1、 一次 函数的应用典型 例题 例1 某气 象研 究中 心观 测一场 沙尘 暴从 发生 到结 束的全 过程 。 开始 时风速 平均每 小 时 增加2 千米/时，4 小时 后 ，沙尘 暴经 过开 阔荒 漠地 ，风速 变为 平均 每小 时增 加 4 千米/ 时。 一段时 间 ， 风 速保持 不变 。 当 沙尘 暴遇 到绿色 植被 区时 ， 其 风速 平均每 小时 减少 1 千米/时， 最终停 止。 结合 风速 与时 间的图 象， 回答 下列 问题 ： （1）在 y 轴（ ） 内填 入相应 的数 值； （2） 沙尘 暴从 发生 到结 束 ，共经 过多 少小 时？ （3） 求出 当 25 x 时，风 速
2、y （ 千米/ 时） 与时 间 x （小 时 ）之间 的函 数关 系式 。 例 2 某批 发商 欲将 一批 海产品由 A 地运 往B 地 汽 车货运 公司 和铁 路货 运公 司均开 办 海产品 运输 业务 已 知运 输路程 为 120 千 米， 汽车 和火车 的速 度分 别 为 60 千米/时、100 千 米/时 两 货运 公司 的收 费 项目及 收费 标准 如下 表所 示： 运输工 具 运输费 单价 （元/ 吨 千 米） 冷藏费 单价 （元/ 吨 小时 ） 过路费 （元 ） 装卸及 管理 费 （ 元） 汽车 2 5 200 0 火车 1.8 5 0 1600 注： “ 元/ 吨 千 米” 表
3、示 每吨货 物每 千米 的运 费， “元/ 吨 小时” 表示 每吨 货物每 小 时的冷 藏费 （1）设 该批发 商待运 的海 产品有 x （吨 ），汽 车货 运公司和 铁路 货运公 司所 要收取 的 费用分 别为 1 y （元 ）和 2 y （元 ），试 求 1 y 与 2 y 与 x 的函 数关 系式； （2） 若该 批发 商待 运的 海 产品不 少 于 30 吨， 为节 省 运费 ， 他 应该 选择哪 个货 运公司 承 担运输 业务 ？ 例3 某市 20 位下 岗职 工 在近郊 承包 了 50 亩 土地 ， 这些地 可种 蔬菜 、 烟叶 或 小麦 ， 种 这几种 农作 物每 亩所 需职 工
4、数和 产值 预测 如下 表： 蔬 菜 烟 叶 小 麦 每亩地 所需 职工 数 2 13 14 1每亩地 预计 产值 1100 750 600 请你设计 一个 种植方 案， 使每亩地 都种 上农作 物，20 位职工 都有 工作， 且使 农作物 预 计总产 值最 多 例4 下 表所 示 为 装运 甲、 乙、 丙 三种 蔬菜 的重 量及 利润， 某汽 车公 司计 划装 运甲、 乙、 丙三种 蔬菜 到外 地销 售（ 每辆汽 车按 规定 满载 ，并 且每辆 汽车 只能 装一 种蔬 菜） 甲 乙 丙 每辆汽 车能 满载 的吨 数 2 1 1.5 每吨蔬 菜可 获利 润（ 百元 ） 5 7 4 （1） 若用
5、8 辆汽 车装 运乙 、 丙两 种蔬 菜 11 吨到 A 地 销售， 问装 运乙 、 丙 两种 蔬菜的 汽 车各多 少辆 ？ （2） 公司 计划 用 20 辆 汽 车装运 甲、 乙、 丙三 种蔬 菜 36 吨到 B 地 销售 （每 种 蔬菜不 少 于一车 ）， 如何 装运 ，可 使公司 获得 最大 利润 ？最 大利润 是多 少？ 例5 我省 某水 果种 植场 今年喜 获丰 收， 据估 计， 可 收获荔 枝和 芒果 共200 吨 按合 同， 每吨荔 枝售 价为 人民 币 0.3 万元， 每吨 芒果 售价 为人 民币 0.5 万 元 现设 销售 这两种 水果 的 总收入 为人 民 币y 万 元，
6、荔枝的 产量 为 x 吨（0x 200 ） （1） 请写 出y 关于x 的函数 关系 式； （2） 若估 计芒 果产 量 不小于 荔枝 和芒 果总 产量 的 20 ， 但不 大于 60 ， 请求 出 y 值的 范围 例 6 A 市和B 市分别 有某 种库 存机 器12 台和6 台 ， 现 决定 支 援C 村 10 台，D 村 8 台. 已知 从A 市调运 一台 机 器到C 村和D 村的运 费分 别 是400 元和 800 元 ， 从B 市调 运 一 台机器 到C 村和D 村的运 费分 别是 300 元和 500 元. （1）设B 市运往C 村机 器x 台， 求总运 费W （元） 关于x 的函
