1、著名数学家波利亚总结了解决数学问题的四个步骤：弄清问题、拟订计划、实现计划、代入回顾其中“弄清问题”即审题审题是解题的基础和关键，是解题者对题目提供信息的发现、辨认和转译，并对信息作 有序提炼，明确题目的条件、问题和相互间的关系能否迅速准确地理解题意，在很大程度上影响和决定了数学成绩的好坏从这个意义上讲，数学成绩的高低“功在审题”的说法一点都不过分.审题要弄清以下三个方面的问题条件是什么：题中的关键字、词、句以及相应的数字、单位等归哪类：条件要归类，这是准确建模的基础问题求什么：明确所求解的问题以及类别啥关系：找出已知和所求的关系，这是准确建模的依据模型建啥模：根据已知和所求，归类建模用啥法：
2、熟练掌握模型的求解方法类型一 三角函数与解三角形类考题【2018 年理新课标 I 卷】在平面四边形 中， ， ， ， .（1）求 ； （2）若 ，求 .审题指导：(1)知啥？ 平面四边形中的部分边与角求啥？ 求三角函数值咋求？所求为条件的整理指 明方向，处理此类条件有两种思路：一是利用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换以及三角形内角和定理 A B C 整理该式，最后得到角 C 的三角函数值；二是利用余弦定理将角的余弦值化为边的关系. 第一问，从结论出发，题目要求 ，应该选择ADB 所在的三角形.画图可发现，应该选择ADB.而且，从已知条件出发，所有的已知条件，都集中在了ADB 中，更加坚定了
3、我们选择该三角形解决问题的方向；接下来是选择正弦定理还是余弦定理，通过对条件的分析，发现有两组对边角，故选择正弦定理；审题指导：(2)知啥？ ， ， ，求啥？ 已知边 ，求咋求？第二问，能否正确应用第一问的结论是关键.ADB 与BDC 互余,因此，正、余弦异名相等.再利用余弦定理即可解决.【答案】 (1) .(2) .【解析】【阅卷现场】本题考查了数学的核心素养，主要是推理论证能力，逻辑推理能力，以及简单的计算能力，学生的处理方法有正弦定理、余弦定理以及作辅助线构造直角三角形的方法.第 1 问学生出错，主要在于没有选取到合适的三角形，进而导致计算 复杂，难度加大.如果选择余弦定理，步骤增加了，
4、而且计算难度会加大！第 2 问，学生的错误，主要在于对图形的理解错误，以及错用勾股、没开方、重复开方等计算问题类型二 数列类考题【2017 天津，理 18】已知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是首项为 2 的等比数 列，且公na()nSNnb比大于 0， , ， .231b14Sb（）求 和 的通项公式；na（）求数列 的前 n 项和 .21n()N审题指导：(1)知啥？ 等差数列、等比数列中项的关系，前 11 项和与第 4 项的关系式求啥？ 求数列的通项公式咋求？()运用基本量法先求出等比数列的公比，从而求出 bn的通项公式，然后用基本量法求出等差数列 an的公差和首项，从而求出其通项公式
5、；1利用等比数列通项公式列出方程，求 q 及通项2利用等差数列通项公式及前 n 项和公式求 a， d 及通项(2)知啥？ , ，231b14Sb求啥？ 和 的通项公式， 的前 n 项和na2na咋求？()数列 a2nb2n1 是由等差数列与等比数列 对应相乘而得到的，运用错位相减法求出数列 a2nb2n1 的前 n 项和1由()的结论，求出 a2n， b2n1 ，求出 a2nb2n1 2列出 Tn及 4Tn,3利用错位相减法求3 Tn,4求得 Tn,【答案】 （1） . .（2） .3nanb【解析】（II）解：设数列 的前 项和为 ，21nabnT由 ， ，有 ，26na故 ，上述两式相减，
6、得得 .所以，数列 的前 项和为 .21nab【阅卷现场】本题主要考查等差数列、等比数列及前 n 项和 公式等基础知识，考查数列求和的基本方法.考查了数学的核心素养，主要是推理论证能力，逻辑推理能力，以及简单的计算能力1牢记等差、等比数列的 an及 Sn公式求等差、等比数列的基本量，首先考虑性质的运用，如果不能用性质，才考虑使用基本量法，在使用错位相减法求和时，一定要弄清楚参与运算的项数和没有参与运算的项数 2注意利用第 (1)问的结果：在题设条件下，如果第 (1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得 an， bn
7、.3写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证如本题第(1)问要充分体现等差(比)数列基本量的运算第(2)问利用错位相减法求 Tn，计算要求更高，往往很多学生计算出错导致失分类型三 概率与统计类考题某险种的基本保费为 （单元：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与a其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概 率 0.30 0.15 0.20 0.
