1、第十章 环与城前一章的半群与群，讨论的是具有一个二元运算的代数系统，这对于一般数的集合都是远远不够的。因此有必要研究具有多个运算的代数系统。本章将讨论色含两个相关事实的二元运算的特殊的代数系统环与城。环在计算机科学和编码理论的研究中有许多应用。31 环定义 31.1 设是含两个二元运算的代数系统，若1) 是交换群2) 是半群3) 满足对+的分配律则称是环。也就是说，设是含两个二元运算的代数系统，若满足 对 R 中任意元素 a,b 和 c，有(a+b)+c=a+(b+c) 对 R 中任意元素 a 和 b，有a+b=b+a 在 R 中存在元素 o，对 R 中任意元素 a，有o+a=a 对 R 中任
2、意元素 a，在 R 中存在元素-a，使(-a)+a=o 对 R 中任意元素 a，b 和 c，有(ab)c=a(bc) 对 R 中任意元素 a，b 和 c，有a(b+c)=(ab)+(ac)对 R 中任意元素 a,b 和 c，有(b+c)a=(ba)+(ca)则称是环。在环中，我们常规定先后+，并将 ab 简写为 ab，这样一来，如上面中的等式就可写成 a(b+c)=ab+ac 和(b+c)a=ba+ca 了。的幺元 0 称为环的加法幺元或零元，的幺元一般不存在，若存在幺元，常记为 1，则 1 称为环的乘法幺元或幺元。对环中的任意元素 a 和 b，可规定 a-b=a+(-b)，并称为中的减法运算
3、。例 311 都是环，这些 ,2CRII环称数环。例 312 对任意正整数 n,是环，称模 n 的同余类环。例 313 设 S 是任意集合，若在幂集 中规定二元运算+和。)(sBA)()(则 是环，称 S 的子集环。)(s例 314 是环，称实系数多项式环。xR例 315 是环，称整数集合上的二阶矩阵环。)(2IM定理 311 设 是环，则对 R 中任意元素 a,b 和 c，有1）0a=a0=02）(-a)b=a(-b)=-(ab)3）(-a)(-b)=ab。4）a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca,即对的分配律成立。证明 1）因 0a=(0+0)a=0a+0a,故 0a=0，同
4、理可证 a0=0。2）由 1）的结论，(-a)b+ab=(-a)+a)b=0b=0，故(-a)b=-(ab)。同理可证 a(-b)=-(ab)3）由 2）的结论，即得(-a)(-b)=-(a(-b)=-(-(ab)=ab。4）a(b-c)=a(b+(-c)=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac。同理可证(b-c)a=ba-ca 。 通常根据环中乘法半群满足的性质不同，将相应的环用不同的术语表示，从而可有以下特殊环。定义 312 设是环。1） 若是交换半群，则称是交换环。2） 若是含幺半群，则称是含幺环。3） 若满足等幂律，则称是布尔环。4） 若 R 中存在两个非零元素 a 和 b，使
5、 ab=0，则称 a,b 为零因子，而称是含零因子环，否则称是无零因子环。在例 312例 315 中，除外，都是交换环；除外，都是含幺环，子集环 是布尔环；n 是复合数时)(s的和|S|1 时的都是含零因子环。)(s定理 312 设 是环，则是无零因子环的充要条件为其中消去律成立。证明 必要性：若 ab=ac，a0,则因 a(b-c)=0,可得 b-c=0，即 b=c。同理，若 ba=ca，a0 则也可得 b=c。充分性：若 ab=0, a0，则因 a(b-c)=0，可得 b=0，同理，若 ba=0，a0则也可得 b=0。故环不含零因子。 定义 313 设是环，若|R|1 含幺元，可交换，无零