7、数关系 式； （2） 若要 求总 运费 不超 过 9000 元 ，共 有几 种调 运 方案？ （3） 求出 总运 费最 低的 调 运方案 ，最 低运 费是 多少 ？ 参考答案 例 1 分析 （1） 沙尘 暴 开始时 ，风 速平 均每 小时 增加 2 千米 ，那么4 小时 后，风 速达到8 千米， 后来 的6 个小 时中 ，风速 每小 时增加 4 千米 ，那么 6 个 小时 风速 增加24 千米 ，达 到 32 千米/ 时， 后来 风速 平 均每小 时减 少 1 千 米， 那 么已达 到 32 千米/ 时的 沙 尘暴 要 32 个小 时才平 息。 解 （1 ）8 ，32. （2） 57 25 3
8、2 （小 时） ， 沙尘 暴从发 生到 结束 共经 过 57 小时。 （3） 设所 求函 数解 析式 为 b kx y ， 由 图象 可知 ， 该 函数 图象 过点 （25 ，32 ） 和 （57， 0）， 则 . 0 57 , 32 25 b k b k解得 . 57 , 1 b k 57 25 57 x x y ， . 例2 分析 在列 函数 式时 要注意 ： 1 y 等于 运费 加上 冷 藏费再 加过 路费 ， 2 y 等于 运 费加上 冷 藏费再 加上 装卸 及管 理费 解 （1 ）根 据题 意， 得 . 200 250 60 120 5 120 2 200 1 x x x y . 1
9、600 222 100 120 5 120 8 . 1 1600 2 x x x y （2） 分三 种情 况： 若 2 1 y y ， 1600 222 200 250 x x ，解 得 50 x ； 若 2 1 y y ， 1600 222 200 250 x x ，解 得 50 x ； 若 2 1 y y ， 1600 222 200 250 x x ，解 得 50 x . 综上所 述， 当所 运海 产品 不少于 30 吨且 不足 50 吨 时，应 选择 汽车 货运 公司 承担运 输 业务， 当所 运海 产品 刚好 50 吨时 ，可 选择 汽车 货运 公司， 铁路 货运 公司 中的 任意一
10、 家承 担 运输业 务； 当所 运海 产品 多于 50 吨 时， 应选 择铁 路 货运公 司承 担运 输业 务 例 3 分析 本题中 有两 个 相等的 关系： （1） 三种 作 物面积 之和 为 50，（2） 共有职 工 20 人， 有 三个未 知量： 蔬菜 、 烟叶、 小麦 的种植 亩数 由于未 知数 比相 等关 系 多一个， 因此 无 法求出 这三 种作 物种 植的 亩数， 只能 找到 它们 之间 的关系 ， 从 而通 过分 析这 些关系 得出 问题 的解 解 设 种植 蔬菜x 亩 、烟 叶y 亩， 则 种植 小麦 ) 50 ( y x 亩， 根据题 意， 得 20 ) 50 ( 4 1
11、3 1 2 1 y x y x . 即 90 3 y x ， . 3 90 x y 设预计 总产 值 为W，则 30000 15 500 ) 50 ( 600 750 1100 y x y x y x W ， 把 x y 3 90 代入 上式 ，得 x W 50 43500 . 0 3 90 x y ， 30 0 x ， 又由 每亩 蔬菜 所需职 工人 数为 2 1 可知 x 为 偶数 由一次 函数 的性 质知 ， 当 30 x 时， 20 50 , 0 y x y ， 此 时W 的值 最大 ， 为45000 元 此时种 蔬菜 的人 数 为 15 人 ，种小 麦的 人数 为 5 人 答： 种
12、蔬菜30 亩， 小 麦 20 亩， 不种 烟叶， 这时 所有 职工都 有工 作， 且农 作物 预计总 产 值为45000 元 例4 分析 （1）第（1 ） 问比较 简单 ， 可 以用 一元 一次方 程求 得其 解 （2） 第 （2） 问中 ， 由于现 在有 甲、 乙、 丙三 种蔬菜 ，而 条件 只有 两个 ：20 辆 汽车 、36 吨菜 ，这 样列式 就比 较 困难 如 果用y 辆 汽车 装 运甲种 蔬菜 ，z 辆汽 车装 运 乙种蔬 菜 ， 则 用 ) ( 20 z y 辆汽车 装 运丙种 蔬菜 ，根 据蔬 菜一 共 36 吨 ，找 到y 与 z 之间 的关系 ，由 于每 种蔬 菜不 少于一
