1、,3.4基本不等式：,3. 4基本不等式： （2课时）,一、导学提示，自主学习 二、新课引入，任务驱动 三、新知建构，典例分析 四、当堂训练，针对点评 五、课堂总结，布置作业,一、导学提示，自主学习,1.本节学习目标 （1）理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的条件 （2）能利用基本不等式求代数式或函数的最值 ，并会解决有关的实际问题. 学习重点：基本不等式的应用 学习难点：基本不等式推导过程及成立的条件,一、导学提示，自主学习,2.本节主要题型 题型一 比较大小 题型二 利用基本不等式求最值 题型三 基本不等式的实际应用 3.自主学习教材P97-P100 3. 4基本不等式：
2、,线性规划的两类重要实际问题的解题思路：,（1）应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件， 确定线性目标函数。,（2）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域， 在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解 在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较.）,（3）要根据实际意义将数学模型的解转化为实际 问题的解，即结合实际情况求得最优解。,二、新课引入，任务驱动,一.知识回顾：,通过本节的学习你能掌握基本不等式及 应用吗？,二.任务驱动：,二、新课引入，任务驱动,三、新知建构，典例分析,一.基本不等式的推导 二.基本不等式,这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数
3、学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,三、新知建构，典例分析,问题引入:,2002年国际数学家大会会标,三国时期吴国的数学家赵爽,三、新知建构，典例分析,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,三、新知建构，典例分析,问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它们的面积总和是S=,问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b, 则AB= 则正方形的面积为S= 。,问3：观察图形S与S有什么样的大小关系？,易得，s s,即,A,D,C,B,H,G,F,E,问4：那么它们有相
4、等的情况吗？ 何时相等？,变化的弦图,问题4：s, S有相等的情况吗？何时相等？,图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有,形的角度,数的角度,当a=b时 a2+b22ab =(ab)2=0,结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立,探究2,问5：当a,b为任意实数时， 还成立吗？,此不等式称为重要不等式,替换后得到：,即：,即：,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,一.基本不等式的推导:,三、新知建构，典例分析,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,分
5、析法,证明不等式：,特别地，若a0，b0，则,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,适用范围：,a0,b0,二.基本不等式:,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_
6、,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD与CD的大小关系怎样? OD_CD,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,三、新知建构，典例分析,重要变形：,（由小到大）,三、新知建构，典例分析,2 .典例分析：
7、题型一 利用基本不等式求最值 题型二 基本不等式的实际应用,三、新知建构，典例分析,结论1：两个正数积为定值，则和有最小值,题型一 ：利用基本不等式求最值,分析: x+(1-2x) 不是 常数.,2,=1为,当且仅当 时, 取“=”号.,例2. 若 0x , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.,三、新知建构，典例分析,（1）如果a，b0，且abP（定值），那么a+b有最_值_(当且仅当_时取“=”）.（2）如果a，b0，且abS （定值），那么ab有最_值_(当且仅当_时取“=”）.,利用基本不等式求最值问题：,小,大,利用基本不等式求最值的条件：,一正、二定、三相等。,a=b,a=b,三
8、、新知建构，典例分析,例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,A,B,D,C,三、新知建构，典例分析,题型二：基本不等式的实际应用,例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,解：如图设BC=x ，CD=y ，,则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.,当且仅当 时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.,此时x=y=10.,x=y,A,B,D,C,若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数
9、P时，当且仅当x=y时， x+y有最小值_.,例3.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：如图，设BC=x ，CD=y ，,则 2(x + y)= 36 , x + y =18,矩形菜园的面积为xy m2,得 xy 81,当且仅当x=y时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2,即x=y=9,A,B,D,C,若x、y皆为正数， 则当x+y的值是常数S时， 当且仅当x=y时， xy有最大值_；,各项皆为正数； 和或积为定值； 注意等号成立的条件.,一“正” 二“定” 三“相
10、等”,利用基本不等式求最值时，要注意,例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?,分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。,解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得即当x=y,即x=y=40时,等号成立所以,将水池的
11、地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.,B,变式训练1-1：,因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2,因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2,四、当堂训练，针对点评,略解：,(4,6),A,2.如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,变式训练2-1：,四、当堂训练，针对点评,2.如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：设AB=x
12、 ，BC=242x ，,矩形花园的面积为x(242x) m2,因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2,当x=6时，函数y取得最小值为72,五、课堂总结，布置作业,1课堂总结： （1）涉及知识点： 基本不等式及其应用。 （2）涉及数学思想方法： 转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合 思想。,求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”,2. 利用基本不等式求最值,1. 两个重要的不等式,三、新知建构，典例分析,五、课堂总结，布置作业,2.作业设计：P93习题3.3A组1-2 3.预习任务：必修5教材87-91 3.3.2简单的线性规划问题,谢谢！再见！,六、结束语,
