1、2018 年下学期高二年级期中联考文科数学试卷命题学校：二中命题人：李科成审题人：李凯时量：120 分钟一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 当 ，命题“若 ，则方程 有实根”的逆否命题是 A. 若方程 有实根，则B. 若方程 有实根，则C. 若方程 没有实根，则D. 若方程 没有实根，则2. 设 ，则“ ”是“ ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知命题 p： ， 命题 q：若 ，则 ，下列命题为真命题的是 A. B. C. D. 4. 设命题 p： ， ，则 为 A. ， B. ，C. ， D. ，5
2、. 在等差数列 中，已知 ，公差 ，则 A. 10 B. 12 C. 14 D. 166. 已知等比数列 满足 ， ，则 A. 1 B. C. D. 47. 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后 3 天一共走多少里 A. 156 里 B. 84 里 C. 66 里 D. 42 里8. 实数集 R，设集合 ， ，则 A. B. C.
3、 D. 9. 设 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 310. 已知两个正数 a，b 满足 ，则 的最小值是 A. 23 B. 24 C. 25 D. 2611. 设 ， 是椭圆 的左、右焦点，过 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若最大值为 5，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 12. 设 ， 是双曲线 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使 为坐标原点 ，且 ，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 不等式 的解集是_ 14. 已知数列 的前 n 项和 ，则 _15.
4、点 P 是椭圆 上一点， ， 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则的大小_ 16. 若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为 ，则称该三角形为“完美三角形” 有关“完美三角形”有以下命题：存在直角三角形是“完美三角形；存在面积是整数的“完美三角形”；周长为 12 的“完美三角”中面积最大为 ；若两个“完美三角形”有两边对应相等，且面积相等，则这两个“完美三角形“全等以上真命题有_ 写出所有真命题的序号三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17. （本题 10 分）已知命题 p：方程 有两个不相等的实数根；命题 q：若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；若 为真命题， 为假命题，求实
5、数 m 的取值范围18. （本题 12 分）已知等差数列 满足 ，前 3 项和 求 的通项公式； 设等比数列 满足 ， ，求 前 n 项和 19. （本题 12 分）已知 是公差不为零的等差数列， 是等比数列，且 ， 求数列 ， 的通项公式；记 ，求数列 的前 n 项和 ；20. （本题 12 分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告 已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长 分钟 广告播放时长 分钟 收视人次 万甲 70 5 60乙 60 5 252018 年下学期高二年级期中联考文科数学试卷答案和解析【答案】1.
6、 D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. B 7. D8. D 9. D 10. C 11. A 12. D13. 14. 9 15. 16. 17. 解： 若 p 为真命题，则应有 ，解得 （4 分）若 q 为真命题，则有 ，即 ，因为 为真命题， 为假命题，则 p，q 应一真一假当 p 真 q 假时，有 ，得 ；当 p 假 q 真时，有 ，无解综上，m 的取值范围是 （10 分）18. 解： 设等差数列 的公差为 d，则由已知条件得：，解得 代入等差数列的通项公式得： ；（5 分） 由 得， 设 的公比为 q，则 ，从而 ，故 的前 n 项和 （12 分）19. 解： 设等差数列
7、 的公差为 ，等比数列 的公比为 q，则 ， ，解得 ， ，所以 ， （6 分）因为 ， ，所以 ，因此即 （12 分）20. 解：由已知，x ，y 满足的数学关系式为：，即 （6 分） 解：设总收视人次为 z 万，则目标函数为 考虑 ，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 z 变化的一族平行直线为直线在 y 轴上的截距，当 取得最大值时，z 的值最大又 ，y 满足约束条件，由图可知，当直线 经过可行域上的点 M 时，截距 最大，即 z 最大解方程组 ，得点 M 的坐标为 电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多（12 分）21. 解： 若 ，则 ， ，当且仅当： ，即
8、 时，取“ ”，因此，函数 的最小值为 12；（6 分） 若 ，当且仅当： ，即 时，取“ ”，因此，函数 的最大值为 （12 分）22. 解： 依题意得， ， ；解得 ， ；椭圆 E 的标准方程为 ；（5 分）设 ， ，当 MN 垂直于 x 轴时，MN 的方程为 ，不符合题意；当 MN 不垂直于 x 轴时，设 MN 的方程为 ；由 得： ， ；又 ， ；，解得 ，直线 l 的方程为： （12 分）【解析】1. 解：由逆否命题的定义可知：当 ，命题“若 ，则方程 有实根”的逆否命题是：若方程 没有实根，则 故选：D直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知
9、识的应用2. 解：由 ，可知 或 ，所以由“ ”可以推出“ ”，但是由“ ”推不出“ ”，所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件故选 A求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力3. 解：命题 p： ，使 成立故命题 p 为真命题；当 ， 时， 成立，但 不成立，故命题 q 为假命题，故命题 ， ， 均为假命题；命题 为真命题，故选：B先判断命题 p，q 的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档4. 解：命题的否定是
10、： ， ，故选：C根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础5. 【分析】利用等差数列通项公式求解 本题考查等差数列的第 12 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用【解答】解： 等差数列 ， ，公差 ，故选 B6. 【分析】本题考查等比数列中第 5 项的求法，利用等比数列通项公式求出首项和公比，由此能求出的值【解答】解： 等比数列 满足 ， ，解得 ， ，故选 B7. 解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列 ，其中 ， 则 ，解得 后 3 天一共走了 故选：D由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列 ，其中 ， 利用等
