1、数字逻辑习题解答第 1 页 习题一1.1 把下列不同进制数写成按权展开式: (4517.239) 10= 4103+5102+1101+7100+210-1+310-2+910-3 (10110.0101) 2=124+023+122+121+020+02-1+12-2+02-3+12-4 (325.744) 8=382+281+580+78-1+48-2+48-3 (785.4AF) 16=7162+8161+5160+416-1+A16-2+F16-31.2 完成下列二进制表达式的运算:1.3 将下列二进制数转换成十进制数、八进制数和十六进制数： (1110101) 2=(165)8=(7
2、5)16=716+5=(117)10 (0.110101) 2=(0.65)8=(0.D4)16=1316-1+416-2=(0.828125)10 (10111.01) 2=(27.2)8=(17.4)16=116+7+416-1=(23.25)101.4 将下列十进制数转换成二进制数、八进制数和十六进制数,精确到小数点后 5 位： (29) 10=(1D)16=(11101)2=(35)8 (0.207) 10=(0.34FDF)16=(0.001101)2=(0.15176)8 (33.333) 10=(21.553F7)16=(100001.010101)2=(41.25237)8数字
3、逻辑习题解答第 2 页 1.5 如何判断一个二进制正整数 B=b6b5b4b3b2b1b0 能否被(4) 10 整除?解: 一个二进制正整数被(2) 10 除时,小数点向左移动一位, 被(4) 10 除时,小数点向左移动两位,能被整除时,应无余数,故当 b1=0 和 b0=0 时, 二进制正整数 B=b6b5b4b3b2b1b0 能否被(4) 10 整除.1.6 写出下列各数的原码、反码和补码： 0.10110.1011原 =0.1011; 0.1011反 =0.1011; 0.1011补 =0.1011 0.00000.000原 =0.0000; 0.0000反 =0.0000; 0.000
4、0补 =0.0000 -10110-10110原 =110110; -10110反 =101001; -10110补 =1010101.7 已知N 补 =1.0110,求N 原 ,N反 和 N.解:由N 补 =1.0110 得: N 反 =N补 -1=1.0101, N原 =1.1010,N=-0.10101.8 用原码、反码和补码完成如下运算： 0000101-00110100000101-0011010原 =10010101；0000101-0011010=-0010101。0000101-0011010反 =0000101反 +-0011010反 =00000101+11100101=1
5、1101010 0000101-0011010=-00101010000101-0011010补 =0000101补 +-0011010补 =00000101+11100110=111010110000101-0011010=-0010101 0.010110-0.1001100.010110-0.100110原 =1.010000；0.010110-0.100110=-0.010000。0.010110-0.100110反 =0.010110反 +-0.100110反 =0.010110+1.011001=1.101111数字逻辑习题解答第 3 页 0.010110-0.100110=-0.
