1、生产系统建模与仿真,第六章排 队 模 型,排队系统性能的典型指标包括服务台利用率、等待队列长度以及顾客的等待时间。 决策者通常要在服务台利用率和顾客满意程度之间做出权衡。 模型的输入参数包括：顾客的到达速率、顾客的服务需求、服务台的工作速率以及服务台的数量和管理。,6.1 排队系统的特点,排队系统的关键元素是顾客和服务台。 “顾客”可以指到达设施并请求服务的任何事物。 “服务台”可以指能够提供所需服务的任何资源。 尽管我们总是说顾客进入服务台，但实际上有时也会出现“服务台”移动到“顾客”前的情况。,排队系统举例,6.1.1拟到达总体 潜在顾客的总体称为拟到达总体，可被认为是有限多个或无限多个。
2、 在拥有大量潜在顾客的群体的系统中，通常假设“拟到达总体”是无限的。 一个工人操作五台机器，当某一机器加工完成后，需工人操作，此时“顾客”到达。此系统“拟到达总体”是有限的。此系统中“拟到达总体”是多少？,有限总体模型和无限总体模型的主要区别在于到达速率如何定义。 无限总体模型中，到达速率为单位时间内的平均到达数目：,T系统运行总时间iT时间内到达顾客数,对于有限拟到达模型，到达速率与正在接受服务和等待的顾客数有关。 在一个工人操作五台机器例中，当五台机器都处于加工过程中时，到达速率最大；有一台机器停止加工时，到达速率会减小；五台机器全部停工时，到达速率为零。 到达速率被定义为：下一个单位时间
3、内期望到达的数目。,6.1.2系统容量 在许多排队系统中，顾客在等待队列或者系统中的数量是有限的。也有时我们可以认为等待队列是无限的。 当系统容量有限时，“到达速率”(单位时间的到达数目)和“有效到达速率”(单位时间内到达并进入系统的数目)是有区别的。,6.1.3到达过程无限总体模型： 用An表示第n-1和第n名顾客的到达间隔时间。 情况一：泊松到达过程，An服从均值为1/时间单位的指数分布。 情况二：到达过程是确定的,An为常数。 情况三：队列中顾客始终不少于一个。,有限总体模型： 如顾客当前不在排队系统中，且是潜在拟到达总体的一员，则将其定义为“未定的”；若顾客进入队列或正在接受服务，则其
4、就变为“非未定的”。 运行时间：顾客离开系统至下一次进入系统之间的时间长度。,机器3：,未定的,开放系统时间,未定的,机器3的第一次到达,机器3的第二次到达,开放系统时间,有限总体模型的到达过程,机器3第一次离开,机器3第二次离开,6.1.4排队规则 当服务台处于“忙”状态时，顾客进入队列有三种处理方法：损失制： 拒绝决不排队 犹豫不决等待一段时间后离开系统 换队从一个队列换到另一队列,等待制： 先到先服务(FIFO)按到达次序依次接受服务 后到先服务(LIFO)后到达顾客先得到服务 随机服务(SIRO)从队列中随机选取服务对象 优先权服务(PR)：最短处理时间优先(SPT) 逐个到达，成批服
5、务 成批到达，逐个服务,混合制： 当排队的队长或需要等待的时间超过一定的限制时，顾客会离开系统。,6.1.5服务时间与服务机制 定义相继到达顾客接受服务所花费的时间为服务时间，记做Sn。 服务时间可以是常数，也可以是随机变量。 它还取决于提供服务的时间段或等待的队列长度。,服务机制,6.2 排队标记,为了识别各种不同的排队系统，我们采用下面的符号体系： A/B/c/N/K A到达间隔时间的分布 B服务时间的分布 c并行服务台的个数 N系统容量 K拟到达总体的大小,对于A、B两个参数，常使用的符号有： M指数分布或马尔可夫分布 D常数或确定性分布 Ekk阶爱尔朗分布 PH阶段类型分布 H超指数分
6、布 G任意或一般分布 GI一般独立分布,例：M/M/1/表示：到达间隔时间和服务时间都服从指数分布由单服务台组成的排队系统该系统队列容量无限可能的到达总体也为无限 当N和K都为无穷大时，可以把它们从标记中省略掉。,排队模型常用参数及其含义,t,顾客到达时刻,开始 服务时刻,服务终结时刻,A4,A3,A2,A1,4,3,2,1,1,4,3,2,W1,W4,W3,W2,空,空,S1=,S2,S3,S4=,主要指标有： 系统中顾客数量的时间平均数(L) 队列中顾客数量的时间平均数(LQ) 每位顾客在系统中花费的平均时间() 每位顾客在队列中花费的平均时间(Q) 服务台的利用率() “系统”指等待队列
