1、考查角度 1 坐标系与参数方程分类透析一 方程互化与相交弦长问题例 1 (河北衡水中学 2018 届高三数学复习题)在直角坐标系 xOy中,圆 C 的参数方程为 ( 为参数),以 O 为极点, x 轴=3,=3+3的正半轴为极轴建立极坐标系 .(1)求圆 C 的普通方程;(2)直线 l 的极坐标方程是 2 sin =4 ,射线 OM:=(-6) 3与圆 C 的交点为 P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长 .56分析 (1)利用 cos2+ sin2= 1 消去 即可 .(2)先求出圆 C 的极坐标方程,再由直线 l 和圆 C 的极坐标方程得到 P,Q 两点的极径,它们的差的绝对值就
2、是线段 PQ 的长 .解析 (1) 圆 C 的参数方程为 ( 为参数),又=3,=3+3cos2+ sin2= 1, 圆 C 的普通方程为 x2+(y-3)2=9.(2)化圆 C 的普通方程为极坐标方程得 = 6sin ,设 P( 1, 1),则由 得=6,=56 1=3,1=56.设 Q( 2, 2),则由 得2(-6)=43,=56 2=4,2=56. 1= 2,|PQ|=| 2- 1|=1.方法技巧 化曲线的参数方程为普通方程的方法有反解消参、平方消参等,注意消参后变量的取值范围 .化普通方程为极坐标方程,则需利用关系式 x= cos ,y= sin 来转化 .在极坐标系中求线段的长度、
3、图形的面积等问题时,注意观察几何对象隐含的特点(如三点共线等),从而得到解决问题的合理方法 .分类透析二 方程互化与参数几何意义的应用例 2 (福建省三明市第一中学 2018 届高三适应性试题)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数),在以 O=55,=9+255为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2的极坐标方程为= 8sin .(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C1与 C2交于 A,B 两点,点 P 的坐标为(0,9),求 +1|.1|分析 (1)消元法解出直线 C1的普通方程,利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆 C
4、2的直角坐标方程 .(2)将直线 C1的参数方程代入圆 C2的直角坐标方程,并化简整理得关于 t 的一元二次方程,利用 |t|的几何意义求解问题 .解析 (1)由曲线 C2的极坐标方程为 = 8sin ,即 2=8 sin ,得 x2+y2=8y,故曲线 C2的直角坐标方程为 x2+(y-4)2=16.由曲线 C1的参数方程为 (t 为参数),可得 y-9=2x,=55,=9+255即曲线 C1的普通方程为 2x-y+9=0.(2)显然点 P 在直线 C1上,又直线 C1的参数方程为 (t 为参数),=55,=9+255将其代入 x2+(y-4)2=16 中并化简,得 t2+4 t+9=0.5
5、设点 A 对应的参数为 t1,点 B 对应的参数为 t2,则 t1+t2=-4 ,t1t2=9,5从而 + = + = = = .1| 1| 1|1| 1|2|1|+|2|12| -1+(-2)|12| 459方法技巧 利用 |t|的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法 .注意 |PA|=|t1|,|PB|=|t2|,要去绝对值符号,需判断交点与定点的位置关系,上方为正,下方为负 .分类透析三 方程互化与最值问题例 3 (安徽省六安市第一中学 2018 届高三适应性试题)在直角坐标系 xOy 中, C1: (t 为参数),以原点 O 为极点, x 轴正=,=(-1)半轴为极轴
6、建立极坐标系,已知曲线 C2: 2+10 cos - 6 sin + 33=0.(1)求 C1的普通方程及 C2的直角坐标方程;(2)若 P,Q 分别为 C1,C2上的动点,且 |PQ|的最小值为 2,求 k 的值 .分析 (1)消去参数可得 C1的普通方程;由互化公式可得曲线 C2的直角坐标方程 .(2)利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离 d,利用 d-r=2 即可得出 .解析 (1)由 可得其普通方程为 y=k(x-1),它表示=,=(-1)过定点(1,0),斜率为 k 的直线 .由 2+10 cos - 6 sin + 33=0可得其直角坐标方程为 x2+y2+10x-6y+33
