1、1第十章 灰色模型介绍及应用 （徐利艳 天津农学院 2.4 万字） 10.1 灰色理论基本知识10.1.1 概言10.1.2 有关名词概念10.1.3GM 建模机理10.2 灰色理论模型应用10.2.1GM（1，1）模型的应用污染物浓度问题10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用油菜发病率问题10.2.3 GM 模型在复杂问题中的应用SARS 疫情问题10.2.4 GM（1，n）模型的应用因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目2第十章 灰色模型介绍及应用10.1 灰色理论基本知识10.1.1 概言客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那
2、样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析
3、的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。10.1.2 有关名词概念灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。
4、灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，3灰因素之间的量化作用，称为灰关联。灰色系统:含灰数、灰元或灰关系的系统称为信息不完全系统。如果按照灰色理论去研究它。则称此系统为灰色系统。累加生成：由于灰系统对一切随机量都可看作是在一定范围内变化的灰色量，因此，为适应灰系统建模需要，提出“生成”的概念， “生成”即指对原始数据做累加（或累减）处理。累加生成一般可写成 AGO。若计 为原始数列， 为 次累加生成后数列，即(0)x()rx(0)()()(0)1,2,n()()()()rrrrxx则 次累加生成算式为r()(
5、1)(1)(1)(1)()()()()()(1)2 krrrrri rrxkxxxixkxk 一般常用的是一次累加生成，即 (1)(0)1()(0)kixxik10.1.3GM 建模机理建立 GM 模型，实际就是将原始数列经过累加生成后，建立具有微分、差分近似指数规律兼容的方程，成为灰色建模，所建模型称为灰色模型，简记为 GM（Grey Model） 。如GM（m,n）称为 m 阶 n 个变量的灰色模型，其中 GM（1，1）模型是 GM（1，n）模型的特例，是灰色系统最基本的模型，也是常用的预测模型，因此本章重点介绍几种 GM（1，1）模型的建模过程和计算方法，并简单介绍 GM（1，n）建模过
6、程。GM（1，1）的建模机理GM（1，1）模型是 GM（1，N）模型的特例，其简单的微分方程形式（白化形式的微分方程）是 dxaut利用常数变易法解得，通解为 ()atxtce4若初始条件为 ，则可得到微分方程的特解为0,()txt0()atutxe或时间响应函数 (1)(att其中白化微分方程中的 项中的 为 的背景值，也称为初始值; 为常数axdxt ,au（有时也将 写成 ） 。ub按白化导数定义有差分形式的微分方程，即 0()(limtdxtx显然，当时间密化值定义为 1，即当 时，上式可记为11()(litdxxt记为离散形式 ()(xtxtd这显然表明 是一次累计生成，因此上述方程
7、可改写为dxt(1)(1)(0)1xtxttt这实际也表明，模型是以生成数 （ 是以 的一次累加）为基础的。()()()当 足够小时， 到 不会发生突变，因此可取 与 的平均t()xtt ()xt)t值作为 时的背景值，因此，背景值便可记为0(1)(1)(1)2xtt或 (1)(1)(1)kxk于是白化的微分方程 可改写为()(1)dxaut(0) (1)(1)2kxkxku5或 (0) (1)(1)12xkaxkxku即 (0)(1)(1)()()()(0)(1)(1)32xxauxnxn因此，上述方程可以改写为矩阵方程形式，即 (1)(1)(0) ()()(0) (1)(1)21232 a
8、xx unaxn引入下列符号，设(0)(0)23NxYn1E(1)(1)()()(1)(1)22axXaxn于是便有 NYaXuEu令6au(1)(1)()()(1)(1)22axBXEaxn则 NYaXuEBau解得 1()TNaYu将求解得到的代入微分方程的解式（也称时间响应函数） ，则(1)(1)akuxkxe由于 ，因此求导还原得(0)(1)x(0) (0)11akxkaxe上述两式便为 GM（1，1）的时间响应式，及灰色系统预测模型的基本算式，当然上述两式计算结果只是近似计算值。为简记，一般可以将 GM（1，1）的建模过程记为(0)0(1)(0)(1);, 1IAGOMxGxauxk
9、xk10.2 灰色理论模型应用10.2.1GM（1，1）模型的应用污染物浓度问题GM（1，1）模型是灰色系统最基本的模型，下面以污染物浓度问题说明 GM（1，1）模型的建立及求解过程。例 10.1 某污染源中某种污染物质量浓度测量值如表 10.1，试建立 GM（1，1）模型表 10.1 某污染物质量浓度测量值 （mg/L） 年 份 2001 2002 2003 2004 2005 20067()0x3.936 4.575 4.968 5.063 5.968 5.507解：第一步，设原始数据为 (0)()(0)(0)1,2,6(3.9,4.57,.968,.03,5.968,.07) x第二步，
