1、高考大题专项练一 高考中的函数与导数高考大题专项练第 2 页 1.(2018 北京,理 18)设函数 f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与 x 轴平行,求 a;(2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围.解 (1)因为 f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,所以 f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex,所以 f(1)=(1-a)e.由题设知 f(1)=0,即(1-a)e=0, 解得 a=1.此时 f(1)=3e0.所以 a 的值为 1.(2)由(1)得 f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(
2、ax-1)(x-2)ex.若 a ,则当 x 时,f (x)0.所以 f(x)在 x=2 处取得极小值.若 a ,则当 x(0,2)时,x-20.12 12所以 2 不是 f(x)的极小值点.综上可知,a 的取值范围是 .(12,+)2.已知函数 f(x)=emx-ln x-2.(1)若 m=1,证明 :存在唯一实数 t ,使得 f(t)=0;(12,1)(2)求证:存在 00.证明 (1)当 m=1 时,f( x)=ex-ln x-2,f(x)=ex- ,x0.1显然 f(x)在(0, +)内单调递增且图象是连续的,又 f 0,故存在唯一实数 t ,使得(12) (12,1)f(t)=0.(
3、2)f(x)=memx- =m .1 (- 1)由 02- 时,f(x 0)0.(1+)取 k=2- 0.(1+)3.设函数 f(x)=cos 2x+(-1)(cos x+1),其中 0,记|f(x)|的最大值为 A.(1)求 f(x);(2)求 A;(3)证明|f(x) |2A.(1)解 f(x)=-2sin 2x-(-1)sin x.(2)解 (分类讨论)当 1 时,|f(x)|=|cos 2x+(-1)(cos x+1)|+2(-1)=3-2=f(0).因此 A=3-2.当 0 .1-4 13 15( )当 00,15知 g(-1)g(1)g .(1-4)又 -|g(-1)|(1-4)|
4、= 0,(1-)(1+7)8所以 A= .|(1-4)|=2+6+18综上,A=2-3,01 时,g (x)0,g(x)单调递增.所以 x=11是 g(x)的极小值点,故 g(x)g(1)=0.综上,a=1.(2)证明 由(1)知 f(x)=x2-x-xln x,f(x)=2x-2-ln x.设 h(x)=2x-2-ln x,则 h(x)=2- .1当 x 时,h(x )0.(0,12) (12,+)所以 h(x)在 内单调递减,在 内单调递增.(0,12) (12,+)又 h(e-2)0,h 0;当 x(x 0,1)时,h( x)0.因为 f(x)=h(x),所以 x=x0 是 f(x)的唯
5、一极大值点.由 f(x0)=0 得 ln x0=2(x0-1),故 f(x0)=x0(1-x0).由 x0(0,1)得 f(x0)f(e-1)=e-2.所以 e-20,故有 =1-t.令 g(x)= ,则 g(x)= . 1-2由 g(x)0,得 0e.故 g(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e, +)内单调递减.因此,g(x) max=g(e)= ,1所以 g(x)的值域为 ,(-,1要使得方程 f(x)=1 无实数根,则 1-t ,即 t0,f( x)0 恒成立 .不妨取 x=1,有 f(1)=et(1+t-e1-t)0.而当 t1 时,f(1)0,故 t0 时,f (x)=etx
6、1+tx-e(1-t)x .12 2(1+2-2)而当 x0 时,有 ex1+x,故 1+ 1,即 ln 0.12 12 1- 11- 1-令 h(x)=1+tx-e(1-t)x,则 h(0)=0,h(x)=t-(1-t)e(1-t)x=(1-t) .1-(1-)当 00,此时,h( x)h(0)=0,则当 00,故 f(x)在区间11- 1- 11- 1-内单调递增.(0,11- 1-)与题设矛盾,不符合题意,舍去.所以,当 t 时,函数 f(x)在区间(0,+)内是减函数.126.已知 f(x)=ax-ln x,x(0,e,g(x )= ,其中 e 是自然对数的底数,aR.(1)讨论当 a
7、=1 时,函数 f(x)的单调性和极值;(2)求证:在(1)的条件下,f(x )g(x)+ ;12(3)是否存在正实数 a,使 f(x)的最小值是 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.(1)解 当 a=1 时,f( x)=x-ln x, f(x)=1- .1=-1 当 00 时,此时 f(x)单调递增. f(x)的极小值为 f(1)=1.(2)证明 f(x)的极小值为 1, f(x)在(0,e上的最小值为 1,即f(x) min=1.又 g(x)= , 当 00,g(x)在(0,e上单调递增.1-2 g(x)max=g(e)= ,1 ,12 在(1)的条件下,f (x)g(x)+
