1、P01: 01背包问题题目有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是ci，价值是wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即fiv表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wi这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不
2、放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为fi-1v；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-ci的背包中”，此时能获得的最大价值就是fi-1v-ci再加上通过放入第i件物品获得的价值wi。优化空间复 以上方 的时间和空间复 为O(VN)，其中时间复 不能再优化 ， 空间复 可以优化 O。考虑上 的基本思路如 ， 定是有一个 i=1N，每 出来 fi0V的所有值。那么，如果只用一个 f0V，能不能 第i fv中表示的就是定义的状态fivfiv是由fi-1v和fi-1v-ci个子问题currency1来，能 “fiv时（即“第i 中
3、fv时）能得 fi-1v和fi-1v-ci的值 上，这要求“每 中以v=V0的fiflfv，这 能 fv时fv-ci 的是状态fi-1v-ci的值。 如下：for i=1Nfor v=V0fv=maxfv,fv-ci+wi;其中的fv=maxfv,fv-ci一恰就相的转移方程fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci，”为 “的fv-ci就相来的fi-1v-ci。如果将v的 fifl上 的fl fifl的 ，那么则 fiv由fiv-ci，本题不， 它 是一个重要的背包问题P02最的解方 ， 只用一 解01背包问题是必要的。 上，使用一 解01背包的程fl“ 用 ，所以这 出一个 一件01背包中
4、的物品过程，以 的 中 用不加 。过程ZeroOnePack，表示 一件01背包中的物品，个 cost weight 表 这件物品的费用和价值。procedure ZeroOnePack(cost,weight)for v=Vcostfv=maxfv,fv-cost+weight这个过程 的 前 出的 有所不。前 的示 程flv=V0是为 “程fl中 每个状态都 方程求解 ， 不必要的思 复 。currency1这 的过程 ，就可以加入优化。费用为cost的物品不 状态f0cost-1，这是的。有 这个过程以 ，01背包问题的 就可以这 ：for i=1NZeroOnePack(ci,wi);
5、化的细 问题(有 的 ) 的求最优解的背包问题题目中， 上有种不相的问 。有的题目要求“恰装背包”时的最优解，有的题目则 有要求必 背包装。一种区 这种问 的 方 是“ 化的时候有所不。如果是第一种问 ，要求恰装背包，那么“ 化时除 f0为0其它f1V 设为-，这 就可以 最终得 的fN是一种恰装背包的最优解。如果 有要求必 背包装，currency1是只希望价格尽量大， 化时 将f0V全部设为0。为什么可以这 解： 化的f 上就是“ 有任 物品可以放入背包时的合 状态。如果要求背包恰装，那么此时只有容量为0的背包可能价值为0的nothing“恰装”，其它容量的背包有合 的解，属未定义的状态，
6、它的值就都 是- 。如果背包 非必 装，那么任 容量的背包都有一个合 解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以 时状态的值就全部为0 。这个小 完全可以广 其它类型的背包问题， 就不再对进行状态转移之前的 化进行 解。一个常 优化前 的 中有for v=V1，可以将这个 的下限进行 进。由只需要最 fv的值，倒前一个物品，其 只要道fv-cn即可。以此类，对以第j个背包，其 只需要道 fv-sumcjn即可，即 中的for i=1Nfor v=V0可以 for i=1nbound=maxV-sumcin,ci/累积效 前效 的比较for v=Vbound这对V比较大时是有用的。小 01背包问题
7、是最基本的背包问题，它包含 背包问题中设计状态 方程的最基本思想，外， 的类型的背包问题往往可以转换01背包问题求解。一定要仔细 上 基本思路的得出方 ，状态转移方程的义，以及最 怎 优化的空间复 。P02: 完全背包问题题目有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是ci，价值是wi。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。基本思路这个问题非常类似01背包问题，所不的是每种物品有无限件。就是每种物品的角 考虑，它相关的策略 非取或不取种，currency1是有取0件 取1件 取2件等很 种。如果仍 解01背包时的思路，令fiv
