1、奇异值分解压缩图像利用奇异值分解压缩图像。具体做法：将一幅 N N 的灰度图像切分成K K 的小图像，共有 M M 个, M=(N/K). 每个图像记为 IMG(s),s=1,2,M2。首先求得这 M2 的均值，不妨记为 ， 对每幅图像减去均值得到新的图IG像，不妨仍旧记为 IMG(k)。定义两幅图像的内积为它们相应像素乘积的和。这时我们可以得到一个 K2 维向量的相关矩阵 R。它的元素定义为 R(i, j; k, l )=，0 i,j,k,l K 1。这样可以求得 R 的特征值和特21IG(,)I(,sssijl征向量图像。注意每个特征向量都是 K2 维的。选取前面几个较大的特征值对应的特征
2、向量，对每幅小图像计算它们和特征向量的内积，这就是编码。对于恢复图像，仅需要利用这些内积和相应特征图像乘积然后求和，再加上均值图像，就可得到原图像的一个近似。注意在叙述中我们对矩阵下标使用了两个IM变量，这主要是为了和图像对应。其实可以非常方便的转换为单变量，如 I=i +K j. 这样 0 I K2 1，另一下标类似。讨论压缩率和实际效果的关系。编程思路：1 直接对 N N 的图像进行奇异值分解。对图像减去均值，得到新的图像 X，然后求出新图像的自相关矩阵 A（N N）,求得 R 的特征值和特征向量图像。选取前面 n 个较大的特征值对应的特征向量组成矩阵 T(N n),计算特征向量转置矩阵
3、T 和新图像 X 的乘积 X1=T X，这就是对图像的编码，只需存储 X1 和特征向量矩阵 T 即可。需要总的存储量为 2 n N,相当于压缩了 N/2n 倍。恢复图像时只需以 T X1 即可恢复图像,当然,我们只取了特征值较大的几个向量,舍弃了特征值较小的向量,对原图像肯定有影响,是有损压缩。2 将一幅 N N 的灰度图像切分成 K K 的小图像，共有 M M 个, M=(N/K)，再采用奇异值分解的方法压缩图像。首先将 N N 的图像变成 K2 M2 维的矩阵 X,矩阵的一列是一个小图像的灰度值,因此有 K2 行, M2 列。原图像中的小图像和小图像中元素的编号由从左到右，从上倒下的顺序编
4、号，便于以后恢复，如下图所式：图中大方格表示小图像，有 M2 个；第一个大方格中的小方格是对小方格元素的编号，可以看出来每个小图像有 K2 个元素。1 2 K 2 MK+1 2K K2M+1 2M (M-1) M+1 M M接下来对 X 进行奇异值分解，和方案 1 的方法一样。不同的是假设留 n 个特征向量，需要的存储数据为 n (K2+ M2)，压缩比为(K 2 M2)/ (n (K2+ M2)。恢复数据时还需要将 K2 M2 的矩阵在变回 N N 的矩阵，恢复图像。MATLAB 程序：方案 1 的程序是”svd_cprs1.m”, 方案 2 的程序见”svd_cprs2.m”，这两个程序均
5、是采用“1.jpg”,512 512 个点的灰度图像,便于对两种方法作比较 .试验结果及比较：对于 1 方案只有一个可调参数即选取的特征值和特征向量的数目 n，调整n 既可以得到不同的压缩比。而对于方案 2 则有两个参数可调，即 K(M 是由N/K 决定) 和 n,首先我们在取相通压缩比的情况下对两种方案进行比较，为方便比较，K 取比较典型的值 8。其次，对方案 2 我们取不同的 K 值情况下，取相同的压缩比对不同 K 值对方案的影响进行了分析。1相同压缩比，方案 1 与方案 2（K 取 8）的比较：图 1 原图像四倍压缩：图 2 四倍压缩后恢复图像的效果比较左图为方案 1 结果，右图为方案
6、2 结果八倍压缩：图 3 八倍压缩后恢复图像的效果比较左图为方案 1 结果，右图为方案 2 结果十六倍压缩：图 4 十六倍压缩后恢复图像的效果比较左图为方案 1 结果，右图为方案 2 结果2相同压缩比，不同 K 值的方案 2 比较：八倍压缩：图 5 八倍压缩后恢复图像的效果比较左图 K=8，中图 K=16,右图 K=32十六倍压缩：图 6 十六倍压缩后恢复图像的效果比较左图 K=8，中图 K=16,右图 K=32六十四倍压缩：图 7 六十四倍压缩后恢复图像的效果比较左图 K=8，中图 K=16,右图 K=32试验结果的分析：1 方案 2 明显优于方案 1。从两种压缩方案效果的对比中，我们很容易
7、看出方案 2 明显优于方案 1。虽然两种方案都用的是矩阵的奇异值分解，不同的地方在于方案 2 在用奇异值分解的之前先将图像分成了 M M 个小图像，我们求的奇异值是每个小图像的奇异值的平均，由于相邻像素点相关性比较强，因此只需要比较少的特征向量即可在比较大的压缩比情况下获得更好的图像质量。也就是说，在保证相同成像质量的前提下，方案 2 的压缩比要远大于方案 1 的压缩比。2方案 2 中的 K 值应选取在 10 左右。对于方案 2 来说，如何选取 K 值也是一个比较重要的问题。理论上， K 值越小，小图像的个数越多，第一个特征向量包含的图像信息也就越多，在选取相同数量的特征向量时成出来的像也就越
8、好，但是方案 2 理论上能达到的最大的压缩比是 K2,因此 K 越小，能达到的最大压缩比也就越小。另一方面，K 值越大，能达到的压缩比也就越大，理论上 K=M 以保证能达到的压缩比最大。但是 K 值一大，我们又不得不增加特征向量 n 的个数来保证图像质量，这样反而在相同图像质量之下压缩比会减小，而且，K 值越大，运算量也就越大，从效率上来说也是不可取的。因此，K 值应取得比较合适，由上面图 5-7 可看出 K 值取在 10 左右是比较合适的。 3两种方案的压缩极限。如果在不考虑图像质量的情况下，方案 1 当只取一个特征向量的时候能达到理论上的最大压缩比 N/2；方案 2 当 K=M，n=1 时能达到理论上的最大压缩比 N/2。从这点来看，两种方案是等价的。但实际运用中肯定是要考虑压缩后恢复的图像的质量，这样来看，方案 1最多能达到 10 倍左右的压缩比，而方案 2 达到 50 左右的压缩比是很容易的事（如果图像像素更大，也许会更大） 。如果考虑压缩前后图像失真比较小的话，方案 1 只能达到 2 倍左右的压缩比，而方案 2 至少也能达到 10 倍的压缩比。从这点来看，方案 2 也是明显优于方案 1 的。