6、因子（或消去律成立） ，则称是整环。在例 311 中，除外，都是整环。例 314 中的是整环，例 312 中的，当 n 是素数时也是整环。定义 314 设是环。若|R|，含幺元，每个非零元素有乘法逆元，则称是除环。很明显，除环必无零因子。例 316 我们用 来表示复数 的共轭复数，如 等，x 2,2i则显然有 和 。现设集合yxyx,|CbaM下面要证明 M 对于矩阵的加法和乘法构成一个除环，这个除环称为啥密尔顿四元数环，其元素就称为四元数。显然|M|1。对 M 中任意元素和badc因+ =badcdbca =abcdcdba可见和确是 M 中的二元运算。首先， 是交换群。这是因为在 M 中，
7、矩阵的加法满足结合律和交换律，且加法幺元为=00而任意元素 ba的加法逆元为 ba其次，是含幺半群。这是因为在 M 中，矩阵的乘法满足结合律，且乘法幺元为=011再次，满足对的分配律。这是因为在 M 中，矩阵的乘法对于加法满足分配律。又对中任意非零元素 32101032iaia其中 a0,a1,a2,a3是不全为零的实数，从而其行列式= ，023210aa这个元素的乘法逆元为由上述论证，可见是除环。若令 1= 0101i= 00iiij= 101k= 00ii可见 I, i,j和 k是 M 中四个特殊元素，且具有下列性质：1 222kjiI kIjI jiikkiji M 中任意元素a= 32
8、101032iaia都可唯一的表为 a=a01+a2i+a3j+a3k，其中 a0,a1,a2,a3是实数。故四元数类似于平常的复数。由定理 2410 和定理 211 可得下面定理。定理 313 两个环的积代数是环。定义 321 设是环，S 是 R 的非空子集，若对 S 中任意元素 a和 b ，有1） Sa2） 3） 04）则称是环的子环。上面定义中的 1） ，2）和 3）说明是的子群，而 4）说明是 的子半群。可见子环必是环，且其零元与原环零元一致。和都是环的子环，这种子环常称为平凡子环，非平凡子环称为真子环。例 321 是环的（真）子环。但是含幺环，而却不是含幺环。例 322 是环的（交换
9、）子环。定理 321 设是环，S 是 R 的非空子集，则是子环的充要条件为对 S 中任意元素 a 和 b，有 ，且 。Saab证明 必要性是很明显的。充分性：由定理 251 知是 的子群。又是的子半群。故是环的子环。 这个定理是判断环的非空子集是否构成子环的一个方法。下面引入一种特殊的子环理想。理想在环论中的地位拒规子群在群论中的地位相仿。定义 322 设是环的子环。1） 若对 D 中任意元素 d 和 R 中任意元素 r，有 ，则称是环Dd的左（右）理想子环或简称左（右）理想。2） 若对 D 中任意元素 d 和 R 中任意元素 r，有 ，且 ，即r既的左理想又是的右理想，则称是环的理想子环或简
10、称理想。例 323 设集合|)(21,0212IaIAa则是环的左理想。例 324 设集合 |)(21,012IIBa则 是环的右理想。例 325 对任意自然数 n, 是环的理想。定理 322 设是环，D 是 R 的非空子集，则1）是左（右）理想的充要条件为对 D 中任意元素 a,b 和 R 中任意元素 r，有 。),(, arbrab2）是理想的充要条件对 D 中任意元素 a,b 和 R 中的任意元素 r，有 。a,证明 1）必要性是很明显的。充分性：因对 D 中任意元素 a 和 b，有 ,且 故由定理 3Dab21 知是子环。再由所给的条件即得是环的左（右）的理想。2）由 1）的结论即得。
11、 这个定理是判断环的非空子集是否构成左（右）理想和理想的一个方法。和都是环 的理想，这种理想常称为平凡理想。非平凡理想称为真理想。例 326 是实数多项 ,|11 InRaxxann式环的真理想。设是环的理想。因是交换群，故是群的正规子群。我们常将以 a 作为代数元素的群关于正规子群的陪集记作a+D。 。定义 323 设是环的理想，则可在商集中规定相应的运算+和。|/RbaDR(a+D)+(b+D)=(a+b)+D(a+D)(b+D)=(ab)+D从而是环，称为环关于理想的商环。定义中的结论请读者自行证之。例 327 因 是环的理想，故商环为 ，其中+ 0 1 0 10 0 1 0 0 01
