1、分宜中学 2018-2019 学年度上学期高二年级第一次段考数 学 试 卷一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.知 , , ,则 的大小关系为( )1.2a0.8b52logc,abcA. B. C. D. caba2.设 是等差数列 的前 项和, 则 的值为( )nSn5283()S53A. B. C. D. 16363.已知不等式 的整数解构成等差数列 的前三项,则数列 的第四项20xnana( )A. B. C. D. 或1314.已知数列 为等差数列且 ,则 的值为( )na174a21tA. B. C. D. 335.已知数列 满足 ,且 ,则数列 的最大项是( )na101
2、nanaA. B. C. D.不存在196.已知实数 满足 ,则 的取值范围是( ),xy4,45xyxy9xyA. B. C. D. 7261,2017.以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( )A.在 中, ABC: : abcsinABsinCB.在 中,若 ,则iabC.在 中,若 ,则 ;若 ,则 都成立sinABD.在 中, sisi8.若 为钝角三角形,三边长分别为 , , ,则 的取值范围是( )23xA. B. C. D.15,1351,513,9.已知数列 的通项公式 ,设其前 项和为 ,则使 成na*3lognanNnnS4n立的最小自然数 等于( )A.83 B.82
3、C.81 D.8010.在 中,角 所对的边分别为 已知 ,则ABC, ,abctan223,1AccBb( )A. B. C. 或 D. 643411.在 中, 是边 上的点,且 ,则 的ABDA,23,2BADBCDsin值为( ) A. B. C. D. 363612.在 中,若 ,则 等于( )ABC4422()abcabCA.45 B. C. 或 D. 或051601二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.在 中,若 ,其外接圆的半径是 ,则 .ABC63sin()BC14.在 中,角 所对的边分别为 若 则角 的, .abc=,2si+co=2A大小为_.15.已知 ,关于
4、 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 个整数,则所aZx260x3有符合条件的 的值之和是_.16.已知 , , ,则 _.2sin3n*N12.nnSa30S三、解答题(共 70 分)17.（10 分）在锐角 中, 分别为角 所对的边,且 .ABC,bcABC2sinacA（1）确定角 的大小;（2）若 ,且 的面积为 ,求 的值.7c32ab18.（12 分）已知首项都是 的两个数列 ,满足1,0,nnabN.120nnnabb（1）令 ,求数列 的通项公式;nacbnc（2）若 ,求数列 的前 项和 .13nnnS19. （12 分）在 中, .ABCcosB（1）证明: ;（2）若 ,
5、求 的值.1cos3sin4320.（12 分）已知函数 .2fx（1）若 求 的值域;2,xa（2）若存在实数 ,当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.t1xm3fxtm21.（12 分）设数列 的前 项和为 .已知 , , .nanS1a2123nSan*N（1）求 的值;2（2）求数列 的通项公式;na（3）证明:对一切正整数 ,有 .1274naa22. （12 分）如图所示，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度
6、为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A ，cos C .1213 35(1)求索道 AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？分宜中学 2018-2019 学年度上学期高二年级第一次段考数 学 答 案一、选择题1-5 ADDDA 6-10 BBDCB 11-12 DC二、填空题13. 14.
7、 15.21 16. 450326三、解答题17.答案：1.由 及正弦定理得, 2sinacA2sini3aAcC ,sin0A3iC 是锐角三角形,B2.解法 1: , ,由面积公式得 即 ,7c313sin,22ab6ab由余弦定理得 即 ,2co73ab7由变形得 ,()5故 ;解法 2:前同解法 1,联立、得 2271366abab消去 并整理得 ,解得 或 ,b413049所以 或 ,2a故 .518.答案：1.因为 ,1120nnnbab()nN所以 ,即 . 12nabc所以数列 是以首项 ,公差 的等差数列,故 .1d21nc2.由 知 ,13n 1()3nnb于是数列 前 项
8、和a01215,nnS 得 ,23nn -得 121(3.)()n2()所以 .nnS解析：19.答案：1.证明:在 中,由正弦定理及已知,得 ,ABCsincoBC于是 ,即 .sincosin0si0因为 ,从而 ,所以 .2.由 和 1 题得 ,A2故 .1s2s2cos3BA又 ,于是 .02inB从而 ,4sin42cos9.27coinB所以 .4273sin4s4cosin33318B20. 1.由题意得,当 时, ,21amax0ff,此时 的值域为 ,minfxf2a当 时, , ,10amax0finff此时 的值域为 ,f当 时, , ,2axfmin1fxf此时 的值域
9、为 .f1,2.由 , 成立得, ,3t220tt恒成立,令 , ,1xm2uxtx因为抛物线的开口向上,所以 ,ma 1u由 , 恒成立知 ,0u0化简得 ,令 ,2241tt221gtmt则原题可转化为:存在 ,使得 ,即当 ,400in4,0g ,函数 的图像的对称轴: ,mgt当 ,即 时, ,3mingt ,解得 .2316808当 ,即 时, ,41in13tgm ,解得 .30m3综上 的取值范围为 .,821.答案：1. , . 2123nSanN当 时, ,1n122a又 , .a242. , . 13nSn . 2123n nna当 时, , 21nS由-,得 ,1nn ,
10、1nna ,a 又 .1n(2)1数列 是以首项为 ,公差为 1 的等差数列.a .2*1,nnaN3.证明:由 2 知, .*当 时 ,原不等式成立.174当 时, ,n221,1nnn 2121naa 1342n13452n 121n.717424n当 时,原不等式亦成立. 综上,对一切正整数 ,有 .12naa22.(1)在 ABC 中，因为 cos A ，cos C ，1213 35所以 sin A ，sin C .513 45从而 sin Bsin A C sin( A C)sin Acos Ccos Asin C .513 35 1213 45 6365由 ，得ABsin C AC
11、sin BAB sin C 1 040(m)ACsin B 1 2606365 45所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)设乙出发 t min 后，甲、乙两游客距离为 d m，此时，甲行走了(10050 t)m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得d2(10050 t)2(130 t)22130 t(10050 t)1213200(37 t270 t50)，因 0 t ，即 0 t8，1 040130故当 t min 时，甲、乙两游客距离最短3537(3)由 ，得 BC sin A 500(m)BCsin A ACsin B ACsin B 1 2606365 513乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3 3，500v 71050解得 v ，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行1 25043 62514的速度应控制在 (单位：m/min)范围内1 25043 ， 62514