10、对原始数据进行累加生成，即 (1)(0)AGOx(1)(0).x(1)()()223964578.1x(1)(1)(0)3.x()()()42(1)(1)(0)554.10xx()()()6637因此累加生成数据为 (1)(0)3.9,8.51,.49,8.52,4.10,3.7)xAGOx第三步，构造矩阵 ,NBY(1)(1)()()(1)(1)()()(1)(1)22 -6.235 1.039 . .42-562xBxx 27.635 1.0 (0)(0)(0),3,4.57 .968 5.03 .968 5.07 T TNYx第四步，计算 。1TNaBY先求 ，即1()T8162. -8
11、.05TB根据逆矩阵的求解方法，得 1 0.36 .92()5170T再求 的值，即TNBY-42.6 081TNBY进而求得 的值为a1 0.36 .592-4.76-0.539a()10 81 42uTNBY计算 GM1_1 的程序如下function 10toliti01(X0)m,n=size(X0);X1=cumsum(X0); X2=;for i=1:n-1X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1);endB=-0.5.*X2;t=ones(n-1,1);B=B,t; YN=X0(2:end);P_t=YN./X1(1:(length(X0)-1)A=inv(B.*B)*B.*YN
12、.;a=A(1) u=A(2) Bb1=B.*Bb2=inv(B.*B)b3=B.*YN.b4=u/ab5=X1(1)-b4b6=-a*b5第五步，将 的值代入微分方程的时间响应函数，,au令 ，得(1)(1)03.96x9(1)(1) 0.539 84.268.04ak kuxkxee第六步，求导还原得 (0) (1) 0.539 .akk第七步，对上述模型进行精度检验。常用的方法是回代检验，即分别用 模型求出各时刻值，然后求相对误(1)(),0x差。先利用时间响应函数模型 求各时刻值（(1) 0.53984.268.04kke） ，并计算相对误差，结果如表 10.2 所示 .1,25k表
13、10.2 精度检验实测值、残差值表 1,25kGM 计算值(1)xk实测值(1)xk残差(1)ek相对残差 (1)q8.605913.534418.735924.225430.01908.5110 13.4790 18.5420 24.5100 30.0170-0.0949 -0.0554 -0.1939 0.2846 -0.0020-0.0112-0.0041-0.01050.0116-0.0001再利用时间响应函数模型 求各时刻值（ ） ，(0) 0.53914.kxke1,25k并计算相对误差，结果如表 10.3 所示.表 10.3 计算值与实验原始数据值对照表 ,GM 计算值(0)1x
14、k实测值(0)1xk残差(0)1ek相对残差 (0)1qk4.79605.06165.34195.63775.94994.57504.96805.06305.96805.5070-0.2210-0.0936-0.27890.3303-0.4429-0.0483 -0.0188 -0.0551 0.0553-0.080410从残差检验结果看，累计生成数列曲线拟合较好，相对误差在 0.01 即 1%左右；而还原数列的相对误差较大，其原因是累加生成数据将原始数据的随机性弱化，正负误差有抵消的，当数据再被还原回来时便表现出来。10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用油菜发病率问题当（，）模型的精度不
15、符合要求时，可用残差序列建立（，）模型，对原来的模型进行修正，以提高精度，即建立残差（，）模型，步骤如下第一步，利用原始数据建立 GM（1，1）模型，得时间响应式()(1)akuxkxe(0) (0)其中第二个式子也成为导数还原值。鉴于导数还原值与原始数据（累减还原值）不一致，为减少往返运算造成的误差，往往用原始数据与导数还原值的残差修正的 模拟值 。(0)x(0)第二步，利用残差数列建立新的 GM（1，1）模型。建立残差模型的过程和计算方法同于 GM（1，1）建模过程，只不过建立残差模型所用的原始数列采用的是残差数据。令 为残差，则(0)gk()(0)(0)xk即 (0)(0)(0)(0),
16、1,1,) gkggnin或 (0)(0)(0)(0),2,) i利用残差序列 建立新的 GM（1，1）模型，求解得时间响应式(0)g()(1)0)akukgke(0) ()a第三步，结合上两步的 GM（1，1）模型，建立残差 GM（1，1）模型结合上两步的 GM（1，1）模型，则相应的残差修正时间响应式为11(0) 0(0) () (1)011) ak akuaxexk uge称为导数还原式的残差修正模型。例 10.2 某县油菜发病率数据如表 10.4 所示，试建立残差 GM 模型并进行求解。表 10.4 某县油菜发病率数据 （%） 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
17、2 13()0x6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15解：第一步，建立原始数据的 GM（1，1）模型设原始数据为 (0)()(0)(0),2,3.1*645,214,85.,17xxx建立 GM（1，1）模型，利用 GM（1，1）的求解程序得时间响应式为() 0.64857kxke(0) .3第二步，误差检验利用时间响应函数模型 计算各时刻值（ ） ，(0) 0.6481.3kxke1,2k并计算相对误差，程序如下function 10toliti02(X0)%format long ;%X0=0.01*6 20 40 25 40 45 35 21 14