11、比数列的通项公式与求和公式即可得出本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8. 【分析】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题解不等式求得集合 P、Q，再根据补集与并集的定义计算即可【解答】解：实数集 R，集合 ，或 ，或 故选 D9. 【分析】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断目标函数的最优解是解题的关键解：x，y 满足约束条件 的可行域如图：即 ，当直线过点 A 时，直线 的截距最大，z 的值最大由 解得 ，所以 的最大值为 3故选 D10. 【分析】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式
12、应用的条件 根据题意，分析可得 ，对其变形可得 ，由基本不等式分析可得答案【解答】解：根据题意，正数 a，b 满足 ，则 ，即 的最小值是 25故选 C11. 【分析】由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，利用椭圆定义得到 ，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当 AB 垂直于 x 轴时 最小，把 的最小值 代入，由 的最大值等于 5，列式求 b 的值，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题【解答】解： 过 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，则 ，当 AB 垂直 x 轴时 最小， 值最大，此时 ，则
13、 ，解得 ，则椭圆的离心率 ，故选 A12. 解：取 的中点 A，则，是 的中点，故选：D取 的中点 A，利用 ，可得 ，从而可得 ，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，利用向量确定 是关键13. 解：二次函数 的图象是开口朝上，且与 x 轴交于点 ， ，故当 时， ，故不等式 的解集是 ，故答案为：分析二次函数 的图象和性质，可得不等式 的解集本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次不等式的解法，熟练掌握三个二次之间的辩证关系，是解答的关键14. 【分析】本题考查数列的通项公式和数列的求和，利用 即可求解【解答】解：因为数列 的前 n 项和为 ，所
14、以 故答案为 915. 解：椭圆 ，可得 ，设 ， ，可得 ，化简可得：故答案为： 利用椭圆的定义，结合余弦定理，已知条件，转化求解即可本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力16. 解： 若 中， ， ，则三边之比为：1： ：2，因此不存在直角三角形是“完美三角形，因此 是假命题；由 ，若面积是整数，则存在正整数 x，使得 ，由于 a，b 都为整数，此式不成立，因此不存在面积都是整数的“完美三角形”， 是假命题；设 ，则 ， ，可得 ，化为 ，解得 ，即 ，当且仅当 时取等号，可得周长为 12 的“完美三角”中面积最大为 ，是真命题；设 ， 若夹角 的两条边分别相等，满足条件，
15、则此两个三角形全等；若夹角 其中一条边相等，由于面积相等，夹角 另一条边必然相等，可得：此两个三角形全等 因此是真命题以上真命题有 故答案为： 在 中， ， ，可得三边之比为：1： ：2，即可判断出真假由 ，若面积是整数，则存在正整数 x，使得 ，此式不成立，即可判断出真假设 ，可得 ， ，化为 ，解出即可判断出真假设 ，对边分类讨论： 若夹角 的两条边分别相等，可得此两个三角形全等；若夹角 其中一条边相等，由于面积相等，夹角 另一条边必然相等，此两个三角形全等本题考查了解三角形、余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、新定义、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力
16、，属于中档题17. 若 p 为真命题，则应有 ，解得实数 m 的取值范围；若 为真命题， 为假命题，则 p，q 应一真一假，进而实数 m 的取值范围本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是复合命题，指数函数的图象和性质，难度中档18. 设等差数列 的公差为 d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案； 求出 ，再求出等比数列的公比，由等比数列的前 n 项和公式求得前 n 项和 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前 n 项和，是中档题19. 本题考查等差数列和等比数列的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握相关的计算方法和公式设等差数列
17、的公差为 d，等比数列 的公比为 q，由已知可得 d 和 q，可得通项公式；易得 ，错位相减法求和可得；由题意可得 ，易得 时成立，当 时作差可得 ，由题意可得，结合 m 为正整数可得 m 值20. 直接由题意结合图表列关于 x，y 所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域； 写出总收视人次 化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题21. 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，注意其前提条件为“一正，二定，三相等”缺一不可，属于
18、中档题 先分析各数为正数，且积为定值，直接使用基本不等式求最小值； 先分析各数为正数，且和为定值，直接使用基本不等式求最大值22. 根据椭圆的几何性质，求出 a、b 的值即可；讨论直线 MN 的斜率是否存在，设出 MN 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合 ， 求出直线的斜率 k，即可求出直线 l 的方程本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数关系的应用问题，平面向量的应用问题，是综合题已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍 分别用x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式；问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？21. （本题 12 分） 若 ，求 的最小值 已知 ，求 的最大值22. （本题 12 分）已知椭圆 E： 的离心率为 ，右焦点为 求椭圆的方程；设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，若 ，求直线 l 的方程
