1、第八章 多元函数积分学,一 二重积分的概念及简单性质二 二重积分的计算,第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,回忆定积分.,设一元函数 y = f (x) 在a, b可积.,则,如图,其中 ixi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和
2、、取极 限”的方法,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体.,若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积高.,如图,一、例,1.求曲顶柱体的体积V.,(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z = f (x,y),z = f (x,y),Di,Di,(ii)由于Di很小, z = f (x,y)
3、连续, 小曲顶柱体 可近似看作小平顶柱体.,( i , i) Di .,小平顶柱体的高 = f ( i , i).,若记 i = Di的面积.,则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积,(iii)因此, 大曲顶柱体的体积,分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得“无限细“, 则右端近似值会无限接近于精确值V.,若,存在,则,(iv),其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.,其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积.,如图,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,步骤如下：,1. 分割,2. 取近似,3. 求和,4.
4、取极限,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,二、二重积分的概念,积分区域,被积函数,积分变量,- 被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,在直角坐标系下用平行于坐 标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,性质,当 k 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,（
5、二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,解,因此，,由性质6知,即,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（积分和式的极限）,四、小结,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关 不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数;二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,第二节 二重积分的计算法（1）,利用直角坐标计算二重积分,先讨论积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,利用
6、直角坐标系计算二重积分,X型,X 型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域 边界相交不多于 两个交点.,积分区域为：,X型,一般地，,- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分,如果积分区域为：,Y型,- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分,1. 若D既是 x型区域, 又是 y型区域.,比如,当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.,2. （1）如果积分区域是矩形,（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)f2(y),且积分区域是矩形区域，,则,设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)f2(y)可积，,则,比如，,若区
7、域如图，,在分割后的三个区域上分别使 用积分公式,则必须分割.,3.,4.设D: y1(x) y y2(x), a x b, 为 x 型区域.,其中y2(x)为分段函数.,如图,则,由于y2(x)是分段函数, 里层积分上限无法确定用哪一个表达式.,故应将D分成D1, D2, 分块积分.,解 1：,先画出积分区域 D 。,D 是 Y型。,于是，,解 2：,于是，,解,先画出积分区域 D 。,D 是 X型。,于是，,于是，,例3,解,积分区域为,于是，,解,设,则,于是，,设,解,解,例9. 求,解：由于,是“积不出”的，怎么办？,要改换积分次序.,先画积分区域D的图形.,由积分表达式知，D： y
8、 x 1, 0 y 1,画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1.,如图：,故 原式 =,由例8，例9知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。,1.,法2. 先对 x 积分.,2.,所以, 原式 =,问, 若先对 y 积分, 情形怎样?,3. 改换,第二节 二重积分的计算（2）,一、利用极坐标系计算二重积分 二、小结,一、利用极坐标系计算二重积分,面积元素,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式
9、（）,区域特征如图,例1 将,化为在极坐标系下的二次积分。,1）,解,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,2）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,2）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,3）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,3）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,4）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,4）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,解,解,例4. 求,其中D：x2+y2 1,解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用 极坐标积分。,令x=rcos, y=rsin, 则,x2+y2 1的极坐标方程为r = 1.,由(2),D*: 0 r 1, 0 2,另由几何意
10、义：,解,二重积分在极坐标下的计算公式,二、小结,5 利用极坐标计算二重积分,D：由 所围成区域（第一象限部分）,第三节 二重积分的应用,一、立体的体积,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,例1 计算由曲面,及 xoy 面所围的立体,体积。,解,设立体在,第一卦限上 的体积为 V1。,由立体的对称性，所求立 体体积 V = 4V1 。,立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为,立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为,它的底为,于是，,所求立体的体积,例2 求两个圆柱面,所围,的立体在第一卦限部分的体积。,解,所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为,它的底为,于是，立体体积为,三、平面薄片的重心,解,例：计算广义积分,解：这是一个在“概率论”中很重要的积分，用 通常方法无法算出.,由广义积分定义,其中S: 0 y R, 0 x R,下用“夹逼定理”求,作D1： x2+y2 R2,