18、 18 15.5 17 15;m,n=size(X0);s(1)=1;for i=1:12y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i);z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1);12w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1);s(i+1)=i+1;endyX0zwz*zsum(abs(w)/12计算结果如表10.5所示表 10.5 计算值与实验原始数据值对照表 1,2kGM 计算值(0)1xk实测值(0)1xk残差(0)1ek相对残差 (0)q0.34490.32320.30290.28390.26610.24940.23370.21900.20530.19240.18030.1
19、6900.20.40.250.40.450.350.210.140.180.1550.170.15-0.14490.0768-0.05290.11610.18390.1006-0.0237-0.0790-0.0253-0.0374-0.0103-0.0190-0.72440.1919-0.21170.29020.40870.2875-0.1129-0.5645-0.1404-0.2412-0.0606-0.1265由表可以看出，最大误差高达 72.44%，最低的也达到 6.06%，模拟误差较大，进一步计算平均相对误差13(0)28.1%kq13平均相对误差很较大，相对精度约 70%。因此为了提
20、高远原点（即现时）精度，即将最后一个误差减小，需采用残差模型进行修正。第三步，以部分残差数据为原始数据建立新的 GM（1，1）模型取 得残差尾端，即取最后 5 个数据的残差：-0.0790,-0.0253,-0.0374,-0.0103,-0.0190,09k用此尾段可建立残差尾段模型，取绝对值，得残差数列 (0)()0.79,.23,0.74,.13,0.9gq以上述的残差数列为原始数据建立新的 GM（1，1）模型，得残差的时间响应式A(1) 0.89425kke(0) .13g第四步，将原始数据和部分残差数据的两个 GM（1，1）模型即(0) 0.648.kxke和 A(0) 0.1457
21、1.kg结合，得到修正后的残差 GM（1，1）模型0 0.648. 0.1894.3,()32, kkkexke第五步，用修正后的模型对 的模拟值进行修正，结果为：8,9(0)(0)(0)9,1,.1,0.93,.1874,0.62,.15xx第六步，精度检验建立如下程序：function 10toliti021(X0)%format long ;%X0=0.01*6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15;m,n=size(X0);s(1)=1;for i=8:12y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i)-0.0328*exp(-0.189
22、4*i);14z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1);w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1);s(i+1)=i+1;endyX0zwz*zsum(abs(w)/5计算结果如表10.6所示表 10.6 修正后计算值与实验原始数据值检验结果 8,912kGM 计算值(0)1xk实测值(0)1xk残差(0)1ek相对残差 (0)q0.21180.19930.18740.17620.16560.140.180.1550.170.15-0.0718-0.0193-0.0324-0.0062-0.0156-0.5130-0.1073-0.2093-0.0366-0.1040按此模型，可对 五个模拟
23、值进行修正，修正后的平均相对误差9,10,23k，精度有明显的提高。尤其对于原点附近的两个数据：13(0)9.4%5kq0.17，0.15相对误差分别降低为 3.66%和 10.4%，低于允许误差要求。这说明，对原点数据GM（1，1）模型修正是有必要的。10.2.3GM 模型在复杂问题中的应用SARS 疫情问题例 10.3 SARS 疫情问题2003年的SARS疫情对我国的发展产生了一定影响，尤其在经济发展方面产生了很大的影响，下面就SARS疫情对我国经济的影响问题建立GM模型并求解。1510.2.3.1 问题的提出 2003年的SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别是对部
24、分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。究竟 SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表10.710.9所示表 10.7 商品的零售额 （亿元）月份年份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月1997
25、19981999200020012002200383.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.592.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9139.3 129.5 1
26、22.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5表 10.8 接待海外旅游人数 （万人）月份年份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月1997199819992000200120022
