1、 1 2017 高考数学一轮复习 第十四章 推理与证 明 14.2 直 接证明 与间 接证明 对点训练 理 1 用 反证 法证 明命 题 “ 设 a，b 为实数 ，则 方程 x 3 ax b0 至少 有一 个实 根 ”时， 要做的 假设 是( ) A 方 程x 3 ax b0 没 有实根 B 方 程x 3 ax b0 至 多有一 个实 根 C 方 程x 3 ax b0 至 多有两 个实 根 D 方 程x 3 ax b0 恰 好有两 个实 根 答案 A 解析 因为 至少 有一 个的 反面为 一个 也没 有， 所以 要做的 假设 为方 程 x 3 axb0 没 有实根 ，故 选 A. 2. 已知
2、数列an满足 ：a1 N * ，a1 3 6，且 an1 2an ，an 18 2an 36 ，an18 (n1,2 ， )记 集合M an|nN * (1)若a1 6 ，写 出集 合 M 的所有 元素 ； (2)若 集合M 存 在一 个元 素 是 3 的 倍数 ，证 明：M 的 所有元 素都 是3 的倍 数； (3)求 集合M 的 元素 个数 的 最大值 解 (1)6,12,24. (2)证 明： 因为 集合M 存 在 一个元 素 是3 的 倍数 ，所 以不妨 设 ak 是3 的 倍数 由 an1 2an ，an 18 ， 2an 36 ，an18 ， 可归纳 证明 对任 意的 n k ，a
3、n 是 3 的倍 数 如果k 1 ，则M 的 所有 元 素都 是 3 的 倍数 如果k1， 因为ak 2ak 1 或ak 2ak1 36 ，所 以 2ak 1 是3 的 倍数 ， 于是 ak 1 是 3 的 倍数 类 似可得 ，ak 2 ， ，a1 都是 3 的倍数从而对任意的 n 1 ，an 是3 的 倍数 ，因 此M 的所 有元素 都 是 3 的 倍数 综上， 若集 合M 存在 一个 元素 是 3 的 倍数 ， 则 M 的 所有元 素都 是3 的倍 数 (3)由a1 3 6 ， an 2an1 ，an 1 18 ， 2an1 36，an 118 ，可归纳 证 明an 36(n 2,3 ，)
4、 因为a1 是 正整 数， a2 2a1 ，a1 18 ， 2a1 36 ，a118 ，所以a2 是2 的 倍数 从而 当n3 时，an 是4 的 倍数 如果a1 是3 的 倍数 ，由(2) 知对所 有正 整 数n，an 是3 的倍数 因此 当n3 时，an 12,24,36 这 时M 的元 素个 数不超 过 5. 2 如果 a1 不是 3 的倍 数， 由(2)知 对所 有 正 整 数 n ，an 不是 3 的倍数因此当 n 3 时，an 4,8,16,20,28,32这时 M 的 元素 个数 不超 过 8. 当 a1 1 时，M 1,2,4,8,16,20,28,32 有 8 个元 素 综上
5、可 知， 集 合M 的 元素 个数的 最大 值 为8. 3设an是 首项 为 a， 公 差为d 的等 差数 列(d 0) ，Sn 是其 前n 项的 和 记bn nSn n 2 c ， nN * ， 其中c 为 实数 (1)若c0 ，且b1 ，b2 ，b4 成等比 数列 ，证 明：Snk n 2 Sk(k，nN * ) ； (2)若bn 是等 差数 列， 证 明：c 0. 证明 由题 意得 ，Sn na n n 2 d. (1)由c0 ，得bn Sn n a n 1 2 d. 又因 为b1 ，b2 ，b4 成等 比数 列，所 以b 2 2 b1b4 ， 即 a d 2 2 a a 3 2 d ，
6、化 简得d 2 2ad0. 因为d 0 ，所 以 d2a. 因此， 对于 所有 的 m N * ，有 Sm m 2 a. 从而对 于所 有 的k ，nN * ，有 Snk (nk) 2 a n 2 k 2 an 2 Sk. (2)设 数列bn 的公 差是 d1 ，则 bn b1 (n1)d1 ，即 nSn n 2 c b1 (n 1)d1 ，nN * ， 代 入 Sn 的表达 式 ， 整理 得 ， 对 于 所有 的 nN * ，有 d1 1 2 d n 3 b1 d1 a 1 2 d n 2 cd1nc(d1 b1) 令 Ad1 1 2 d，B b1 d1 a 1 2 d， D c(d1 b1)， 则对 于所 有 的 nN * ，有 An 3 Bn 2 cd1nD.(*) 在(*) 式中 分别 取 n 1,2,3,4 ， 得 A Bcd1 8A 4B 2cd1 27A 9B 3cd1 64A16B4cd1 ， 从而有 7A3B cd1 0 ， 19A5Bcd1 0， 21A5Bcd1 0， 由 ， 得A0，cd1 5B，代 入方 程 ，得 B 0 ，从 而cd1 0. 即 d1 1 2 d0 ，b1 d1 a 1 2 d 0，cd1 0. 若 d1 0， 则由d1 1 2 d0 ，得 d0， 与题设 矛盾 ，所 以 d1 0. 又因 为cd1 0，所以 c0.