8、 .12(3)解 假设存在正实数 a,使 f(x)=ax-ln x(x(0,e) 有最小值 3,则 f(x)=a- .1=a-1 当 00,b0,a1,b1).(1)设 a=2,b= .12 求方程 f(x)=2 的根; 若对于任意 xR ,不等式 f(2x)mf( x)-6 恒成立,求实数 m 的最大值;(2)若 01,函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值.解 (1)因为 a=2,b= ,12所以 f(x)=2x+2-x. 方程 f(x)=2,即 2x+2-x=2,亦即(2 x)2-22x+1=0,所以(2 x-1)2=0,即 2x=1,解得 x=0. 由条件知
9、 f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2.因为 f(2x)mf(x)-6 对于 xR 恒成立,且 f(x)0,所以 m 对于 xR 恒成立.()2+4()而 =f(x)+()2+4() 4()2 =4,()4()且 =4,(0)2+4(0)所以 m4,故实数 m 的最大值为 4.(2)因为函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点,而 g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以 0 是函数 g(x)的唯一零点 .因为 g(x)=axln a+bxln b,又由 01 知 ln a0,所以 g(x)=0 有唯一解 x0=lo .(-)令 h(x)=g
10、(x),则 h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)2,从而对任意 xR ,h(x)0,所以 g(x)=h(x)是(- ,+)内的增函数.于是当 x(-,x 0)时,g(x )g(x0)=0.因而函数 g(x)在(-,x 0)内是减函数 ,在( x0,+)内是增函数.下证 x0=0.若 x0 -2=0,且函数 g(x)在以 和 loga2 为端点的闭区间上的图象不2+2 2 02间断,所以在 和 loga2 之间存在 g(x)的零点,记为 x1.因为 00,同理可得 ,在 和 logb2 之间存在 g(x)的非 0 的零点,矛盾.02因此,x 0=0.于是
11、- =1,故 ln a+ln b=0,所以 ab=1.8.(2018 天津,理 20)已知函数 f(x)=ax,g(x)=logax,其中 a1.(1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间 ;(2)若曲线 y=f(x)在点(x 1,f(x1)处的切线与曲线 y=g(x)在点(x 2,g(x2)处的切线平行,证明 x1+g(x2)=-;2 (3)证明当 a 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线.1(1)解 由已知,h(x )=ax-xln a,有 h(x)=axln a-ln a.令 h(x)=0,解得 x=0.由 a1,可知当 x 变
12、化时,h (x),h(x)的变化情况如下表:x (-,0) 0 (0,+)h(x)- 0 +h(x) 极小值所以函数 h(x)的单调递减区间为 (-,0),单调递增区间为(0,+ ).(2)证明 由 f(x)=axln a,可得曲线 y=f(x)在点( x1,f(x1)处的切线斜率为 ln a.由 g(x)= ,可得曲线1 1y=g(x)在点( x2,g(x2)处的切线斜率为 .因为这两条切线平行,故有 ln a= ,即 x2 (ln a)2=1.两12 1 12 1边取以 a 为底的对数,得 logax2+x1+2logaln a=0,所以 x1+g(x2)=- .2 (3)证明 曲线 y=
13、f(x)在点(x 1, )处的切线 l1:y- ln a(x-x1).曲线 y=g(x)在点(x 2,logax2)处的切线a1 1=1l2:y-logax2= (x-x2).12要证明当 a 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线,只需证明当 a1时 ,存在 x1 (-,+),x2(0,+),使得 l1 与 l2 重合.1即只需证明当 a 时,方程组11a= 12,1-11=2- 1 有解.由 得 x2= ,代入 ,得 -x1 ln a+x1+ =0.11()2 1 1 1+2 因此,只需证明当 a 时,关于 x1 的方程 存在实数解.1设函数 u
14、(x)=ax-xaxln a+x+ ,即要证明当 a 时 ,函数 y=u(x)存在零点.1+2 1u(x)=1-(ln a)2xax,可知当 x(-,0) 时,u(x)0;当 x(0,+)时,u( x)单调递减,又 u(0)=10,u=1- 0,使得 u(x0)=0,即 1-(ln a)2x0 =0.由此可得 u(x)在(-,x 0)(1()2) 1()2 0上单调递增,在(x 0+)上单调递减 ,u(x)在 x=x0 处取得极大值 u(x0).因为 a ,故 ln ln a-1,所以 u(x0)= -x0 ln a+x0+ +x0+1 0 0 1+2 = 10()20.2 2+2 下面证明存在实数 t,使得 u(t) 时,有 u(x)(1 +xln a)(1-xln a)+x+ =-(ln a)2x2+x+1+1 1+2 ,1+2 所以存在实数 t,使得 u(t)0.因此,当 a 时,存在 x1( -,+),使得 u(x1)=0.1所以,当 a 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线.1