27、0039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.511.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.511.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.713.7
28、 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.915.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.816表 10.9 综合服务业累计数额 （亿元）月份年份 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月199719981999200020012002200396 144 194 276 383 466 554 652 747 832 972111 169 235 400 459 565 695 805 881 1011 11
29、39151 238 335 425 541 641 739 866 975 1087 1238164 263 376 531 600 711 913 1038 1173 1296 1497182 318 445 576 708 856 1000 1145 1292 1435 1667216 361 504 642 818 979 1142 1305 1479 1644 1920241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估 2003 年 SARS 疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。
30、10.2.3.2模型的假设与分析模型假设：（1）假设该市的统计数据都是可靠准确的；（2）假设该市在SARS 疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS 疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。模型分析：根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：（1）利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由19972002 年的平均值预测2003 年平均值；（2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003 年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS 疫情实际造成的影响。10.2.3.3
31、 建立灰色预测模型 GM(1,1)第一步,数据处理（1）原始数据：根据表中的已知数据，计算19972002年某项指标的年平均值，作为原始数据，记为 (0)()(0)(0)1,2,6xxx17并要求级比 (0)(0)1/.751,.30)(1,26)ixii i（2）数据的累加生成：对原始数据 进行一次累加生成，(0)，(1)(0)x1(1)(1)(0) (),2,1kixkxkxin因此累加生成数据 记为(1)()(0)(1)()(1),2,6xAGOxx（2）背景值的选择：取累加生成数据 的加权平均值为背景值 ，即(1) (1)z()(1) (),1,25)zkxkxk其中 为确定参数。背景
32、值 记为()(1)()(1)(1)2,3,6z第二步，GM（1，1）模型的建立（1）建立 GM（1，1）的白化微分方程模型 (1)()dxaut其中是 a 发展灰度， u 是内生控制灰度。（2）转化为灰微分方程 (0)(1),(2,36)xkazuk或 (0)(1),(,)z即矩阵形式为 aYBAu其中18(1)(0)(0)(0)(1)232,3,6, ,6 zaYxxBAuz(3)转化为时间响应函数利用最小二乘法得到参数的估计值 ，进而得到灰微分方程的解 ，对 求导,au(1)x(1)还原得 。即参数的估计值 为(0)x, 1()TABYu微分方程的解式（也称时间响应函数）为 (1)(1)a
33、kuxkxe(0) (0)其中 ， 称为还原值。(0)(1)x()1xk第三步，利用模型预测指标值根据时间响应函数可以预测出正常情况下2003年的平均值，则 ，则预测2003年的总x值为 。根据历史数据，可以计算出2003 年第i 个月的指标值占全年总值的比例12Zx为 ，即iu612,(2,1)ijjiijijau记为 ，于是可以可到2003年每一个月的指标值1212(,)u VZu10.2.4.4 模型求解及结果分析（1）商品零售额根据商品零售额的数据表，计算得年平均值（即原始数据 ）和一次累加生成值(0)1x，分别为(1)x19(0)187.6, 9.5108.47,.16,32.80,
34、145.83)x() , 29 67 92显然 的所有级比都在可容区域内，这里取 ，计算可得背景值(0)x 0.5(1)36.87,40.35,8,47.12,8.50)z计算得参数的估计值为 ，进而得到时间响应函数9.63au(1) 0.98.6kxke(0) .31.7再根据时间响应函数预测可得，2003年的月平均值为 亿元；年总值为10.45x亿元。又根据比例 的表达式计算出每月的比例为1295.Zxiu(074, .80, .749, .086, .9, .8,.3202)iu因此 2003 年 112 月的预测值(单位：亿元)为152.864,.86,14.59,1.7,5.1,7.
