1、第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的概念与性质,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似
2、和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4)“取极限”,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例1中曲顶柱体体积:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分存在定理:,若函数,(证明略),定理.,在D上可积.,在有界闭区域 D上连续,则,机动
3、 目录 上页 下页 返回 结束,以后总假定函数 在有界闭区域 D上连续。,三、二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故
4、在 D 上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注. 设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节 二重积分的计算法,利用直角坐标系计算 利用极坐标系计算,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,X型,应用计算“平行截面面积为已知的立
5、体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中
6、D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,积分区域如图,例5. 求两个底圆半径等于R 的直交圆柱所围成的立体的体积.,解. 建立坐标系如图,两圆柱面的方程为:,由对称性知,所求体积为第一卦限部分的8倍.,所求体积,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束
7、,设,则,特别, 对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在
8、柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,极坐标系情形: 若积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,原式,备用题,1. 给定,改变积分的次序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三重积分,第九章,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分
9、布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义. 设,存在,称为体积元素,在在有界，若对 ,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,积和式” 极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作任意分割:,二、三重积分的计算（化为三次积分）,如图，,（一）利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”)（常用）,若,则,若,则,说明,注：,若平行
10、于x轴或y轴且穿过闭区域 内部的直线与 的边界曲面 S 相交不多于两点，也可把 投影到yoz面上或xoz面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分。,若平行于坐标轴且穿过闭区域 内部的直线与 的边界曲面 S 相交多于两点，就将 分成若干部分，利用可加性来求三重积分。,方法2. 截面法 (“先二后一”),则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结: 三重积分的计算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,面及平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算三重积分,解:
11、,用“先二后一 ”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中为由,例3. 计算三重积分,所围,解: 在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面
12、,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,变量可分离.,围成 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 设,计
13、算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示: 利用极坐标,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,计算积分,其中是两个球,( R 0 )的公共部分.,提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =,利用“先二后一” 计算方便 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,证明:,提示: 左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,例3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算二重积分,其中:,D为圆域,解: 利用对称性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,如图所示,交换下列二次积分
14、的顺序:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,证明,证:左端,= 右端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用“先二后一”计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 试计算椭球体,的体积 V.,解法1,第四节,一、立体体积,二、曲面的面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的应用,第九章,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设曲面的方程为：,如图，,二、曲面的面积,曲面S的面积元素,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,曲面面积公式为：,例3. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算半径为 a 的球的表面积.,解:,设球面方程为,球面面积元素为,方法2 利用直角坐标方程.,方法1 利用球坐标方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：取上半球面,上半球面面积,（此为无界函数的反常积分）,故，球的表面积,