7、及服务机制 “队列”指等待队列本身,6.3 排队系统的长时间运行性能指标,6.3.1系统L中的时间平均数 考虑一个运行周期为T的排队系统,设L(t)表示t时刻系统中的顾客数。,T1,T1,T1,T1,T2,T2,T3,T0,T0,设Ti表示0,T时段内系统中正好有i名顾客的总时间。,T0=3,T3=1,T2=4,T1=12,定义系统中的时间加权平均数为：,T0=3,T3=1,T2=4,T1=12,也就是说：,当T时 L,6.3.2每个顾客在系统中花费的平均时间 在0,T时间段内，共有N个顾客到达系统并接受服务，每个顾客在系统中花费的时间分别记做：W1,W2,WN，则：,当N时，,6.3.3守恒
8、方程,当T，N时： 守恒方程表明：在任意时刻，系统中的平均顾客数等于单位时间内到达的顾客数与每个顾客在系统中花费的平均时间的乘积。,6.3.4服务台利用率 服务台处于繁忙状态所占时间的比例称为服务台利用率。G/G/1/排队系统中的服务台利用率：单服务台队列达到稳定的条件：,当T时，,G/G/c/排队系统中的服务台利用率：多服务台队列达到稳定的条件：,服务台利用率的高低不是导致等待队列出现的原因。到达间隔时间和服务时间的变化造成了队列长度的波动。,M/G/1队列的稳态参数：,6.4 无限总体马尔可夫模型行为特性,2越大，队列越长。,服务时间均值为1/、方差2,M/M/1队列的稳态参数：,M/M/
9、c队列的稳态参数：,M/G/队列的稳态参数：,以下三种场合可以将服务台的个数视为无穷大来处理： 当每个顾客都有自己的服务台时 当服务能力远远大于服务需求时 当我们想要知道需要多少个服务台才能保证顾客几乎不用等待时,例：某服务器期望顾客登录速率为=500人/小时，服从泊松分布，且每个顾客保持链接的平均时间为1/=3小时。为保证95%时间能够提供足够容量，试确定链接能容许的同时访问的用户量的最小值c。 L=/=500*3=1500人,求得c=1564,对于绝大多数队列，可以通过减小服务台利用率或服务时间波动的方式来缩短队列长度。减小服务台利用率的方式有： 减小到达速率 增大服务速率 增加服务台的个
10、数,M/M/c/N/队列的稳态参数：,一个有K名顾客的有限拟到达总体模型，每一顾客从完成一次服务到下一次要求服务的时间间隔服从均值为1/时间单位的指数分布；服务时间也服从均值为1/时间单位的指数分布；系统有c个并行的服务台，且系统容量为K。 M/M/c/K/K,6.5 有限总体模型的稳态行为特性,许多系统都是由多个单一队列组成的网络，顾客从一个队列离开后会进入其他队列。假定一个稳定的系统，具有无限拟到达总体且系统容量无限，则有以下结论： 只要顾客在队列中既不会被创造，也不会消亡，那么经过长时间运行，脱离队列的离开速率与进入队列的到达速率相等。,6.6 排队网络,如果顾客进入队列i的速率为i，并
11、且离开队列i后进入队列j的概率为pij，那么经过长时间运行，从队列i进入队列j的顾客的到达速率为 ipij。 进入队列j的总到达速率j等于所有来源的到达速率之和。设从网络外部进入队列j的顾客的到达速率为aj，则,如果队列j有cj个并行服务台，每个服务台的工作速率都为j，则每个服务台的长时间运行利用率为若使队列达到稳定，必须满足,对于每一个队列j，如果从网络外部到达的顾客服从速率为aj的泊松过程，并且有cj(可以是)个相同的服务台，其服务时间满足均值为1/j的指数分布，那么稳态下，队列j的行为类似一个M/M/cj队列，其到达速率,例：一驾照分理处，司机到达速率为每小时50人。到达后必须在两个工作
12、人员中的一个处登记，平均时间为2分钟。后有15%的司机要参加大约20分钟的考试。最后所有司机都要在同一地点拍照，速率为每小时60人。 是增加一个登记人员，还是增加一个照相点更能减少顾客的等待时间？,如果把到达过程视为泊松过程，则设登记处为队列1，其为M/M/2队列，1=30 考试处为队列2，为M/M/队列，2=3 照相点为队列3，为M/M/1队列，3=60,由M/M/c稳态参数可得，登记处现Q=0.0758小时，若增加一名工作人员，其变为M/M/3队列，Q变为0.0075，缩短0.0683小时。由M/M/1稳态参数可得，照相点现Q=0.0833小时，若增加一个照相点，其变为M/M/2队列，Q变为0.0035，缩短0.0798小时。 所以，增加一个照相点比增加一个工作人员更能缩短顾客的等待时间。,按优先权规则服务时，必须考虑当一个比现在正在接受服务的顾客具有更高优先权的顾客到达后，系统如何处理。 其一，优先权仅决定一个顾客排队的先后，不影响正在接受服务的顾客。 其二，立即停止当前的服务，为新到的具有更高优先权的顾客服务。此情形称为抢占服务。,