6、010000;0.010110-0.100110补 =0.010110补 +-0.100110补 =0.010110+1.011010=1.1100000.010110-0.100110=-0.0100001.9 分别用“对 9 的补数”和“对 10 的补数”完成下列十进制数的运算： 2550-1232550-1239 补 =25509 补 +-1239 补 =02550+99876=024272550-123=24272550-12310 补 =255010 补 +-12310 补 =02550+99877=024272550-123=2427 537-846537-8469 补 =5379
7、 补 +-8469 补 =0537+9153=9690537-846=-309537-84610 补 =53710 补 +-84610 补 =0537+9154=9691537-846=-3091.10 将下列 8421BCD 码转换成二进制数和十进制数: (0110,1000,0011) 8421BCD=(1010101011)2=(683)10 (0100,0101.1001) 8421BCD=(101101.11100110)2=(45.9)101.11 试用 8421BCD 码、余 3 码、和格雷码分别表示下列各数： (578) 10=(0101,0111,1000)8421BCD=(
8、1000,1010,1011)余 3 码 =(1001000010)2=(1101100011)Gray (1100110) 2=(1010101)Gray=(102)10=(0001,0000,0010)8421BCD=(0100,0011,0101)余 3 码习题二2.1 分别指出变量（A,B,C,D）在何种取值组合时，下列函数值为 1。如下真值表中共有 6 种CABDF)1(数字逻辑习题解答第 4 页 如下真值表中共有 8 种DBA)(BA(F)2( 如下真值表中除 0011、1011、1111 外共有 13CD)C3种：2.2 用逻辑代数公理、定理和规则证明下列表达式： CABA证明:
9、左边= =右边CABAC)( 原等式成立. 1BAAB证明:左边= =右边1A)B()(A)()( 原等式成立. CBABCA证明:左边= CBABA)()( = =右边CBA原等式成立. CAB证明:右边= =左边)CA(B)( CBA原等式成立. CAB数字逻辑习题解答第 5 页 证明:左边= =右边CAB)(ABC( 原等式成立.2.3 用真值表检验下列表达式： )BA(BA C2.4 求下列函数的反函数和对偶函数： CBAF)( )DC(ABF)()( GFEDC(BAF)()( 2.5 回答下列问题： 已知 X+Y=X+Z，那么，Y=Z。正确吗？为什么？答：正确。因为 X+Y=X+Z
10、，故有对偶等式 XY=XZ。所以Y= Y + XY=Y+XZ=(X+Y)(Y+Z) =(X+Y)(Y+Z)Z= Z + XZ=Z+XY=(X+Z)(Y+Z) =(X+Y)(Y+Z)故 Y=Z。 已知 XY=XZ，那么，Y=Z。正确吗？为什么？答：正确。因为 XY=XZ 的对偶等式是 X+Y=X+Z，又因为数字逻辑习题解答第 6 页 Y= Y + XY=Y+XZ=(X+Y)(Y+Z) =(X+Y)(Y+Z)Z= Z + XZ=Z+XY=(X+Z)(Y+Z) =(X+Y)(Y+Z)故 Y=Z。已知 X+Y=X+Z，且 XY=XZ，那么，Y=Z 。正确吗？为什么？答：正确。因为 X+Y=X+Z，且
11、XY=XZ，所以Y= Y + XY= Y + XZ=(X+Y)(Y+Z)=(X+Z)(Y+Z)=Z+XY=Z+XZ=Z已知 X+Y=XZ，那么，Y=Z。正确吗？为什么？答：正确。因为 X+Y=XZ，所以有相等的对偶式 XY=X+Z。Y= Y + XY= Y +（ X + Z） =X+Y+ZZ = Z +XZ =Z + ( X + Y ) =X+Y+Z故 Y=Z。2.6 用代数化简法化简下列函数： BABCDAF 1A)()1( DB)C(DCDBCA)( BA2.7 将下列函数表示成“最小项之和”形式和“最大项之积”形式： =m(0,4,5,6,7)= M(1,2,3) （如下卡诺图 1）),