8、20 0.10 0.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 的概率；60%（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值审题指导：(1)(2)知啥？表一 保费与上年度出险次数表二 出险次数与相应的概率求啥？ 保费高于基本保费的概率和其保费比基本保费高出 的概率 60%咋求？理清出现次数及概率的关系表 一 和 表 二 数 据利用条件概率来求(3)知啥？ 表一与表二求啥？ 平均保费与基本保费的比值咋求？ 求保费的期望与 a 的比值【答案】 （1） （2） （3） 0.51.2【解析】 （1）设续保人本年度的保费高于基本保
9、费为事件 ，则 A（2）设续保人保费比基本保费高出 为事件 ， 60%B（3）设本年度所交保费为随机变量 XX.85a1.25a175a2P03.0020.5平均保费为： ，所以平均保费与基本保费比值为 1.2【阅卷现场】1正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键 是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题.2注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能 用得上，要可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决3注意规范答题：解题时要写准每一小题的解题过程，尤其是解题得分点要 准确、
10、规范，需要文字表达的，不要惜墨，但也不能过于啰嗦，恰到位置就好，本题就需要用文字表达，准确说明是解题关键如（1） （2）有步骤，结果对；（3）列对随机变量分布列，写全数据，利用数学期望公式，求对平均保费等.类型四 立体几何类考题【2017 课标 II19】如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PD 的中点.（1）证明：直线 平面 PAB；/CE（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 ，求二面角 的余弦值.o45审题指导：(1)知啥？面面垂直直角梯形数量关系和中点求啥？ 直线 平面 PAB/CE咋求？直线和平面平
11、行的判定定理；平面和平面平行的性质定理.(2)知啥？面面垂直直角梯形直线和平面所成的角求啥？ 二面角 咋求建立空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点的坐标，通过求半平面的法向量求二面角大小则 ， ， ， ， , ，0,A1,0B,10C,3P(10)AB， ，设 则 ，因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而 是底面 ABCD 的法向量，0,1n所以 ， ，即 . 又 M 在棱 PC 上，设 ,则 PC. 由，解得 (舍去)， .2162xyz2162xyz【阅卷现场】本题主要考查直线与平面平行的判定、线面角的判定，以及二面角余弦值的求解，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及
12、运算求解能力1写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写如第(2)问中的建系及各点坐标，平面法向量的坐标等2在题设条件下，立体几体解答题的第(2)问建系，往往要用到第(1)问中的垂直关系时，可以直接用，有时不用第(1)问的结果无法建系3写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如线面平行三个条件，写不全则不能得全分，否则要扣 1 分；第(2)问中不写出公式 cos m， n ，而直接得出余弦值，则要扣 1 分mn|m|n|类型五 解析几何类考题【2017 课
13、标 II】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P2xy满足 .(1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 上，且 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 3x1OPQ审题指导：(1)知啥？ 椭圆 C 的方程和向量等式求啥？ 点 P 的轨迹方程咋求？ 利用向量关系得坐标关系，利用代入法求解(2) 知啥？点 Q 在直线 上，且 直角梯形3x1OPQ求啥？ 证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F咋求 寻求已知条件和位置元素之间的关系，利用方程思想求解.【解析】 （1 ）设 ,设 ,
14、 .0Nx由 得 .因为 在 C 上，所以 .0,Mxy21xy.所以 ，即 .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 过 C0OQPFAF l的左焦点 F.【阅卷现场】本题主要考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等知识，是一道综合能力较强的题，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力1正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义及性质，用解方程的方法求出 a2、 b2，如本题第(1)问就涉及椭圆的性质来判断点在不在椭圆上2注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题
15、第(2)问中首先要求出斜率不存在时的情况3写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积，弦长，目标函数，等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚类型六 函数与导数类考题【2017 课标 II】已知函数 ，且 .0fx(1)求 ；a(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .fx0x审题指导：知啥？ 0f求啥？ a 的值和证明不等式咋求？1.将不等式等价变形，转化为求含参函数的最小值问题；2.函数零点若不能通过计算得到，可观察再判断单调性得到，或者可以通过模糊设法，利用整体带换求得.（1） 的定义域为 .f
16、x0， +设 ，则 ， 等价于 .0fx0gx因为 ，因 ，而 ，得 .10g1a若 ，则 .当 时， ， 单调递减；1ax0gx当 时， ， 单调递增.所以 是 的极小值点，故x0gx1综上， .所以 在 有唯一零点 ，在 有唯一零点 1，hx10,20x1,2且当 时， ；当 时， ，0,h0,0hx当 时， .1x0x因为 ，所以 是 的唯一极大值点.0fx由 得 ，故 . 0fx【阅卷现场】1牢记求导法则，正确求导：在函数 与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，解题时应先写出函数定义域2注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解3注意分类讨论：高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论4写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、单调区间、零点等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚
