1、1,重积分在几何上的应用,重积分在物理上的应用,小结 思考题 作业,第四节 重积分的应用,第九章 重积分,2,一、重积分在几何上的应用,1. 平面区域的面积,设有平面区域D,2. 体积,设曲面方程为,则D上的曲顶柱体体积为:,则其面积为:,把定积分的元素法推广到重积分的应用中.,占有空间有界域的立体的体积为:,3,(1) 设曲面S的方程为：,如图,3. 曲面的面积,设小区域,则有,母线平行于z轴的小柱面,在xOy面上的投影区域为D,4,曲面S的面积元素,曲面S的面积公式,5,(3) 设曲面的方程为,曲面面积公式,曲面面积公式,(2) 设曲面的方程为,曲面面积公式,(1) 设曲面S的方程为,6,
2、解,求球面,含在圆柱体,内部的那部分面积.,例,由对称性知,曲面方程,D1,于是,曲面面积元素为,7,D1,8,例,因曲面方程为,所以,D,解,截下的有限曲面片的面积.,被柱面,求曲面,a,9,例,所截的部分的面积.,作出图形在第一卦限的,A1:,则,解,部分,被圆柱面,计算圆柱面,(如图).,10,在第一挂限部分面积为,整个面积,11,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,平面上的投影域,求由曲面,所围立体的表面积.,12,求由曲面,所围立体的表面积.,13,1989年研究生考题,计算,9分,例,解,由于球为中心对称图形,解得,问:R取何值,设半径为R的球面的球心在定球面,球面,在定球面内部的
3、那部分面积最大?,不妨设球面 的方程为:,因为是求球面 在定球面内部,的面积,故由方程,14,面积元素是,又由,令,即得出球面 在定球面内部的,那部分在xOy面上的投影区域,15,所以,所以,球面 在定球面内部的面积设为A,则,16,二、重积分在物理上的应用,则该质点系的质心的坐标为,它们分别位于,质量分别为,(1) 平面薄片的质心,设xOy平面上有n个质点,17,由元素法:,所以,设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x, y)处的面密度为,假定,在D上连续,平面薄片的质心,薄片中相应于,的部分的质量近似等于,这部分质量可近似看作集中在点,(x, y)上,于是可写出静矩元素:,18
4、,注,所以,薄片的质心坐标为,当薄片是均匀的,质心称为,形心.,平面的面积.,19,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则其质心坐标为,常数时,则得形心坐标,物体的体积.,(2) 物体的质心,当物体是均匀的,其中,20,例,求位于两圆,之间的均匀薄片的质心.,解,薄片关于x轴对称.,则,质心,21,一个炼钢炉为旋转体形,剖面,壁线的方程为,若炉内储有高为h的均质钢液,不计,由对称性知质心在 z 轴上，,炉壁方程为,故,炉体的自重,求它的质心.,例,解,22,质心为,23,(1) 平面薄片的转动惯量,设平面薄片占有平面区域D,则转动惯量为,有连续密度函数,24,设物体占有空间区域 ,(2) 物体
5、的转动惯量,则转动惯量为,有连续的密度函数,25,例,解,设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别,求这三角形对任一直角边的转动惯量.,为a、b,设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上,(如图),对y轴的转动惯量为,对x轴的转动惯量为,26,用元素法求薄片对z轴上的单位质点的引力,引力在三个坐标轴上的投影,(1)平面薄片对质点的引力,设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x, y)处的面密度为,假定,在D上连续,计算该平面薄片对位于z轴上的点,处的单位质点的引力.,元素.,薄片中,的大小近似地为,的部分对该质点的引力,27,引力的方向,方向余弦,薄片中,上的投影 的元素:,薄片中,的大
6、小近似地为,的部分对该质点的引力,的对该质点的引力在三个坐标轴,28,k为引力常数.,29,(2) 物体对质点的引力,设物体占有空间区域,物体对于物体外一点,利用元素法,有连续分布的密度,引力元素在三坐标轴上的投影分别,空间一物体对于物体外一点,处的单位质量的质点的引力.,函数,的单位质量的质点的引力,为,30,在上分别积分,得,31,设有面密度为常量,半径为R的均匀圆的薄片,求它对位于点,由对称性知,处的单位质量质点的引力.,例,解,引力为,32,求密度 为常数的半圆环:,对原点一单位质点的引力.,答案:,练习,引力为,33,几何应用,平面薄片、空间物体的质心,平面薄片、空间物体对质点的引力
7、,平面的面积,物理应用,三、小结,曲面的面积,体积,平面薄片、空间物体的转动惯量,34,( t为时间)的雪堆在融化,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积,(比例系数0.9),问,高度为130(厘米)的雪堆全部融化需要多少小时?,思考题,过程中,其侧面满足方程,减少的速率与侧面积成正比,2001研究生考题,记雪堆体积为V, 侧面积为 S ,则,解,35,36,令,得,(小时),因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为100小时.,已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),37,作业,习题9-4,(116页),2. 3. 4.(1) (3) 6. 7.(1) 8.,9.(3) 11. 13.,