12、(F =m(4,5,6,7,12,13,14,15)D,CBADCBA= M(0,1,2,3,8,9,10,11) （如下卡诺图 2） =m(0,1,2,3,4),(F)(= M(5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15) （如下卡诺图 3）数字逻辑习题解答第 7 页 2.8 用卡诺图化简下列函数,并写出最简“与-或”表达式和最简“或- 与”表达式： =)C,BA(F)CAB)()BA( = 或=)D,CBA(FCBA AC CB= )( = =)D,CBA(F)BAD)(C)D(2.9 用卡诺图判断函数 和 有何关系。)D,CBA(F),CBA(G)D,CBA(F= ),(G=
13、 ABDCDB可数字逻辑习题解答第 8 页 见， GF2.10 卡诺图如下图所示，回答下面两个问题： 若 ,当 取何值时能得到取简的“与或”表达式。ab从以上两个卡诺图可以看出,当 =1 时, 能得到取简的“与或”表达式。a 和 各取何值时能得到取简的“与或”表达式。从以上两个卡诺图可以看出,当 =1 和 =1 时,ab能得到取简的“与或”表达式。2.11 用卡诺图化简包含无关取小项的函数和多输出函数。 m(0,2,7,13,15)+ d(1,3,4,5,6,8,10)D,CBA(F ,BA )7,432(m)D,CBA(F)10,8650,(),(321数字逻辑习题解答第 9 页 BCDAC
14、BA)D,(F,321习题三3.1 将下列函数简化,并用“与非”门和“或非”门画出逻辑电路。 m(0,2,3,7)= =)C,BA(FBCAF M(3,6)= m(0,1,2,4,5,7)= =)C,BA(F ACBB= CA = =)D,CBA(FCBACBAA数字逻辑习题解答第 10 页 = CBA = =)D,CBA(FCDBA CA DAB=3.2 将下列函数简化,并用“与或非”门画出逻辑电路。 )C,BA(FC)BA(=数字逻辑习题解答第 11 页 m(1,2,6,7,8,9,10,13,14,15)= )D,CBA(F DCBACDB3.3 分析下图 3.48 所示逻辑电路图,并求
15、出简化逻辑电路。解：如上图所示，在各个门的输出端标上输出函数符号。则 ,CB)(CBZ,CBZ,Z21321 ,AZ,A,CA 43756354 A)(F76 =A（ BC ） +C（ AB ）真值表和简化逻辑电路图如下，逻辑功能为：依照输入变量 ABC 的顺序，若 A 或 C 为1，其余两个信号相同，则电路输出为 1，否则输出为 0。数字逻辑习题解答第 12 页 3.4 当输入变量取何值时，图 3.49 中各逻辑电路图等效。解： .BAF,BA,F321 当 和 的取值相同（即都取 0 或 1）时，这三个逻辑电路图等效。AB3.5 假定 代表一个两位二进制正整数，用“与非”门设计满足如下要求
16、的逻辑电路：X ；（Y 也用二进制数表示）2因为一个两位二进制正整数的平方的二进制数最多有四位，故输入端用 A、 B 两个变量，输出端用 Y3、 Y2、 Y1、 Y0 四个变量。真值表： 真值表：Y 3=AB， Y2= ， Y1=0，Y 0= + AB =B,逻辑电路为 : BABA ， （Y 也用二进制数表示）3X因为一个两位二进制正整数的立方的二进制数最多有五位，故输入端用 A、 B 两个变量，输出端用 Y4、 Y3、 Y2、 Y1、 Y0 五个变量。可列出真值表Y 4=AB， Y3= ， Y2=0，Y 1= AB ,Y0= + AB =B,逻辑电路如上图。ABBA3.6 设计一个一位十进
17、制数（8421BCD 码）乘以 5 的组合逻辑电路，电路的输出为十进制数数字逻辑习题解答第 13 页 （8421BCD 码） 。实现该逻辑功能的逻辑电路图是否不需要任何逻辑门？解：因为一个一位十进制数（8421BCD 码）乘以 5 所得的的十进制数（8421BCD 码）最多有八位，故输入端用 A、 B、 C、 D 四个变量，输出端用 Y7、 Y6、 Y5、 Y4、 Y3、 Y2、 Y1、 Y0 八个变量。真值表： 用 卡诺图化简：Y7=0，Y 6=A， Y5=B， Y4=C， Y3=0，Y 2=D ， Y1=0，Y 0=D 。逻辑电路如下图所示，在化简时由于利用了无关项，本逻辑电路不需要任何逻