7、=0,整理得( x+5)2+(y-3)2=1,它表示圆心为( -5,3),半径为 1 的圆 .(2)因为圆心( -5,3)到直线 y=k(x-1)的距离 d= ,所以 |PQ|6+3|1+2的最小值为 -1,故 -1=2,得 3k2+4k=0,解得 k=0 或 k=- .|6+3|1+2 |6+3|1+2 43方法技巧 求解与极坐标有关的问题的主要方法:(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用;(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解 .使用后一种方法时,应注意若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标 .1.(2017 年全国 卷,文 22 改编)在平面直角坐标系 xOy 中,
8、曲线 C1的参数方程为 ( 为参数, 0,2),曲线 C2的参数方=,=3程为 (t 为参数) .=-2-12,=32 (1)求曲线 C1,C2的普通方程;(2)求曲线 C1上一点 P 到曲线 C2距离的取值范围 .分析 (1)直接消去参数即得普通方程 .(2)求曲线 C1上一点 P 到曲线 C2距离的取值范围,可借助参数方程设此点为(cos ,3sin ),然后根据点到直线的距离公式得出表达式转化为三角函数求最值问题即可 .解析 (1)直接消去参数得 C1的普通方程为 x2+ =1,29直接消去参数得 C2的普通方程为 y=- (x+2),即 x+y+2 =0.3 3 3(2)设 P(cos
9、 ,3sin ),则点 P 到 C2的距离 d= = =|3+3+23|2 |23(+6)+23|2.3(+6)+1 0,2), 当 sin =1,即 = 时, dmax=2 ;(+6) 3 3当 sin =-1,即 = 时, dmin=0.(+6) 43 曲线 C1上一点 P 到曲线 C2距离的取值范围为0,2 .32.(2018 年全国 卷,文 22 改编)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, x 轴正半轴=4,=+4为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 cos2= 4sin .(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(
10、2)若曲线 C1和曲线 C2有三个公共点,求以这三个点为顶点的三角形的面积 .解析 (1)由曲线 C1: ( 为参数),消去参数 ,得=4,=+4曲线 C1的普通方程为 x2+(y-a)2=16.由曲线 C2: cos2= 4sin ,得 2cos2= 4 sin ,化为直角坐标方程为 x2=4y.(2)因为曲线 C1和曲线 C2都是关于 y 轴对称的图形,它们有三个公共点,所以原点为其中的一个公共点 .将原点 O(0,0)代入 x2+(y-a)2=16,得 a=4 或 a=-4(舍去),此时,曲线 C1的方程为 x2+(y-4)2=16,故曲线 C1和曲线 C2的三个公共点坐标为(0,0),
11、(4,4),( -4,4),易得以这三个点为顶点的三角形的面积为 44-(-4)=16.123.(2018 年全国 卷,文 22 改编)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数) .=2,=(1)求曲线 C 的普通方程;(2)经过点 P (直角坐标系 xOy 中的点)作直线 l 交曲线 C 于 A,B(1,12)两点,若 P 恰好为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程 .解析 (1)由曲线 C 的参数方程,得 =2,=,所以 cos2+ sin2= +y2=1,(2)2所以曲线 C 的普通方程为 +y2=1.24(2)设直线 l 的倾斜角为 1,则直线 l 的参数方程为(
12、t 为参数 ),=1+ 1,=12+ 1将其代入曲线 C 的直角坐标方程,得(cos 2 1+4sin2 1)t2+(2cos 1+4sin 1)t-2=0,所以 t1+t2=- .由题意知 t1=-t2,2 1+4 121+421所以 2cos 1+4sin 1=0,得直线 l 的斜率 k=- ,12所以直线 l 的方程为 x+2y-2=0.1.(福建省两大名校 2018 届高三下学期第一次模拟题)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),在以坐标原点 O 为极点, x 轴正=1+,=3+3半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 2=4 cos + 2 sin - 4.3(1)求