13、 车， 这 样可以 求 出y 的 取值 范围 在此基 础上 ， 可以列 出所 获利 润 S 与 y 的 函数 关系 ， 通 过讨 论 y 的值的 情况 ， 求 出所 获 最大利 润的 情况 解 （1 ）设 用x 辆汽 车装 运乙种 蔬菜 ，则 用 ) 8 ( x 辆汽车 装运丙 种蔬 菜 根据题 意， 得 11 ) 8 ( 5 . 1 x x ， . 6 8 2 x x ， 即应安 排2 辆汽 车装 运乙 种蔬菜 ，6 辆汽 车装 运丙 种蔬菜 （2） 设安 排 y 辆 汽车 装运 甲种蔬 菜，z 辆 汽车 装运 乙种蔬 菜， 则用 ) ( 20 z y 辆汽 车装运 丙种 蔬菜 ，根 据题
14、意： 36 ) ( 20 5 . 1 2 z y z y ，化简 ，得 12 y z ， 1 2 32 ) ( 20 , 1 , 1 y z y z y ， 5 . 15 13 y . 设获得 利润 为S 百元 ，则 4 ) ( 20 5 . 1 72 5 2 z y y S . 108 5 ) 2 32 ( 6 ) 2 32 ( 6 ) 12 ( 7 10 y y y y y 当 15 y 时， 183 最大 S ，此 时 2 ) ( 20 3 12 z y y z ， ， 安排 15 辆汽 车装 运甲 种蔬菜 ，3 辆汽 车装 运乙 种蔬菜 ，2 辆汽 车装 运丙 种蔬菜 ，可 获得最 大
15、利 润1.83 万元 说明 ： 从 本题 的解题 过程 中看到 ， 一次 函数虽 然没 有最大 值或 最小 值， 但当 自变量 在 某 一个确 定的 范围 内变 化时 ，一次 函数 就有 最大 值或 最小值 了 例5 解:（1） 因为 荔枝 为 x 吨 ，所 以芒 果为 ) 200 ( x 吨. 依 题意， 得 . 100 2 . 0 ) 200 ( 5 . 0 3 . 0 x x x y即所求 函数 关系 式为 ： ) 200 0 ( 100 2 . 0 x x y . （2） 芒果 产量 最小 值为 ： 40 % 20 200 （吨） 此时， 160 40 200 x （吨 ）； 最大值
16、为： 120 % 60 200 （吨 ）. 此时， 80 120 200 x （吨 ）. 由函数 关系 式 100 2 . 0 x y 知，y 随 x 的增大 而减 少， 所以 ，y 的最大 值为 ： 84 100 80 2 . 0 y （万元 ） 最小值 为： 68 100 160 2 . 0 y （万元 ）. y 值的 范围 为 68 万元 y 84 万元. 说明： 本题 主要 考查 一次 函数的 应用 ，用 一次 函数 来解决 实际 问题 。 例6 分析： 本题 的已 知 条件比 较多 ， 读 了题 目后 ， 要依 据题 意列 出下 列表 格， 各 个数 量之 间的关 系就 容易 看出
17、，就 可以列 出等 量关 系了 。 解：由 已知 条件 分析 得下 表 库存机 器 支援C 村 支援D 村 B 市 6 台 x 台 （ x 6 ）台 A 市 12 台 （10-x ）台 8-（6-x ）台 （1） 依题 意得 ) 6 ( 8 800 ) 10 ( 400 ) 6 ( 500 300 x x x x W 8600 200 x ) 6 0 ( x 所以W 与x 的函 数关 系式 为 8600 200 x W ) 6 0 ( x （2）由 9000 8600 200 x W 得 2 x . 又 因为x 必须 是正 整数. 所以x 可以 取 0，1 ，2 三个 数，共 有三 种调 运方 案. （3） 因为 8600 200 x W 是一 次函 数， 且W 随x 的增 大而 增大. 所以当x 取最 小值 时，W 最小. 即当 0 x 时， ) ( 8600 8600 0 200 min 元 W . 答：当 从A 市调运 10 台给C 村，调 2 台给D 村， 从B 市调 6 台给D 村时， 总运 费最低 ，最 低运 费 是 8600 元. 说明： 题目 中如 果数 量关 系比较 多， 等量 关系 不容 易找， 可以 考虑 列出 表格 ， 来帮 助理 解题 意。