18、辑门。数字逻辑习题解答第 14 页 3.7 设计一个能接收两位二进制 Y=y1y0,X=x1x0,并有输出 Z=z1z2 的逻辑电路,当 Y=X 时,Z=11,当YX 时,Z=10,当 YX 时,Z=01。用“与非”门实现该逻辑电路。解：根据题目要求的功能，可列出真值表如下：用卡诺图化简：z 1= +010yxy0101xyxz2= + 转化为“与非与非” 式为：逻辑电路为：3.8 设计一个检测电路,检测四位二进制码中 1 的个数是否为奇数,若为偶数个 1,则输出为 1,否则为 0。数字逻辑习题解答第 15 页 解：用 A、 B、 C、 D 代表输入的四个二进制码， F 为输出变量，依题意可得
19、真值表：卡诺图不能化简： DCBAABCDDBCACDBAF 用“与非”门实现的逻辑电路为：用异或门实现的电路为3.9 判断下列函数是否存在冒险,并消除可能出现的冒险。 BCDAF1 A2 )(3数字逻辑习题解答第 16 页 解:不存在冒险;存在冒险,消除冒险的办法是添加一冗余项 BD;即： BDCABDCAF2也存在冒险,消除冒险的办法也是添加一冗余因子项 .)C(即： .)(3 )(习题四4.1 图 4.55 所示为一个同步时序逻辑电路,试写出该电路的激励函数和输出函数表达式。解：输出函数：；312yxZ11yxY； ；212Y激励函数：；312yxZT；1YJ；K。1yD4.2 已知状态
20、表如表 4.45 所示，作出相应的状态图。数字逻辑习题解答第 17 页 解：状态图为：4.3 已知状态图如图 4.56 所示，作出相应的状态表。解：相应的状态表为：4.4 图4.57所示状态图表示一个同步时序逻辑电路处于其中某一个未知状态， 。为了确定这个初始状态，可加入一个输入序列，并观察输出序列。如果输入序列和相应的输出序列为 00/0、01/1、 00/0、10/0、11/1 ，试确定该同步时序电路的初始状态。解：为分析问题的方便，下面写出状态表：当输入序列和相应的输出序列为 00/0 时，A 、 B、 C、 D都符合条件，但当序列为 01/1 时要转为B 态或 C 态，就排除了 A、
21、D 态；下一个序列为 00/0 时，B 、 C 保持原态，接着序列为 10/0 时，B 态转为 A 态，C 态转为 D 态，但当最后一个序列为 11/1 时，只有 D 态才有可能输出 1，这就排除了 B 态。故确定该同步时序电路的初始状态为 C 态。即 C（初态）（00/0）C（01/1）C（00/0 ）C（10/0）D（11/1）C4.5 分析图 4.58 所示同步电路，作出状态图和状态表，并说明该电路的逻辑功能。解：激励方程：； ； ；21QJ211QxK2xJ;2输出方程： 。21Z;各触发器的状态方程为： =11nQKJQ 1212Qx= ；21x数字逻辑习题解答第 18 页 = =0
22、;221nQKJQ 2x由图可见，该电路的逻辑功能为：在时钟脉冲作用下，输入任意序列 x 均使电路返回 00状态。4.6 图 4.59 为一个串行加法器逻辑框图，试作出其状态图和状态表。解: 状态图和状态表为:4.7 作 1010 序列检测器的状态图，已知输入、 输出序列为输入：0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 输出：0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0解：1010 序列检测器的状态图如右。4.8 设计一个代码检测器，电路串行输入余 3 码，当输入非法数字时电路输出为 0，否则输出为 1，试作出状态图。解：余 3 码的非法
23、数字有六个，即 0000，0001，0010，1101，1110，1111。故其原始状态图为：4.9 简化表 4.46 所示的完全确定状态表。解：表 4.46 所示的完全确定状态表的隐含表为：考察给定的状态表，比较状态 C 和 F。不论输入 x 是 1 还是 0，它们所产生的输出都相同。当 x=0 时，所建立的次态也相同；但当 x=1 时，它们的次态不相同：N（ C， 1）=AN（ F，1）=D于是状态 C， F 能否合并，取决于状态 A， D 能否合并。对于状态 A 和 D。不论输入 x 是 1还是 0，它们所产生的输出都分别相同。当 x=1 时，它们的次态为现态的交错，但当 x=0 时，它
