1、命题与证明,证明,1.一般的,对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题,知识回顾,2.说明一个命题是假命题，只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。,命题分为真命题与假命题。,反例必须是具备命题的条件,却不具备命题的结论,3.定理：用推理的方判断为正确的命题；4.公理：经过人类长期实践后公认为正确的命题；定理.公理都可以判断其他命题真假的依 据；公理不需要再证明。,一、下列语句哪些是命题,哪些不是命题? 正数大于零，零大于一切负数; 两点确定一条直线; 画AOB的平分线; 相等的角是全等三角形的对应角; 若ca+b,则ca,cb正确吗？,是命
2、题,是命题,不是命题,是命题,不是命题,练一练,二、判断下列命题的真假. 1.有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形. 2.素数不可能是偶数. 3.黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人. 4.有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形. 5.若y(1-y)=0，则y=0.,真命题,假命题,假命题,假命题,假命题,练一练,6.正数不小于它的倒数. 7.如果两个角不是对顶角，那么它们不相等. 8.若x3，则x29. 9.异号两数相加和为负数. 10.若ca+b,则ca,cb.,假命题,假命题,假命题,假命题,假命题,证明,要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定
3、理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做 证明 。,证明命题的一般步骤:,(2)根据题意,画出图形;,(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;,(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;,(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);,(4)分析题意,探索证明思路；,例1: 已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,且12，求证: ab.证明：由2=3（对顶角相等） 2=4（已知） 根据：等量代换 得：3= 1 根据：同位角相等，两直线平行 得： .,3,把三个角拼在一起试试看？,三角形3个内角的和是 .,如何证明三角形内角和等于180？,试一试！,A,
4、B,C,例2：已知:ABC, 求证:A+B+C=180.,证明:如图,作BC的延长线CD,过点C作CEAB.1= A(两直线平行,内错角相等)2= B(两直线平行,同位角相等)1+2+ACB=180（平角的定义）, A+B+ACB=180(等量代换).,交流,你还有什么 不同的方法?,关于辅助线：,1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线） 2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.,三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于180.,证明：直角三角形两个锐角互余。,求证：AB90.,练一练,已知：如图，ABC中，C=90.,例3：如图，已
5、知1+2=180， 求证：ABCD.,证明：由：1+2=180(已知)，1=3（对顶角相等）. 2=4（ ） 根据：等量代换 得：3+ =180. 根据：同旁内角互补，两直线平行 得： .,对顶角相等,4,AB CD,例4：如图，已知：1=2，1=B， 求证：ABEF，DEBC。,证明：由1=2 （已知）， 根据： . 得ABEF. 又由1=B（ ）. 根据：同位角相等，两直线平行 得 .,内错角相等，两直线平行,已知,DE BC,例5：如图，已知：DAF=AFE，ADC+DCB=180，求证：EFBC,证明：由：DAF=AFE （ ）根据： .得：AD .由：ADC+ =180（已知）. 根
6、据： .得：AD .再根据： .得：EFBC,已知,内错角相等，两直线平行,EF,DCB,同旁内角互补，两直线平行,BC,平行于同一直线的两条直线互相平行,例6：如图，已知：2=3， 1+3=180， 求证：EFGH.,证明：由：2=3 （已知） 1+3=180（ ） 根据： .得：1+2=180. 根据： .得： 。,已知,等量代换,同旁内角互补，两直线平行,EFGH,例7：如图，已知：1=2，BD平分ABC，试说明ADBC.,证明：由BD平分ABC（已知）， 根据： . 得：2=3. 又由：2=1（已知） 根据： . 得：3= . 根据：内错角相等，两直线平行. 得： .,B,A,C,D,
7、1,2,3,角平分线定义,等量代换,1,AD BC,例8：如图，已知：ABCD，AEBD，试说明ABD=E.,证明：由 （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等 得：ABD= . 由AEBD（ ）. 根据： . 得BDC=E .再根据：等量代换 得： = .,ABCD, BDC,已知,两直线平行，同位角相等, ABD E,例9：如图，已知：ACDE，1=2，试说明ABCD.,证明：由ACDE （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等. 得ACD= .又由1=2（已知）. 根据： . 得1=ACD . 再根据： . 得 ., 2,等量代换,内错角相等，两直线平行,AB CD,A,B,C,D,1,2,3,4,例10: 如图，已知AD是ABD和ACD的公共边.求证：BDC=BAC+B+C,证法三：,延长AD,1=3+B，2=4+C,1+2=3+B+4+C,即BDC=BAC+B+C,例2：如图，已知AG/CF，AB/CD，A40， 求C的度数。,1,解:, AG/CF(已知), A=1,(两直线平行,同位角相等),又AB/CD(已知), 1=C,(两直线平行,同位角相等), A=C,(等量代换), A40, C40,例2： 如图所示 1 =2求证 ： 3 =4,证明： 1 =2（已知）,a/b (同位角相等,两直线平行), 3 =4 (两直线平行，内错角相等),