12、1 1 1 0 1表 321定义 331 设 U=和 V=是两个环。若存在映射（满射，单射，双射）f:RS，对 R 中任意元素 a 和 b，有f(a+b)=f(a) f(b)f(ab)=f(a) f(b)则称 f 是 U 到 V 的一个环同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构） 。特别 U 到 U（上）的的同态（同构）f 称为 U 的自同态（自同构） 。上面的定义说明环同态是由群同态和半群同态合并而成。定义 332 若环 U=到 V=存在一个满同态（同构） ，则称 U 同态（同构）于 V，记作 UV(UV)。例 331 f(a)=a(mod n)是环的满同态，故。例
13、332 f(a+bi)=不是环到的同态。例 333 设集合 ,|RbaWb则 ifa|:是环到环的一个同构，故。相应地，可以有环的同态基本室理，本文从略。有兴趣的读者街闻有关文献。34 城定义 341 设是环。若|F|1，含幺元，可交换，每个非零元素有乘法逆元，则称是域。也就是说，可交换的除环是城。可知域必无零因子，即域中消去律成立。从而域必是整环。但是整环未必是城。例 341 和都是域，这些域称数域。例 342 是域。定理 341 代数系统是域的充要条件为1)|F|1；2)是交换群；3)是交换群；4)对+满足分配律。这个定理请读者自行证之。定理 342 两个域的积代数不是域。证明 设域的零元
14、和幺元分别为 0F和 1F，域的零元和幺元分别为 0p和 1p，则这两个域的积代数含有零因子,，故不是域。 对域也可引进子域，域的同态和同构等概念。习 题31 给定代数系统 U=，其中 R=a,b,c,d，运算表为+ a b c d a b c ea a b c d a a a a ab b c d a b a c a cc c d a b c a a a ad d a b c d a c a a试确定 U 是否为环。3.2 对习题 2.26 中的克莱因四元群，再定义一个二元运算 ，其运算表为 e a b ce e e e ea e a e ab e b e bc e c e c试证是环。3.
15、3 给定代数系统，其中二元运算和定义为ab=a+b-1 ab=a+b-ab试证,是含幺交换环。3.4 给定环。试证，对 R 中任意元素 a 和 b，都有(a+b)2=a2+ab+ba+b2。3.5 给定环 U=，其中 R=5I，+和是通常数的加法和乘法。是否为整环？3.6 给定代数系统 U=，其中 ,+和是通,3|RbaxS常数的加法和乘法。U 是否为整环？3.7 给定布尔环。试证：1） 对 R 中任意元素 a，都有 a+a=0。2） 是交换环。3） 若|R|2，则不是整环。3.8 试求环的所有子环和理想。3.9 设和都是环的理想。试证，也是环的理想。3.10 给定整数环，积代数 UU=是环，
16、其理想是什么？3.11 证明定理 341。3.12 给定代数系统 U=，其中 F=a,b,c,d，运算表为+ a b c d a b c da a b c d a a a a a b b a d c b a b c dc c d a b c a c d bd d c b a d a d b c1） 试证 U 是域。2） 试求 U 中下列方程组的解：acyxb313 给定代数系统 U=，其中 ,+和 ,2|baxF是通常数的加法和乘法。U 是否为域？314 给定域，将域中的元素 ab-1记作 试证：ba1） bcadcb2） 3） dc4） b1)(3.15 给定域，且 ，S 定义为R,|2QbaS其中 R，Q 分别为实数集和有理数集合，试证是的子域。316 试证明或反证域一定是整环。整环未必是域。
