x1 时，nm 取最大值 ，94此时 m .92 14 174故当月总产值为 万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为 万元(12174 94分)10解 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则 f(x)(56048x) 56048x (x10，xN *)(52 16010 0002 000x 10 800x分)f(x)560 48(x )560482 56048302 000.(10 分)225x x225x当且仅当 x 时，上式取等号，即 x15 时，f (x)min2 000.225x所以楼房应建 15 层(12分)11解 (1)依题意有yError!(4 分)由于 y0 且 xN*，由Error! 得 6x 10，x N*.由Error!得 1010 时，y 3x2130x575，当且仅当 x 时，y 取最大值，但1302 3 653xN*，所以当 x22 时，y 3x2130x575 (10x38，xN *)取得最大值 833 元(12 分)比较两种情况，可知当床位定价为 22 元时净收入最多(14分)
