1、结论一 奇函数的最值性质已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数,则对任意的 xD,都有 f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在 D 上有最值,则 f(x)max+f(x)min=0,且若 0D,则 f(0)=0.例 1 已知函数 fx和 g均为奇函数， 在区间 0,上有最大值 5，那么hx在 ,0上的最小值为A. 5 B. 3 C. 1 D. 5【答案】C【变式训练】1已知函数 ，则 =_2已知函数 x 的最大值为，最小值为，则R)_结论二 函数周期性问题已知定义在 R 上的函数 f(x),若对任意 xR,总存在非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x),则称 f(x)是
2、周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果 f(x+a)=-f(x)(a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.(2)如果 f(x+a)= (a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.(3)如果 f(x+a)+f(x)=c(a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.(4)如果 f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=6a.例 2【山东省德州市 2019 届高三期末联考】已知定义在 的奇函数 满足 ，当时， ，则 （ ）A B1 C0
3、 D-1【答案】D【解析】 根据题意，函数 f（ x）满足 f（ x+2） f（ x） ，则有 f（ x+4） f（ x+2） f（ x） ，即函数是周期为4 的周期函数，则 f（2019） f（1+2020） f（1） ，又由函数为奇函数，则 f（1） f（1）（1） 21；则 f（2019）1；故选： D 【变式训练】 【2018 四川省成都市 9 校联考】已知函数 （ ， 为自然对数的底1xe数）与 的图象上存在关于直线 对称的点，则实数 取值范围是xgeyxaA. B. C. D. 1,e1,e 1,e结论五 两个经典不等式(1)对数形式: ln(x+1)x(x-1),当且仅当 x=0
4、 时,等号成立.(2)指数形式:e xx+1(xR),当且仅当 x=0 时 ,等号成立.例 5 设函数 f(x)=1-e-x.证明:当 x-1 时, f(x) .证明 x-1 时, f(x) x-1,1-e-x 1- e -x(x-1) (x-1)x+1e x(x-1).当x-1 时,e xx+1 恒成立,所以当 x-1 时, f(x) .【变式训练】1.已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图象大致为( )2.已知函数 f(x)=ex,xR.证明:曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1 有唯一公共点.结论六 三点共线的充要条件设平面上三点 O,A,B 不共线,则平面上任意一点 P
5、与 A,B 共线的充要条件是存在实数 与 ,使得= + ,且 +=1.特别地,当 P 为线段 AB 的中点时, = + .例 6【福建省厦门市 2019 届高三上期末】在平面四边形 中， 面积是 面积的 2 倍，数列满足 ，且 ，则 （ ）A31 B33 C63 D65【答案】B【解析】 ，即 ，数列 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列， 结论八 等差数列设 Sn为等差数列a n的前 n 项和.(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+nap+aq=am+an(m,n,p,qN *).(2)ap=q,aq=p(pq)a p+q=0.(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S
6、2k,构成的数列是等差数列.(4) = n+ 是关于 n 的一次函数或常函数,数列 也是等差数列.(5)Sn= = = =.(6)若等差数列a n的项数为偶数 2m,公差为 d,所有奇数项之和为 S 奇 ,所有偶数项之和为 S 偶 ,则所有项之和 S2m=m(am+am+1),S 偶 -S 奇 =md, = .(7)若等差数列a n的项数为奇数 2m-1,所有奇数项之和为 S 奇 ,所有偶数项之和为 S 偶 ,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S 奇 =mam,S 偶 =(m-1)am,S 奇 -S 偶 =am, = .(8)若 Sm=n,Sn=m(m n),则 Sm+n=-(m+n)
7、.(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.例 8【广东省揭阳市 2019 届高三学业水平考试】已知数列 满足 ， ，则数列 中最大项的值为_.【答案】【解析】由 得 ，即数列 是公差为 8 的等差数列，故 ，所以 ，当 时 ；当 时， ，数列 递减，故最大项的值为 .【变式训练】1. 等差数列 共有 项，若前 项的和为 200，前 项的和为 225，则中间 项的和为 （ ）na3m23mmA. 50 B. 75 C. 100 D. 1252. 【2018 宁夏育才中学模拟】已知无穷等差数列 na的公差 0d， na的前 项和为 nS，若 50a，则下列结论中正确 的是（ ）A. nS是递增数列 B
8、. nS是递减数列C. 2有最小值 D. 2有最大值3.【四川省广元市 2019 届高三第一次高考适应】已知方程 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 _结论九 等比数列已知等比数列a n,公比为 q,前 n 项和为 Sn.(1)an=amqn-m,an+m=anqm=amqn(m,nN *).(2)若 m+n=p+q,则 aman=apaq(m,n,p,qN *);反之,不一定成立.(3)a1a2a3am,am+1am+2a2m,a2m+1a2m+2a3m,成等比数列(mN *).(4)公比 q-1 时,S n,S2n-Sn,S3n-S2n,成等比数列(nN *).(5)若等比数列的项数为
9、 2n(nN *),公比为 q,奇数项之和为 S 奇 ,偶数项之和为 S 偶 ,则 =q.(6)an,bn是等比数列,则a n, ,anbn, 也是等比数列(0,nN *).xk-*/w(7)通项公式 an=a1qn-1= qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于 n 的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点. 最大值对应的点与最小值对应的点也关于点 0,1对称 m12M，即 2故答案为：2结论二 函数周期性问题【变式训练】1. 【答案】A【解析】依题意 ，故函数 fx为周期为 3的周期函数，故选 A.2.【答案】【解析】根据题意，函数 是周期为 2 的函数，则 ，又由
10、 为奇函数，则 ，则 ；故答案为：结论三 函数的对称性【变式训练】1. 【答案】D【解析】 ，函数 fx图象的对称轴为 2x，即 ，又函数 为偶函数，即 ， ，函数 fx为周期函数，且 T4是一个周期结合函数 fx为偶函数，且当 20x， 时， ，画出函数 fx在区间 26， 上的图象（如图所示） ，并且 在区间 26， 内方程 有且只有 4 个不同的根，函数 yfx和 的图象在区间 26， 内仅有 4 个不同的公共点结合图象可得只需满足 1 log8a ，解得 8a实数 a的取值范围是 ， 2. 【答案】D【解析】因为 图像关于点 对称，所以 ，所以 ，又 为偶函数，所以 ，所以 ，所以函数
11、 最小正周期为 2，所以.结论四 反函数的图象与性质【变式训练】【答案】A结论五 两个经典不等式【变式训练】1.【答案】B 【解析】因为 f(x)的定义域为 即x|x-1 且 x0,所以排除选项 D.令 g(x)=ln(x+1)x,则由经典不等式 ln(x+1)x 知,g(x)0 恒成立,故 f(x)= 0 恒成立,所以排除 A,C,故选 B.结论六 三点共线的充要条件【变式训练】1. 【答案】D【解析】设 ， 又 ,2 31m，解得61 5 51选 D2. 【答案】A【解析】由已知，可得 = = ，因为 P，M，Q 三点共线，所以 =1，所以 mn+m= = =（ ） （ ）= =2，故选：
12、A结论七 三角形“四心”向量形式的充要条件【变式训练】1. 【答案】C【解析】中，已知 ，由余弦定理可得 ，所以 ，设 的中点为 ，因为点 为 的重心，所以 ，可得 ，故选 C.2. 【答案】C 【解析】设 BC 的中点为 M,则 = ,则有 = + ,即 = ,P 的轨迹所在直线一定通过ABC 的重心.4.【答案】重心【解析】 动点 P 满足 （22） （1+2） （R） ，且 ， P、 C、 D 三点共线，又 D 是 AB 的中点，CD 为中线，点 P 的轨迹一定过 ABC 的重心故答案为重心结论八 等差数列【变式训练】1. 【答案】B【解析】设等差数列前 m 项的和为 x，由等差数列的性
13、质可得，中间的 m 项的和可设为 x+d，后 m 项的和设为 x+2d，由题意得 2x+d=200，3x+3d=225，解得 x=125，d=50，故中间的 m 项的和为 75，故选 B 则 xF= .所以 kEF= ,将代入上式,化简得 kEF= .结论十五 圆锥曲线中的一类定点问题【变式训练】 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得 消去 y 得,(4k 2+3)x2+8kmx+4m2-12=0, 结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题【变式训练】1. 【答案】C【解析】根据结论知道一 AB 为直径的圆和准线相切，该抛物线的准线为 1x，故这个圆和直线3=2x是相离的关系。 故答案为：C。2.【答案】2【解析】如图所示,因为 =0,所以 MAMB,故点 M 在以 AB 为直径的圆上,又准线为 x=-2,直线 AB 经过焦点 F(2,0),所以有 MFAB,又 kMF= =- ,所以 kAB=2.