13、直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程;(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 |OA|OB|的值 .解析 (1) 直线 l 的参数方程为 (t 为参数),=1+,=3+3 直线 l 的普通方程为 y= + (x-1),3 3即 y= x, 直线 l 的极坐标方程为 = .33 曲线 C 的极坐标方程为 2=4 cos + 2 sin - 4,3x 2+y2=4x+2 y-4,即( x-2)2+(y- )2=3,3 3 曲线 C 的直角坐标方程为( x-2)2+(y- )2=3.3(2)将直线 l:= 代入曲线 C 的极坐标方程 : 2=4 cos + 23 sin -
14、 4,得 2-5+ 4=0.3设直线 l 与曲线 C 的两个交点 A,B 的极坐标分别为 A( 1, 1),B( 2, 2), 1 2=4,|OA| |OB|=| 1| 2|=| 1 2|=4.2.(山东、湖北部分重点中学 2018 届高三高考冲刺模拟题)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数, 为直=5+,= 线的倾斜角) .以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 = 4cos .(1)当 = 45时,求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;(2)已知点 C 的直角坐标为 C(2,0),直线 l 与曲线
15、C 交于 A,B 两点,当 ABC 面积最大时,求直线 l 的普通方程 .解析 (1)当 = 45时,直线 l 的参数方程为 =5+22,=22, 消去 t 得直线 l 的普通方程为 x-y-5=0.曲线 C 的极坐标方程是 = 4cos ,两边乘以 为 2=4 cos ,可得 x2+y2-4x=0,所以曲线 C 的直角坐标方程为( x-2)2+y2=4.(2)因为直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,由参数方程设直线 l 的普通方程为 y=k(x-5).曲线 C 是以 C(2,0)为圆心,2 为半径的圆,S ABC= |CA|CB|sin ACB=2sin ACB.12当 ACB=90时
16、, ABC 的面积最大,此时点 C 到直线 l 的距离为 ,所以 = ,解得 k= ,2 2|2-5|2+1 147所以直线 l 的普通方程为 y= (x-5).1473.(江西省抚州市临川区一中 2018 届模拟)以坐标原点 O 为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 = 2.(+1)(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)在曲线 C 上任取一点 P,过点 P 分别作 x 轴, y 轴的垂线,垂足分别为 A,B,求矩形 OAPB 的面积的最大值 .解析 (1)由 = 2 得 2=2( sin + cos (+1)+ 1),所以 x2+y2=2x+2y+2,即(
17、x-1)2+(y-1)2=4,故曲线 C 的参数方程为 ( 为参数) .=1+2,=1+2(2)由(1)可设点 P 的坐标为(1 +2cos ,1+2sin ), 0,2),则矩形 OAPB 的面积 S=|(1+2cos )(1+2sin )|=|1+2sin + 2cos + 4sin cos |.令 t=sin + cos = sin ,2 (+4)则 t - , ,t2=1+2sin cos ,2 2所以 S=|1+2t+2t2-2|= ,故当 t= 时, Smax=3+2 .|2(+12)2-32| 2 24.(河北省石家庄二中 2018 届高三三模试题)在直角坐标系 xOy 中,曲线
18、 C1过点 P(a,1),其参数方程为 (t 为参数, aR) .以=- 22,=1- 22坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 cos2+ 3cos -= 0.(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)已知曲线 C1和曲线 C2交于 A,B 两点,且 |PA|=3|PB|,求实数 a 的值 .解析 (1)由 C1的参数方程 消参得其普通方程为 x-=- 22,=1- 22,y-a+1=0,由 C2的极坐标方程易得 2cos2+ 3 cos - 2=0,从而得其直角坐标方程为 y2=3x.(2)将曲线 C1的参数方程 (t 为参数 ,aR)代入曲=- 22,=1- 22线 C2:y2=3x,得 t2+ t+2-6a=0,2由 = (- )2-41(2-6a)0,得 a .214设 A,B 对应的参数为 t1,t2,由题意得 |t1|=3|t2|,即 t1=3t2或t1=-3t2.当 t1=3t2时, 解得 a= ;1=32,1+2=- 2,12=2-6, 1348当 t1=-3t2时, 解得 a= .1=-32,1+2=- 2,12=2-6, 712综上所述, a= 或 a= .1348 712