8、表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍可以 每种物品不的策略出状态转移方程，像这 ：fiv=maxfi-1v-k*ci+k*wi|0=wj，则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性：任 情况下都可将价值小费用高得j换物美价廉的i，得 至少不更差的方 。对随机生的 据，这个方 往往大大减少物品的件 ，currency1加快速 。currency1这个 不能 善最坏情况的复 ，”为有可能特 设计的 据可以一件物品去不掉。这个优化可以单的O(N2)地 ，一般都可以承受。外，针对背包问题currency1言，比较不错的一种方 是：首 将费用大V的物品去掉， 使用类似计 排fl的做 ，计
9、 出费用相的物品中价值最高的是哪个，可以O(V+N)地完这个优化。这个不重要的过程就不 出 ，希望你能独立思考出 或程fl。转化为01背包问题求解01背包问题是最基本的背包问题，那么可以考虑 完全背包问题转化为01背包问题来解。最单的想 是，考虑 第i种物品最 选V/ci件，是可以 第i种物品转化为V/ci件费用及价值 不变的物品， 求解这个01背包问题。这 完全 有 进基本思路的时间复 ， 这毕竟 将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆 件物品。更高效的转化方 是： 第i种物品拆费用为ci*2k 价值为wi*2k的若干件物品，其中k足ci*2k0的最大 。 如，如果ni为13，
10、就将这种物品系 为1,2,4,6的 件物品。的这几件物品的系 和为ni，表 不可能取 ni件的第i种物品。外这种方 能 对0ni间的每一个 ， 可以用若干个系 的和表示，这个 可以02k-1和2kni 来 论得出， 不 ，希望你自己思考 试一下。这 就将第i种物品 O(log ni)种物品，将问题转化为 复 为O(V*log ni)的01背包问题，是很大的 进。下 出O(log amount)时间 一件 重背包中物品的过程，其中amount表示物品的 量：procedure MultiplePack(cost,weight,amount)if cost*amount=VCompletePack
11、(cost,weight)returninteger k=1while k0)if(giv=0)print “未选第i项物品“else if(giv=1)print “选 第i项物品“v=v-ci外，采用方程的前一项或 一项可以“输出方 的过程中据fiv的值 时地求出来，即不纪录g ，将上 中的giv=0 fiv=fi-1v，giv=1 fiv=fi-1v-ci+wi可。输出字典fl最小的最优方 这 “字典fl最小”的思是1N号物品的选择方 排 出来以 字典fl最小。以输出01背包最小字典fl的方 为 。一般currency1言，求一个字典fl最小的最优方 ，只需要“转移时 策略。首 ，子问题
12、的定义要略 一些。 ，如果“一个选 物品1的最优方 ，那么 一定包含物品1，问题转化为一个背包容量为v-c1，物品为2N的子问题。反之，如果 不包含物品1，则转化背包容量仍为V，物品为2N的子问题。不管 怎 ，子问题的物品都是以iNcurrency1非前所的1i的形式来定义的，所以状态的定义和转移方程都需要 一下。 更易的方 是 物品fl排 一下，以下 物品 fl排 来叙。“这种情况下，可以 前 典的状态转移方程来求值，只是输出方 的时候要 ：N 1输入时，如果fiv=fi-1i-v及fiv=fi-1f-ci+wi时立， （即选择 物品i）来输出方 。求方 总 对一个 定 背包容量 物品费用
13、物品间相 关系（ 依 等）的背包问题，除 再 定每个物品的价值 求可得 的最大价值外，还可以得 装背包或将背包装至 一定容量的方 总 。对一个 定 背包容量 物品费用 物品间相 关系（ 依 等）的背包问题，除 再 定每个物品的价值 求可得 的最大价值外，还可以得 装背包或将背包装至 一定容量的方 总 。对这类 变问 的问题，一般只需将状态转移方程中的max sum即可。 如若每件物品 是完全背包中的物品，转移方程即为fiv=sumfi-1v,fiv-ci件f00=1。 上，这 做可行的”“状态转移方程 考察 所有可能的背包 方。最优方 的总 这 的最优方 是物品总价值最大的方 。以01背包为
