1、【考纲要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【命题规律】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题【典型高考试题变式】（一）正弦定理的应用例 1 【2017 新课标 2】
2、 的内角 的对边分别为 ,若 ,则ABC ,abcB【答案】3【方法技巧归纳】正弦定理的应用技巧：（1）求边：利用公式 或其他相应变形公式求解；（2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 或其他相应变形公式求解；（3）相同的元素归到等号的一边：即 ，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题【变式 1】 【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦等式给出，所求没改变】在 中，若ABC，则 为（ ）BA B C 或 D 或3636【答案】C【解析】由正弦定理，得 因为 ，所以 ，则 为 或 ，sin0A3sin2B3故选 C 【方法技巧归纳】 （1）由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结
3、合题目的条件灵活运用；（2）如果已知两边及其夹角可以直接求面积，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计 算【变式 1】 【将例题中的已知改变为两边一角】在 中，角 的对边分别是 ，已知ABC, ,abc，则 ，则 的面积为（ ）4CA B C D23312331【答案】B【变式 2】 【例题中改为两个角的关系、所求由求面积改变为了求面积最值】在 中，角 的对ABC,边分别为 ，已知 ， ，则 面积的最大值为（ ）cba,2ABCA B C D2332【答案】B【解析】由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ，即ba3也即 ,所以 ，所以，所以当 ，42
4、b时， 最大最大值为 ，即 ，故选 B2b2S 3maxS（四）正、余弦定理的综合的应用例 4 【2018 新课标 I 卷理】 在平面四边形 中， ， ， ， .（1）求 ；（2）若 ，求 .【答案】 （1） ；（2）5【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到 ，根据题设条件，求得 ，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得 ； 2 【甘肃省师大附中 2019 届期中】在锐角 中， ，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】3 【安徽省皖中名校联盟 2019 届联考】在 中，内角 的对边分别为 ， ， ，则 （ ）A B C 4 D 【答案】B【解析】由三角形面积公式可得：
5、，即 ，解得： ，结合余弦定理可得： ，则由正弦定理有： ，结合合分比定理可得： .本题选择 B 选项.4 【东北师范大学附属中学 2018 届五模】在 中， 则A B C D 【答案】A 【解析】5 【河北省衡水中学 2019 届三调】在 中， 分别是角 的对边，若 ，则的值为( )A B 1 C 0 D 2014【答案】A【解析】a 2+b2=2014c2，a 2+b2c 2=2013c2=2abcosC = = = =2013故答案为：A 9 【重庆市铜梁一中 2019 届月考】在平面直角坐标系中,ABC 顶点坐标分别为 A(0,0)、B 、C若ABC 是钝角三角形,则正实数 的取值范围
6、是 ( ) A B C D 【答案】D【解析】由题意得，A 不为钝角，当 B 为钝角时，则当 C 为钝角时，则综上，正实数 的取值范围为 ，选 D.10 【江西师范大学附属中学 2019 届月考】已知 的内角 所对的边分别是 ， ，则“ ”是“ 有两解” 的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】11 【福建省莆田市第一中学 2019 届月考】在 中， ，则 的形状一定是（ ）A 等边三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 直角三角形【答案】D【解析】因为 ，所以 ，即 是直角三角形，选 D.12 【山东省胶州一中 2019
7、届模拟】在锐角三角形 ABC 中， ，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】在锐角 中，由 ，根据正弦定理可得 ，即 ，即 ，所以 构成等比数列，设公比为 ，则 ，又由 ，所以 ，当 时取得等号，所以 ，所以 ，又由锐角三角形，所以 ，所以 的取值范围是 ，故选 B. 二、填空题17 【黑龙江省鹤岗市第一中学 2019 届月考】如图，在 中， , ，点 是 外一点， ，则平面四边形 面积的最大值是_.【答案】【解析】18 【2019 江西省南昌市联考】在 中，角 所对的边为 ，若 边上的高为 ，当取得最大值时的 _【答案】【解析】设 边上的高为 ，即 ，由面积公式得， ，即
8、，由，在 中由余弦定理 ，即，其中 ，当 时，最大值 ， ，. 22 【四川省资阳市 2019 届一诊】如图，在三角形 中， ， ， 平面 内的动点与点 位于直线 的异侧，且满足 .（1）求 ；（2）求四边形 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2）【解析】（2）由（1）知 的面积为定值，所以当 的面积最大时，四边形 的面积取得最大值在中，由 ， ，设 ， ，则 ，于是 ，即 ，当且仅当 时等号成立故 的面积取得最大值 . 又 的面积 ，所以四边形 面积的最大值为 .23 【河北省衡水中学 2019 届一模】如图，在 中， 是 边上的一点， ， ，.（1）求 的长；（2）若 ，求 的值.【答案
9、】(1) ;(2) .【解析】（2）由（1）知， ，所以在 中，由正弦定理.得 ， 解得 . 因为 ，所以 ，从而 ，即 是锐角， 所以 . 24 【河北省武邑中学 2019 届三调】在 中，内角 的对边分别为 ，若 .（1）求 ；（2）若 ，点 为 边上一点，且 ，求 的面积.【答案】 （1） ；（2）【解析】（）根据 和 ，得 ，由余弦定理得， ，即 ，化简得，解得 或 （舍去） ，从而 ，又 ，则 ，所以25 【吉林省实验中学 2019 届期中】在 中，角 的对边的边长为 ，且。（1）求 的大小；（2）若 ，且 ，求边长 的值。【答案】 （1） ；（2） 。【解析】 ， 26 【安徽省皖
10、中名校联盟 2019 届联考】 中， 分别是内角 所对的边，且满足（1）求角 的值；（2）若 ， 边上的中线 ，求 的面积【答案】 ；【解析】（1） ，由正弦定理得， ，即 ，从而 ，即 ，又 中 ， ，故 ，得 . （2）由 得 ，从而 或 （舎） ，故. 27 【广东省珠海市 2019 届摸底】如图： 的三个内角 对应的三条边长分别是 ，角 为钝角， ， ， ，（1）求 的值；（2）求 的 面积【答案】(1) (2)【解析】(2)由 可知在 中， ，得 ，三角形面积28 【江西省抚州市七校 2 019 届联考】在 中，角 的对边分别为 ，已知 .（1）若 ， ，求 的面积 ；（2）若 ，求 .【答案】 （1） ； （2） .【解析】（1）由 ，得 ， ， ， ， .