24、们的次数字逻辑习题解答第 19 页 态却不相同：N（ A， 0）=E N（ D，0）=B因此，状态 A， D 能否合并，取决于状态 B， E 能否合并。对于状态 B 和 E。不论输入 x 是 1 还是 0，它们所产生的输出都分别相同。但当 x=0 时，它们的次态不同：N（ B， 0）=A N（ E，0）=D当 x=1 时，它们所建立的次态也不相同：N（ B， 1）=F N（ E，1）=C可以发现：状态 CF、 AD 和 BE 能否各自合并，出现如上循环关系：显然，由于这个循环中的各对状态，在不同的现输入下所产生的输出是分别相同的，因而从循环中的某一状态时出发，都能保证所有的输入序列下所产生的输
25、出序列都相同。所以，循环中各对状态分别可以合并。令A=A， D， B=B， E C=C， F代入原始状态表中简化后，再令D、 E 代替 G、 H，可得最小化状态表。4.10 简化表 4.47 所示的不完全确定状态表。解：由给定的不完全确定状态表画出隐含表，可以得出全部相容状态对有五个，为：（A ， B） 、（C ， D） 、（C ， E） 、（A ， D） 、（B ， C）,从这五个相容状态对可以看出它们本身就是最大相容类。作出闭覆盖表寻找最小闭覆盖。从闭覆盖表可以得出两种最小化方案及对应的最小化状态表：从这两个方案可以看出，方案一相容类数目最少，是最佳方案。数字逻辑习题解答第 20 页 4.
26、11 按照状态分配基本原则，将表 4.48 所示的状态表转换成二进制状态表。解：给定的状态表中共有A、 B、 C、 D 四个状态，其中 B 态和C 态是可以合并的最大相容类，可看成一个状态，如 B 态。则根据状态分配原则 1)，A 和 B 应分配相邻代码；根据状态分配原则 2)，A 和 B， B 和D 应分配相邻代码；根据状态分配 原则 3)，A 和 B、 B 和 D 应分配相邻 代码，根据状态分配原则 4)，状态 B 的代 码应分配为 00。从分配二进制代码的卡诺图得代码分配结果：B 为 00；A 为 01；D 为 10。C 为 11 是不会出现的状态，可作无关项处理。于是可得二进制状态表。
27、4.12 若分别用 J-K、 T 和 D 触发器作同步时序电路的存储电路，试根据表 4.49 所示的二进制状态表设计同步时序电路，并进行比较。解：下面画出了分别用 J-K、 T 和 D 触发器作同步时序电路的存储电路时的激励函数和输出函数卡诺图：各触发器的激励函数和输出函数的表达式如下：； ； ； ； xyJ12xyK12221yxyJxK1； ；2T)y(yT2121 ；12yxD= =21 12121212 yxyx)y(x)y(122yZ数字逻辑习题解答第 21 页 各逻辑电路为：由此可见，使用 JK 触发器线路较为简单，门电路较少，成本较低。4.13 设计一个能对两个二进制数 X=x1
28、,x2,x n 和 Y=y1, y 2, y n 进行比较的同步时序电路，其中，X，Y 串行地输入到电路的 x，y 输入端。比较从 x1， y 1 开始，依次进行到 xn， y n。电路有两个输出 Zx 和 Zy，若比较结果 XY，则 Zx 为 1，Z y 为 0；若 XY，则 Zy 为 1，Z x 为0；若 X=Y，则 Zx 和 Zy 都为。要求用尽可能少的状态数作出状态图和状态表，并作尽可能的逻辑门和触发器来实现。解：两个数进行比较时，先比较高位，然后比较低位。若 xi= y i=0 或 1，两个输出 Zx 和 Zy=1，还应比较低一位，若还相等，则两个输出不变。，若所有的位的数都相等，最
29、后输出 Zx 和 Zy=1，表示比较结果 X=Y。比较过程中若出现某一位数不等，则比较结束。x i y i 时输出 Zx=1，Z y=0，比较结果XY ；x iy i 时输出 Zx=0，Z y=1，比较结果 XY。因题意要求要求用尽可能少的状态数作出状态图和状态表，并作尽可能的逻辑门和触发器来实现，故采用 Moore 型电路，用两个 D 触发器，这两个触发器的输出就是电路的输出，其中 y 2 表示 Zy，y 1 表示 Zx。用 A、B、C 三个状态分别表示 X=Y、 XY 、 XY。令 A=11,B=01,C=10,得二进制状态表。.采用 D 触发器，经卡诺图化简得激励方程：;2ii12yxy