14、。合求最大总价值和方 总 个问题的思路，最优方 的总 可以这 求：fiv义前，giv表示这个子问题的最优方 的总 ，则“求fiv的时求giv的 如下：for i=1Nfor v=0Vfiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wigiv=0if(fiv=fi-1v)inc(giv,gi-1v)if(fiv=fi-1v-ci+wi)inc(giv,gi-1v-ci)求 优解 第K优解对求 优解 第K优解类的问题，如果相 的最优解问题能出状态转移方程 用动态规 解，那么求 优解往往可以相的复 解，第K优解则比求最优解的复 上 一个系 K。其基本思想是将每个状态都表示有fl ，将状态转移方程中的ma
15、x/min转化有fl 的合 。这仍以01背包为 解一下。首 01背包求最优解的状态转移方程：fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wi如果要求第K优解，那么状态fiv就 是一个大小为K的 fiv1K。其中fivk表示前i个物品 背包大小为v时，第k优解的值。“fiv是一个大小为K的 ”这一，熟悉C语言的可能比较 解，或 可以单地 解为“来的方程中加 一 。fiv1K这K个 是由大 小排 的，所以 它认为是一个有fl 。 方程就可以解释为：fiv这个有fl是由fi-1v和fi-1v-ci+wi这个有fl 合 得 的。有fl fi-1v即fi-1v1K，fi-1v-ci+wi则 解为“fi-
16、1v-ci1K的每个 上加上wi 得 的有fl 。合 这个有fl 将 果的前K项储 fiv1K中的复 是O(K)。最 的 是fNVK。总的复 是O(VNK)。为什么这个方 正确 上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历 所有可用的策略，就覆盖 问题的所有方 。只不过由是求最优解，所以其它“任 一个策略上达不 最优的方 都忽略 。如果 每个状态表示一个大小为K的 ， “这个中有fl的 状态可取 的前K个最优值。那么，对任个状态的max运 等价个由大 小的有fl 的合 。外还要 题目对“第K优解”的定义，将策略不 权值相的个方 是 一个解还是不的解。如果是前 ，则 护有fl 时要 的 有重复的。小
17、 ，这 不可能穷尽背包类动态规 问题所有的问 。 至还“一类将背包类动态规 问题其它 （ 如 论 图论） 合来的问题，“这篇论背包问题的专中不论及。 只要 刻 前所有类的背包问题的思路和状态转移方程， 其它的变形问 ，只要题目 还属NOIP， 不 想出 。P11: 背包问题的搜索解 单的 搜对01背包问题，单的 搜的复 是O(2N)。就是枚举出所有2N种将物品放入背包的方 ，最优解。搜索的剪枝基本的剪枝方 不外乎可行性剪枝或最优性剪枝。可行性剪枝即判断 前的搜索路径搜下去能 一个可行解， 如：若将剩下所有物品都放入背包仍无 将背包（设题目要求必 将背包），则剪枝。最优性剪枝即判断 前的搜索路径
18、搜下去能 一个最优解， 如：若加上剩下所有物品的权值无 得 比前得 的最优解更优的解，则剪枝。搜索的fifl“搜索中，可以认为fifl靠前的物品优 考虑。所以用贪心的思想，将更有可能出 “ 果中的物品的fifl提前，可以较快地得出贪心地较优解，更有最优性剪枝。所以，可以考虑将 “性价比”（权值/费用）来排 搜索fifl。一方 ，若将费用较大的物品排 “前 ，可以较快地填背包，有可行性剪枝。最 一种可以考虑的方 是：“ 搜索前将输入件中 定的物品的fifl随机打乱。这 可以 命题设置的陷阱。以上 种定搜索fifl的方 很 哪种更， 上每种方 都有适用的题目和 据，有可能将它“ 种程 上fl合使用
19、。子和问题子和问题是一个NP-Complete问题，前的（加权的）01背包问题 不相。 定一个 的合S和一个 X，问是“S的一个子足其中所有元素的和为X。这个问题有一个时间复 为O(2(N/2)的较高效的搜索 ，其中N是合S的大小。第一 思想是 。将合S 个子S1和S2，它的大小都是N/2。对S1和S2， 枚举出它所有的2(N/2)个子和， 种支持查的 据 构中， 如hash set。 就要将部 果合 ，是有和为X的S的子。 上，对S1的 个和为X1的子，只需S2是有和为X-X1的子。假设采用的hash set是 想的，每查和插入都仅 费O(1)的时间。 的时间复 都是O(2(N/2)。 践中，往往可以 将第一得 的 子和 排fl， 再用个针扫描的方 查是有足要求的子和。这 的 ，“可 受的时间 可以解的最大规 约为N=42。搜索还是DP?首 ，可以 据中得 命题图的线索。如果一个背包问题可以用DP解，V一定不能很大，则O(VN)的 无 承受，currency1一般的搜索解 都是仅N有关，V无关的。所以，V很大时（ 如上 万），命题的图就 是考察搜索。一方 ，N较大时（ 如上 ），命题的图就很有可能是考察动态规。外，想不出合适的动态规 时，就只能用搜索 。 如 一个未过的背包中物品的限制件，无 想出DP的方程，只搜索以谋求一定的 。
