1、 平面向量的数量积教案考纲要求:掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题,掌握向量垂直的条件.高考预测:(1)客观题 - 考查数量积的定义、性质及运算律,难度较低.(2)主观题-以平面向量的数量积为工具,考查其综合应用,多与函数、三角函数、不等式联系,难度中等.教学目标： (i)知识目标:（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.(2) 平面向量数量积的应用.(ii)能力目标:(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 用
2、数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.教学难点: 平面向量数量积的综合应用.教 具：多媒体.教材教法分析:本节课是高三第一轮平面向量数量积复习课,重点掌握平面向量数量积及几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.渗透化归思想以及数形结合思想.教学过程：一、追溯（修改：这部分属知识点回顾，既然是高三复习课，可把相关知识点以填空的形式展示出来。一方面可要求不主动学习的学生完成必要的任务，另一方面也把知识的重点部分展现在所有学生面前。 ）1平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是 ，则数量| |aba|cos 叫 与 的数量积，记作 ，即 = | |
3、 |cos ， 并规定 与babab(0)0任何向量的数量积为 0 奎 屯王 新 敞新 疆 2平面向量的数量积的几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos 的乘积. abab3两个向量的数量积的性质 设 、 奎 屯王 新 敞新 疆 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量 奎 屯王 新 敞新 疆abe1 = =| |cos ； 2 = 0eaab3 当 与 同向时， = | | |；当 与 反向时， = | | | 奎 屯王 新 敞新 疆 ,特别地 = | |2 b aba4 cos = ； 5 | | | | |a ab4.平面向量数量积的运算律 交换律： = 数乘结合律：(
4、 ) = ( ) = ( )ababab 分配律：( + ) = + cbc5.平面向量数量积的坐标表示已知两个向量 ， ,则 .),(1yxa)(2yxba21yx设 ，则 .),(2|平面内两点间的距离公式 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为、 ，那么 .),(1yx),(2 2121)()(| yxa向量垂直的判定 两个非零向量 ， ，则 .,y,2bba021yx两向量夹角的余弦 cos = 221yx（ ）.|ab 0二、典型例题1. 平面向量数量积的运算例题 1 已知下列命题: ; ; ; ()0a()()abc()()abcA()abcA其中正确命题序号是 、 .点
5、评: 掌握平面向量数量积的含义 ,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题 2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为 ,分别求 .,5(1)|若 与 03解(1)当 时, = 或 = .|abA0cos2510ababAcos1825(1)0(2)当 时, = .9(3)当 的夹角为 时, = .ab与 03abA03cos325变式训练:已知 ,求0000(cos2,67),(68,cs) abA解: = 00cs368sabA 0002o23ini23cosin45点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.2.夹角问题例题 3 (2005 年北京)若
6、,且 ,则向量 与向量 的夹角为 ( )1,2abcabcabA. B. C. D. 0060015解:依题意 故选 C2()0cos0abab 1cos20学生训练: 已知 ,求向量 与向量 的夹角.,37ab 已知 , 夹角为 ,则 .(1,2)(4)与 (cs解: ,故夹角为 .7ab27abA31cos,2abA06依题意得 .)(3,4)( ()85变式训练:已知 是两个非零向量 ,同时满足 ,求 的夹角.,ababab与法一 解:将 两边平方得 , 21A223abaA则 , 故 的夹角.为 .22() 3cosaabAab与 0法二: 数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应
7、用两个向量夹角的两种求法.3.向量模的问题例题 4 已知向量 满足 ,且 的夹角为 ,求 .,ab6,4ba与 063ab和解: ,且 的夹角为 6与 012bA; 22769ababA 236910863.aabA变式训练 :(2005 年湖北)已知向量 ,若 不超过 5,则 的取值范围 ( )(,)(5)bkkA. B. C. D. 4,664622,6(2006 年福建) 已知 的夹角为 , , ,则 等于( )a与 0123a1bA 5 B. 4 C. 3 D. 1解: , 故选 C2(3,)()95abk62k , ,解得 ,故选 B2abA0cos1ab4b点评:涉及向量模的问题一
8、般利用 ,注意两边平方是常用的方法.224.平面向量数量积的综合应用例题 5 (2006 年全国卷)已知向量 .(sin,1)(,cos),2ab(1) 若 ; (2)求 的最大值 .,ab求 解:(1)若 ,则 , .sinco0ta,()4(2) = =ab22(i1)(s)3sinco32sin(), ,24i()(,14, 的最大值为 .当 时 ab 232例题 6 已知向量 ,且 满足 ,(cos,in),(cos,in)ab3kakbR(1) 求证 ; (2)将 与 的数量积表示为关于 的函数 ;()ab()f(2) 求函数 的最小值及取得最小值时向量 与向量 的夹角 .fkb（修改：这道例题并不适合普高水平的学生，真必须要讲也可放在第二轮复习时再讲。 ）解:(1) (cos,in),(cos,in)ab, 故 22()|10baA ()()ab(2) ,3kk2222 2, 136,abbkkAA又故 .1,(0)4kbA1(),(0)4f(3) ,此时当 最小值为 .2()2kfkA,()kf12,量 与向量 的夹角 1cosabAb3小结1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算率.2. 灵活应用公式 = | | |cos , , .abba21yx2|yxa3. 平面向量数量积的综合应用。