35、4, 0327026369)VZu将预测值与实际值进行比较，结果如表10.10所示表 10.10 2003 年商品的零售额比较表 （亿元） 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月实际值预测值163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5152.9 155.3 144.2 151.2 157.7 157.4 162.6 161.3 168.0 170.5 166.7 177.1 图形如图10-1：（蓝线为实际值，红线为预测值）200
36、2 4 6 8 10 12120130140150160170180190图 10-1 2003 年商品的零售额实际值与预测值比较图通过图形可以直观的看出：（1）预测值波动比较小，真实值波动比较剧烈；（2）5月份左右真实值远远低于预测值，年初和年末都高于预测值。这是由实际情况造成的，年初当 SARS 疫情刚刚开始的时候，人们储备保健药品和保健食物等，拉动了零售额的增长；5 月份左右，SARS 疫情比较猖獗，此时好多学校和单位等实行封闭管理，大大限制了人们的消费，因此零售额明显降低；年末 SARS 疫情慢慢远去，此前被限制的消费得以充分实现，又促进了零售额的增长。当然可以根据模型所得数据，对 S
37、ARS 疫情给该市的商品零售业造成的影响进行定量分析，这里不再详述。计算的 MATLAB 程序如下：function 10toliti03clcclc,clearload shuju1.txt %把原始数据保存在纯文本文件 shuju1.txt 中han1(end,:)=;x0=mean(han1,2)m=size(han1,2);21n=size(x0,1);z1=;x1=cumsum(x0)alpha=0.5;for i=1:n-1z1(i,:)=(1-alpha)*x1(i)+alpha*x1(i+1);endz1Y=x0(2:n);B=-z1,ones(n-1,1);A=inv(B*B
38、)*B*Y;a=A(1)u=A(2)b4=u/ab5=x1(1)-b4b6=-a*b5k=6;x7hat=(x0(1)-u/a)*(exp(-a*k)-exp(-a*(k-1)z=m*x7hatu=sum(han1)/sum(sum(han1)v=z*u（2）接待海外旅游人数根据接待海外旅游人数的数据表，计算得年平均值（即原始数据 ）和一次累加(0)1x生成值 ，分别为(1)x(0)9.10,8.3,20.,4.3917,2.50,.7)(1) 758834x显然 的所有级比都在可容区域内，这里取 ，计算可得背景值(0) 0.(1) 28.4,.62,37,94,120.7)z22计算得参数的
39、估计值为 ，进而得到时间响应函数0.938,16.27au(1) 0.938451.5kxke(0) 再根据时间响应函数预测可得，2003年的月平均值为 万人；年总值为0.2649x万人。又根据比例 的表达式计算出每月的比例为1236.785Zxiu(04, .32, 0.7, .8, .7, .8,.1140901)iu因此 2003 年 112 月的预测值(单位：万人)为 4.792,6.580,.3,.86,2.548,3.792, 301759106)VZu将预测值与实际值进行比较，结果如表10.11所示表 10.11 2003 年接待海外旅游人数 （万人） 月份 1 月 2 月 3
40、月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月实际值预测值15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.814.8 26.6 25.5 31.9 33.0 30.8 30.4 37.1 36.7 37.8 33.2 25.5 图形如图10-2：（蓝线为实际值，红线为预测值）230 2 4 6 8 10 120510152025303540图 10-2 2003 年接待海外旅游人数实际值与预测值比较图通过图形可以直观的看出：（1）预测值波动比较小，真实值波动比较剧烈；（2）真实值低于预测值，尤其
