1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题十七 常用逻辑用语命题及其关系【背一背基础知识】一命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为 真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题二四种命题及其关系1四种命题命题 表述形式原命题 若 p，则 q逆命题 若 q，则 p否命题 若 ，则逆否命题 若 ，则即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题
2、的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题.2四种命题间的逆否关系3四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系【讲一讲释疑解惑】1.必备技能： （1）判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假（2）否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于
3、反证法2.典型例题例 1【2018 年文北京卷】能说明“若 ab，则 ”为假命题的一组 a，b 的值依次为_.【答案】 （答案不唯一）【解析】使“若 ，则 ”为假命题，则使“若 ，则 ”为真命题即可，只需取 即可满足，所以满足条件的一组 的值为 （答案不唯一）充分条件和必要条件【背一背基础知识】一般地，如果已知 pq，那么就说：p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必 要条件.可分为四类：（1）充分不必要条件，即 pq,而 q p；(2)必要不充分条件，即 pq,而 qp；(3)既充分又必要条件，即 pq，又有 qp；(4)既不充分也不必要条件，即 p q，又有 q p. 一般地，如果既有 p
4、q，又有 qp，就记作：p q.“ ”叫做等价符号.p q 表示 pq 且 qp.这时 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.一个等价关系：互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断的命题可转化为其等价命题来判断.【讲一讲释疑解惑】1. 必备技能充要关系的几种判断方法：(1)定义法：若 ，则 p是 q的充分而不必要条件；若 ，则 p是 q的必要而不充分条件；若 ，则 是 的充要条件； 若 ，则 是 的既不充分也不必要条件. 3. 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真 假.4. 全称命题与特称
5、命题真假的判断方法汇总命题名称 真假 判断方法一 判断方法二真 所有对象使命题真 否定为假全称命题 假 存在一个对象使命题假 否定为真真 存在一个对象使命题真 否定为假特称命题假 所有对象使命题假 否定为真5命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条 件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 ”，只是否定命题 p的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系6弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提7注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否
6、定8要判断“ p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p 与 p 的真假相反9常见词语的否定形式有：原语句 是 都是 至少有一个 至多有一个 对任意 xA 使 p(x)真否定形式 不是 不都是 一个也没有 至少有两个 存在 x0A 使 p(x0)假2.典型例题例 1【2018 届安徽省皖西高中教学联盟高三上学期期末】命题“ ”的否定是_.【答案】【解析】因为命题“ ,px”的否定是“ ,px”所以命题“ ”的否定是例 2 若“ ”是真命题，则实数 m的最小值为 .【答案】1【解析】若“ ”是真命题，则 大于或等于函数 tanyx在 0,4的最大值因为函数 tanyx在 0,4上为
7、增函数，所以，函数 tanyx在 0,4上的最大值为 1，所以， 1m ，即实数 的最小值为 1.所以答案应填:1.【练一练能力提升】（一）选择题（12*5=60 分）1 【2018 年理数天津卷】设 ，则“ ”是“ ”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式 ，由 .据此可知 是 的充分而不必要条件.本题选择 A 选项.2 【2018 年理北京卷】设 a，b 均为单位向量，则“ ”是“ab”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，因为 a
8、，b 均为单位向量，所以 ab，即“ ”是“ ab”的充分必要条件.选 C.3 【2018 届辽宁省丹东市高三上学期期末】命题“ ”的否定为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】命题“ ”的否定为： ，故选 A.4 【2018 届宁夏育才中学高三上学期期末】 “ 2x”是“ 10x”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分式不等式 102x等价于 20x，则其解集为 |2x，据此可知“ ”是“ ”的充要条件.本题选择 C 选项.5 【2018 届北京市东城区高三第一学期期末】直线 :1lykx与圆 相交于 ,AB
9、两点，则“ 1k”“ 2AB”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件,【答案】A【解析】 直线 :1lykx与圆 相交于 ,AB两点， 圆心到直线的距离 21dk，则 AB，当 1k时， ，即充分性成立，若2，则 ，即 2k，解得 或 ，即必要性不成立，故“ 1k”是“”的充分不必要条件，故选 A.6. 已知命题 p：关于 x的函数 在 1,)上是增函数，命题 q：函数 为减函数，若 q为真命题，则实数 a的取值范围是 ( ) A23aB. 120aC123aD. 12a【答案】C7. 下列命题中是假命题的是（ ）A BC D【答案】B
10、【解析】由任意角的三角函数可知， ，所以 是真命题；由指数函数的性质， 是真命题；由 lg10知， 是真命题；事实上，由， 是假命题.故选 B.8. 命题“ ，使得 2nx”的否定形式是（ ）A ，使得 B ，使得 2nx C ，使得 2x D ，使得【答案】D【解析】的否定是 ， 的否定是 ， 2nx的否定是 2nx故选 D 9 【2018 届浙江省杭州市高三上学期期末】设数列 na的通项公式为 则“ 2k”是“数列 na为单调递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 2k时 ，则数列 na为单调递增数列若
11、数列 na为单调递增数列，则 即可，所以“ 2k”是“数列 na为单调递增数列”的充分不必要条件故选 A.10若 a， b是两个非零的平面向量，则“ |ab”是“ ”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ，得 ab，所以是充要条件，故选 C.11 【2018 届重庆市高三上学期期末】命题 :P “若 1x，则 2”，则命题 P以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】命题 :P “若 1x，则 2”是真命题，则其逆否命题为真命题；其逆命题
12、：“若 2，则 ”是假命题，则其否命题也是假命题；综上可得：四个命题中真命题的个数为 2.本题选择 B 选项.12已知 ,表示两个不同的平面， m为平面 内的一条直线，则“ ”是“ m”的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得若“ ”，不一定有“ m”，反之，若“ m”，由面面垂直的判断定理可得“ ”，即“ ”是“ m”的必要不充分条件.本题选择 C 选项.（二）填空题（4*5=20 分）13.【2018 届江西省 K12 联盟高三教育质量检测】已知命题 P：“ ”，则 P：_【答案】【解析】“ ” P： 故答案为
13、： 14.命题 p：“若 ab，则 ab2 015 且 ab”的逆否命题是_【答案】若 ab2 015 或 ab，则 a2 015 且 ab”的逆否命题是：“若 ab2 015 或 ab，则 ab”.答案为：若 ab2 015 或 ab，则 ab.15.【2018 届江苏省镇江市高三上学期期末】已知 ,xyR，则“ 1”是直线 与直线平行的_条件（从“充分不必要” “必要不充分” “充分必要” “既不充分也不必要”中选择一个）【答案】充要【解析】若直线 与直线 平行，则有 且，因此 1a即 1a是直线 与直线 平行的充要条件故答案为充要16. 给出以下四个命题：“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，则 x2xq0 有实根”的逆否命题；若 ab 是正整数，则 a，b 都是正整数其中真命题是_(写出所有真命题的序号)【答案】
