1、 “陷阱”,顾名思义,它是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误 的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一 混淆概念理解概念抓本质例 1【2018 四川省广元市统考】已知 是实数, 是虚数单位,若 是纯虚数,则ai_a易错分析 本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致多解.跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔
2、细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念. 综上, 在 只有一个零点时, 跳出陷阱 含参函数单调性、极值(最值) 、零点的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论函数的单调性是绕不过的一关,.讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序为最高次幂系数是否为 0;方程 f (x)=0是否有解;解是否在定义域内;解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,应画出导函数的图象,根据图象与 x 轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间.以便于进一步讨论极值、零点等问题.【
3、跟踪集训】已知 ( 为自然对数的底数) e()讨论 的单调性; fx()若 有两个零点 ,求 的取值范围;12,xa(2)在(1)的条件下,求证: 陷阱五 条件遗漏细心审题不遗漏例 5【2018 年江苏卷】已知 为锐角, , (1)求 的值;(2)求 的值易错分析 该题易出现的问题是不注意审题,导致漏掉 为锐角忽视 这一隐含条件或用错公式.正确解析 跳出陷阱 本题解答涉及同角公式、和差倍半的三角函数公式,忽视条件用错公式是本题易于出错的原因.【跟踪集训】 【2018 河南省中原名校联考】已知函数 ,的图象在区间 上有且只有 9 个交点,记为 ,则 ( )A. 92 B. 8 C. 982 D.
4、 92陷阱六 推理不当归纳类比要合理例 6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思是: 夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线 x2=4y 和直线 x=4,y=0 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 1,由同时满足 x0,x 2+y216,x 2+(y-2)24,x 2+(y+2)24 的点(x,y)构成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 2,根据祖暅原理,通过类比 2可以得到 1的体积为 . 易错分析 该题易出现的问题是不能准确理解
5、祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误类比.答案 32正确解析 如图(1)和图(2),设图(1)中的阴影部分绕 y 轴旋转一周得到的旋转体 的体积为 V,则 V=2,两图形绕 y 轴旋转所得的旋转体夹在两个相距为 8 的平行平面之间,用任意一个与 y 轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面。 【跟踪集训】设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2 x) f(2 x),当 x2,0)时, f(x) 2x1,若关于 x 的方程 f(x)log a(x2)0( a0 且 a1)在区间(2,6)内恰有 4 个不等的实数根,则实数 a 的取值范围
6、是( )A. ,14 B. (1,4)C. (1,8) D. (8,)陷阱八 计算跳步步骤过程要合理例 8【2017全国卷 】如图,在四棱锥 PABCD 中,ABCD,且BAP CDP90.(1)证明:平面 PAB平面 PAD;(2)若 PAPDABDC,APD90,求二面角 APBC 的余弦值易错分析 求平面法向量时,常因点的坐标、向量的坐标或平面向量的数量积运算出错,导致所求的法向量有误;计算过程中由于跳步导致失分.正确解析 以 F 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,| |为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz.FA AB 由(1)及已知可得 A( ,0,0) ,P(0,0
7、, ) ,22 22B( ,1,0) ,C( ,1,0) ,2 分22 22所以 ( ,1, ) , ( ,0,0),PC 22 22 CB 2( ,0, ) , (0,1,0)PA 22 22 AB 设 n(x 1,y 1,z 1)是平面 PCB 的一个法向量,则Error!即Error!所以可取 n(0,1, ).2 分2设 m(x 2,y 2,z 2)是平面 PAB 的一个法向量,则Error!即Error!可取 m(1,0,1),2 分则 cosn,m .nm|n|m| 33所以二面角 APBC 的余弦值为 .2 分, 33对于,当 x(1,2)时,x)=2,由(x)-x)x)x,得
8、解得 x2,故其解集为 .所以正确. 对于,因为 g(x)=sin x+cos x)= kZ.所以函数 g(x)=sin x+cos x)的值域是2,1,0,-1,所以正确.跳出陷阱 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题” ,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.【跟踪集训】 【2018 届百校联盟高三 TOP20 四月联考】已知数列 中,
9、,定义,则 ( )A. B. C. D. 答案部分陷阱一 混淆概念理解概念抓本质【跟踪集训】【答案】C陷阱二 错用结论公式定理要记准【跟踪集训】【答案】B【解析】把函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度,得 y=sin(2x+ ) ,即 y=cos2x 的图象,把 y=cos2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y=cosx 的图象; () (1)由()知,当 0a时, fx在 R 上为增函数, fx不合题意;当 0a时, fx的递增区间为 ln,,递减区间为 ,lna,又 ,当 时, , fx有两个零点 12,x,则,解得 ae; (2)由() (
10、1) ,当 ae时, fx有两个零点 12,x,且 fx在 ln,a上递增, 在,lna上递减,依题意, ,不妨设 要证 ,即证 ,又 ,所以 ,而 fx在 ,lna上递减,即证 , 又 ,即证 , ( 2lnxa) 构造函数 , , gx在 ln,a单调递增, ,从而 , , ( 2lnxa) ,命题成立陷阱五 条件遗漏细心审题不遗漏【跟踪集训】 【答案】D陷阱六 推理不当归纳类比要合理【跟踪集训】 【答案】【解析】不等式 x6(x+2)(x+2) 3x 2 变形为,x6+x2(x+2) 3+(x+2) ;令 u=x2,v=x+2,则 x6+x2(x+2) 3+(x+2)u 3+uv 3+v;陷阱七 画图不准数化“形”要准确【跟踪集训】【答案】D陷阱八 计算跳步步骤过程要合理【跟踪集训】 【解析】 ()证明:由 ,得 ,所以数列 12na是以 3 为公比,以 为首项的等比数列,从而 ; () 12nb, 两式相减得若 n为偶数,则若 为奇数,则陷阱九 转化不当由此及彼要等价【跟踪集训】 【答案】C【解析】 ,因为它们的夹角为锐角,则 0ab且 ,不共线同向,所以 12且2,故选 C陷阱十 新定义不明用新定义要明确【跟踪集训】 【答案】C【解析】 , ,所以 ,因为 =(n+1)n,所以 ,所以 故选 C.