41、 5 月份左右真实值远远低于预测值，年初和年末相差不太大。这是由实际情况造成的， 5 月份左右 SARS 疫情比较猖獗，此时好多学校和单位等实行封闭管理，大大限制了人们的出行，同时人们也基于自身安全的因素，能不出门就不出门，因此旅游人数大大降低，旅游业处于低谷；年初和年末 SARS 疫情对人们出行的影响不大，因此年初和年末年末海外旅游人数的实值略低于预测值。（3）综合服务业累计数据根据综合服务业累计数据的数据表，计算得年平均值（即原始数据 ）和一次累(0)1x加生成值 ，分别为(1)x(0)483.,5.2,67.8,.4,.9,0.)(1)109352385x显然 的所有级比都在可容区域内，
42、这里取 ，计算可得背景值(0) 0.(1)7.4,.,218,4,.0)z24计算得参数的估计值为 。进而得到时间响应函数0.134,81.203au() .465958.26kxke(0) 0.13.再根据时间响应函数预测可得，2003年的月平均值为 亿元；年总值为4.0x亿元。又根据比例 的表达式计算出每月的比例为1258.4Zxiu(019, .3, 0.4, .591, .728, .5,.625804)iu因此 2003 年 112 月的预测值(单位：亿元)为240.1,389.7,4.,3.,91.,., 6506520)VZu将预测值与实际值进行比较，结果如表10.12所示表 1
43、0.12 2003 年综合服务业累计数据的比较表 （亿元） 月份 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月实际值预测值241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218240 390 545 744 916 1101 1316 1517 1709 1907 2201图形如图10-3：（蓝线为实际值，红线为预测值）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1105001000150020002500图 10-3 2003 年综合服务业累计数据实际值与预测值比较图通过图形可以直观的看出：（1）预测值
44、与真实值相差不大；（2）5月份左右真实值与预测值最接近。这是由实际情况造成的，SARS 疫情对于综合服务业中的部分行业影响较25大，如航空交通运输、宾馆餐饮等，但有些行业影响不大，如电信、通讯等，因此总平均来看，影响还不算太大。（4）模型的评价从三方面的结果分析，可以看出模型的结论与实际情况相符，这说明了模型的正确性和可靠性。虽然该模型是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的，但类似地也适用于其它方面的一些数据规律的评估预测问题，即该模型具有很广泛的应用性。10.2.4 GM（1，n）模型的应用因素相关问题GM（1，n）模型表示一阶的含有 n 个变量灰色模型，适合于建立系统的状态模型与各变
45、量的动态分析，与 GM（1，1）模型不同，不适合预测用；但建模与计算过程与GM（1，1）模型类似。GM（1，2）模型是 GM（1，n）模型的基础，因此下面以 GM（1，2）模型为例说明 GM（1，n）模型的建模过程。GM（1，2）模型表示一阶的含有两个变量灰色模型，其相应的白化微分方程模型为 (1)(1)(1)2dxauxt时间相应函数(即解)为 (1)(0)(1) (1)122 akxkxxexa还原值为 (0)(1)(0)1 1kkk例 10.4 某系统中两因素 和 相互之间存在关系，其中因素 为系统特征因素，x2 1x因素 为相关因素，两因素的关系如表 10.13 所示2x表 10.13
46、 两因素的关系 序号 1 2 3 4 5因素 1x因素 210.7 12.3 15.4 19.2 21.540.3 50.5 60.3 65.5 75.2解：第一步，数据处理取原始数据为 (0)1.7,2315.4,92.)x()24607对原始数据累加生成，得26(1)(0)1.7,238.4,5679.1)xAGOx()()229,2.8第二步，建立 GM（1，2）模型白化的微分方程模型为 (1)(1)(1)2dxauxt转化为灰微分方程 (0)(1)(1)1 ,35)xkzzk或 (0)(1)(1)1 ,2,)azuz其中。(1)(1)(1) ,(,345)2xkz k即矩阵形式为 aYBAu其中 (1)(1)2(0)(0)(0)()()11232,3,5, ,465 zxaY
