圆的性质及与圆有关的位置关系.doc

1、组长签字： 日期： 学员编号： XCAST 年 级：九年级 课时数：3KS 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课日期及时段 2016-12 -31 17:00-19:00九年级 圆的性质及与圆有关的位置关系教学目标一圆的有关概念及性质1.弦、直径及垂径定理 2.弧、弦、圆心角之间的关系 3.圆周角与圆心角的关系二与圆有关的位置关系1.直线与圆的位置关系、切线的性质和判定 2.点与圆的位置关系学习内容知识梳理一、圆的有关概念及性质（1）圆的有关概念1.圆心角和圆周角（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆周角，它的度数等于它所对的弧的度数（2） 圆周角：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫做圆

2、周角其性质有：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径90推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（3）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等FEBA C DO所对的两圆心角相等所对的两条弦相等 所对的两条弧相等所对的两条弦的

3、弦心距相等注意：前提条件是在同圆或等圆中；在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等1. 垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2） 推论 1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（3） 推论 2：圆的两条平行线所夹的弧相等注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角

4、三角形，根据垂径定理与勾股定理有： ，根据此公式，在 ， ， 三个量中知道任何两个量就可以求出第22()ardard三个量ra2dOC BA二、点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系（1） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定（2） 设 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则有：点在圆外 ；点在圆上 ；O rPOddrdr点在圆内 .如下表所示：d位置关系 图形 定义 性质及判定EODCBA点在圆外PrO 点在圆的外部 点 在 的外部 .drPO点在圆上Pr O 点在圆上 点 在 上 .dr点在圆内PrO 点在圆的内部 点 在

5、的内部 .drPO2.过已知点的圆1. 过已知点的圆（1） 经过点 的圆：以点 以外的任意一点 为圆心，以 的长为半径，即可作出过点 的圆，这AOAA样的圆有无数个（2） 经过两点 的圆：以线段 中垂线上任意一点 作为圆心，以 的长为半径，即可作出过B、ABO点 的圆，这样的圆也有无数个（3） 过三点的圆：若这三点 共线时，过三点的圆不存在；若 三点不共线时，圆心C、 BC、是线段 与 的中垂线的交点，而这个交点 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个A（4） 过 个点的圆：只可以作 个或 个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的n401圆的圆心2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1

6、） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”（3） 三角形的外接圆及外心1. 三角形的外接圆（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形（2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；（

7、2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.三、直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：O rOld位置关系 图形 定义 性质及判定相离lOdr 直线与圆没有公共点 直线 与 相离drlO相切lOdr 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点 直线 与 相切rl相交lOdr 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线 与 相交dlO（2）切线的性质及判定1. 切线的性质（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论 1：经过圆

8、心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心过圆心，过切点 垂直于切线 过圆心， 过切点 ，则 ABMABl过圆心，垂直于切线 过切点 过圆心， ，则 过切点 l过切点，垂直于切线 过圆心 ， 过切点 ，则 过圆心l2. 切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注意：定理的题设是“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切

9、线”因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；作垂直，证垂直在圆上OOOAA Al l l3. 切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长MBOlA（2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形3. 直角三角形内切圆的

10、半径与三边的关系 cb ac ba O FED CBAC BACBA设 、 、 分别为 中 、 、 的对边，面积为 ，则内切圆半径为 ，其中bcAB CSsrp若 ，则 12pa90C12rabc例题讲解考点一 圆的有关概念及性质（1）圆周角与圆心角例 1.如图，O 的半径为 4，ABC 是O 的内接三角形，连接 OB、OC。若BAC 与BOC 互补，则弦 BC的长为_.例 2.如图,经过原点 O 的 P 与 x,y 轴分别交于 A,B 两点,点 C 是劣弧 OB 上一点,则 ACB=_. 例 3.如图，已知 AB=AC=AD,CBD=2BDC,BAC=44 o，则CAD 的度数为_.变式训练

11、1.(2016 南宁) 如图，点 A，B，C，P 在O 上，CDOA，CEOB ，垂足分别为 D，E， DCE=40，则 P 的度数为_.2.如图 ,O 是ABC 的外接圆,连接 OA、OB,OBA=50 O,则C 的度数为( ) 3、如图，点 p 是四边形 ABCD 外接圆O 上任意一点，且不与四边形顶点重合，若 AD是O 的直径，AB=BC=CD，连接 PA,PB,PC，若 PA=a，则点 A 到 PB 和 PC 的距离之和 AE+AF=_ 。（2）垂径定理例 1、已知O 的半径等于 5cm，弦 AB=6cm,CD=8cm,且 AB/CD,则 AB、CD 之间的距离为_.例 2、如图，O