30、 1ii21yxD所设计的同步时序逻辑电路为：数字逻辑习题解答第 22 页 习题四 55-1：(1) 列出电路的激励函数和输出函数表达式：1JKCP2231,Q3231,JKCP(2)作状态真值表：输入 现态 激励函数 次态CP Q1 Q2 Q3 J1 K1 CP1 J2 K2 CP2J3 K3 CP3 Q1(n+1) Q2(n+1 Q3(n+1)1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 01 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 01 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 11
31、 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 01 1 0 1 1 1 1 0 2 2 0 1 1 0 0 01 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0(3)作状态图表如下：数字逻辑习题解答第 23 页 1 0 0 0 1 0 1 1 00 0 11 0 10 0 01 1 1 0 1 1(4)功能描述：由状态图可知，此电路为一带自启动能力的六进制计数器。习题六6.1 用两个四位二进制并行加法器实现两位十进制数 8421BCD 码到余 3 码的转换.。6.2 用两块四位数值比较器蕊片实现两个七位二进制
32、数的比较.。6.3 用三输入八输出译码器和必要的逻辑门实现下列逻辑函数表达式：；zxy)z,yx(F1yx)z,(F2yx)z,(F3解： =, 610m= ；61610mzxyzyx= yz + y + z + + xyz +xy),(F2 xyz= 763210763210m数字逻辑习题解答第 24 页 =xy +xyz + + zyx)z,yx(F3zxy= 76107610 mm逻辑电路如上：6.4 用四路选择器设计下列组合逻辑电路： 全加器； 三变量多数表决电路。6.5 用四位二进制同步可逆计数器和必要的逻辑门构成模 12 加法计数器。6.6 用两块 双向移位寄存器蕊 片实现模8 计
33、数器。数字逻辑习题解答第 25 页 6.7 用 ROM 设计一个三位二进制平方器。6.8 用 PLA 实现四位二进制并行加法器。解：根据 P195 图 6.2 四位并行加法器逻辑电路，可得各输出函表达式：+ + + ，1F01CBA0101CBA01A1B1 +A1C0 + B1C0, ;01CB设 1P1 = ; 1P2 = ; 1P3 = ; 1P4 = ; 1P5 = A1B1; 101A1P6 = A1C0; 1P7 = B1C0; 1P8 = ; 1P9 = ; 1P10 = ;A01= + + + ，2F2122CBA2B2+A2C1 + B2C1; ; 1设 2P1 = ; 2P
34、2 = ; 2P3 = ; 2P4 = ; 2P5 = A2B2; 2A12CBA2P6 = A2C1; 2P7 = B2C1; 2P8 = ; 2P9 = ; 2P10 = ;21= + + + ，3F3A3CB23数字逻辑习题解答第 26 页 A3B3+A3C2 + B3C2 ; ; 233CBA设 3P1 = ; 3P2 = ; 3P3 = ; 3P4 = ; 3P5 = A3B3; 23P6 = A3C2; 3P7 = B3C2; 3P8 = ; 3P9 = ; 3P10 = ;323= + + + ， A4B4+A4C3 + B4C3; 4F434A4CB4F设 4P1 = ; 4P2 = ; 4P3 = ; 4P4 = ;3 34P5 = A4B4; 4P6 = A4C3; 4P7 = B4C3;6.9 用 PLA 实现图 6.33 所示的时序逻辑电路。解：D 触发器激励函数表达式为：数字逻辑习题解答第 27 页 ；QxxQxD321321 输出函数表达式为：Z = xxx321321 设 P 1= ； P 2= ； P 3= ， 则根据激励函数和输出函数表达式，可画出用 PLA 实1Q现的时序逻辑电路。Qn