12、的半径是 2，直线 与 O 相交于 A、B 两点，M、N 是O 上的两个动点，且在直线 的异侧，若 AMB=45，则四边形 MANB 面积的最大值是（ ）例 3、2012 烟台如图，AB 为 O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，CFAF，且CFCE（1）求证： CF 是O 的切线；（2）若 ，求 的值 ABCDS（3）圆的内接四边形例 1.如图，四边形 ABCD 内接于O，DAB=130 O，连接 OC。点 P 是半径 OC 上任意一点，连接 DP、BP，则BPD 可能为_ 度。（写出一个即可）对应训练1.如图，在 RTABC 中， ABC=90 O，点 M 是 AC 的中点，以 AB 为

13、直径作O 分别交AC，BM 于点 D，E。求证：MD=ME。（4）三角形的外接圆及圆的内接多边形例 1.设 I 为ABC 的外心,若BIC=100 O,则A 的度数是 _例 2.如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中,CAD=35 O，则B+E=_.（5）与相似的综合例 1.如图，已知 AD 是ABC 的角平分线，O 经过 A、B、D 三点，过点 B 作 BE/AD，交O 于点 E，连接 ED。（1）求证：ED/AC;（2）若 BD=2CD，设EBD 的面积为 S1， ADC 的面积为 S2，且 S12-16S2+4=0,，求ABC 的面积。考点二 与圆有关的位置关系(1)切线的性质例 1.

14、如图, AB 是 O 直径 ,点 C 在 O 上, AE 是 O 的切线, A 为切点,连接 BC 并延长交 AE 于点 D.若 AOC=80,则 ADB 的度数为( )例 2 如图所示，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心。若B=25O，则C 的大小等于（ ）。对应训练1.如图 ，PA、RB 分别切 O 于点 A、B，若P70，则C 的大小为_ 度.2.如图 ,AB 为O 的直径,直线 l 与O 相切于点 C, ,垂足为 D,AD 交O 于点 E,连接 OC、BE.若 , ,则线段 DC 的长为_.（2）切线长定理例 1 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4,AD

15、=5，AD、AB、BC 分别与O 相切于 E、F、G 三点， 过点 D 作O 的切线交 BC 于点 M，切点为 N，则 DM 的长为_.(3)与切线有关的勾股定理和垂径定理的综合1.如图 ，已知 0 是以坐标原点 0 为圆心，1 为半径的圆，AOB45 ，点 P 在 x 轴上运动，若过点 P 且与 04 平行的直线与 0 有公共点，设 P(x，0) ，则 x 的取值范围是_. 2.如图在矩形 ABCD 中，AB8，AD12 ，过 A，D 两点的O 与 BC 边相切于点 E，则O 的半径为_（4）圆与相似三角形的综合1.如图 7，ABC 是等腰直角三角形，AC=BC= ，以斜边 AB 上的点 O

16、 为圆心的圆分别与 AC，BC 相切与点 E，F， 与 AB 分别交于点 G，H ，且 EH 的延长线和 CB 的延长线交于点 D，则 CD 的长为 . 2.如图 ，AB 是O 的直径，点 D 是 上一点，且BDE=CBE,BD 与 AE 交于点 F。（1）求证：BC 是O 的切线;（2）若 BD 平分ABE，求证：DE 2=DF DB;（3）在（2）的条件下，延长 ED，BA 交于点 P，若 PA=AO，DE=2，求 PD 的长和O 的半径。综合题库1 （2012永州）如图，AC 是O 的直径，PA 是O 的切线，A 为切点，连接 PC 交O 于点 B，连接 AB，且 PC=10，PA=6求

17、：（1）O 的半径；（2）cosBAC 的值2 （2012铁岭）如图，O 的直径 AB 的长为 10，直线 EF 经过点 B 且CBF=CDB连接 AD（1）求证：直线 EF 是O 的切线；（2）若点 C 是弧 AB 的中点，sinDAB= ，求CBD 的面积353.（2012阜新）如图，在ABC 中，BC=3cm，BAC=60，那么ABC 能被半径至少为 cm 的圆形纸片所覆盖4.（2012玉林）如图，RtABC 的内切圆O 与两直角边 AB，BC 分别相切于点 D，E，过劣弧 （不包A括端点 D，E）上任一点 P 作O 的切线 MN 与 AB，BC 分别交于点 M，N，若O 的半径为 r，则 RtMBN 的周长为（ ）Ar B C2r D 32r52r5.归纳总结熟练应用圆的有关概念和性质进行计算和证明，经历垂径定理和圆周角定理的证明过程，深入理解并能熟练应用；直线与圆的位置关系中相切是重点，掌握切线的性质定理、判定定理，并能熟练应用。