1、第 1 页 共 19 页相似三角形应用题专项练习 30 题（有答案） 1如图，某一时刻一根 2 米长的竹竿 EF 影长 GE 为 1.2 米，此时，小红测得一颗被风吹斜的柏树与地面成 30角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 米，则树长 AB 是多少米2铁血红安在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图） 已知小明的眼睛离地面 1.65 米，凉亭顶端离地面 2 米，小明到凉亭的距离为 2 米，凉亭离城楼底部的距离为 40 米，小亮身高 1.
2、7 米请根据以上数据求出城楼的高度3如图，ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边 BC 上的高，BC=40cm，AD=30cm从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G，H 分别在 AC，AB 上，AD 与 HG的交点为 M（1）试说明： ；（2）求这个矩形 EFGH 的宽 HE 的长第 2 页 共 19 页4如图所示，某测量工作人员的眼睛 A 与标杆顶端 F，电视塔顶端 E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面 1.6 米，标杆为 3.2 米，且 BC=1 米， CD=19 米，求电视塔的高 ED5如图，要测量某建筑物的
3、高度 AB，立两根高为 2m 的标杆 BC 和 DE，两竿相距 BD=38m，D、B、H 三点共线，从 BC 退行 3m，到达点 F，从点 F 看点 A，A 、C 、F 三点共线，从 DE 退行 5m 到达点 G，从点 G 看点A，A、E、G 三点也共线，试算出建筑物的高度 AB 及 HB 的长度6如图，路灯 A 离地 8 米，身高 1.6 米的小王（C D）的影长 DB 与身高一样，现在他沿 OD 方向走 10 米，到达E 处（1）请画出小王在 E 处的影子 EH；（2）求 EH 的长7已知：如图，一人在距离树 21 米的点 A 处测量树高，将一长为 2 米的标杆 BE 在与人相距 3 米处
4、垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点 E 及树的顶点 C，求此树的高第 3 页 共 19 页8如图，一电线杆 AB 的影子分别落在了地上和墙上同一时刻，小明竖起 1 米高的直杆 MN，量得其影长 MF为 0.5 米，量得电线杆 AB 落在地上的影子 BD 长 3 米，落在墙上的影子 CD 的高为 2 米你能利用小明测量的数据算出电线杆 AB 的高吗？9如图，大刚在晚上由灯柱 A 走向灯柱 B，当他走到 M 点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱 A 的底部，当他向前再走 12 米到 N 点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱 B 的底部，已知大刚的身高是 1.6 米，两根灯柱的高度都是
5、 9.6 米，设 AM=NB=x 米求：两根灯柱之间的距离10如图，小李晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 时，测得影子 CD 的长为 2 米，继续往前走 3 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知小李的身高 CM 为 1.5 米，求路灯 A 的高度 AB11如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm，测得边 DF 离地面的高度AC=1.5m，CD=10m，求树高 AB第 4 页 共 19 页12为了测量被池塘隔开的 A
6、，B 两点之间的距离根据实际情况，作出如下图形，其中 ABBE，EFBE ，AF交 BE 于 D，C 在 BD 上，实际可测量 BC；CD ；DE；EF；DB； ACB；ADB 等数据你会选择测量哪些数据？请说出你的方案，并列出求 AB 长的表达式13如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点 A、B，先从 B 出发与 AB 成 90方向向前走 50 米，到 C 处立一标杆，然后方向不变继续朝前走 10 米到 D 处，在 D 处转 90，沿 DE 方向走到 E 处，若 A、C 、E 三点恰好在同一直线上，且 DE=17 米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？14在一次测量旗杆高度的活动中，
7、某小组使用的方案如下：AB 表示某同学从眼睛到脚底的距离，CD 表示一根标杆，EF 表示旗杆，AB、CD、EF 都垂直于地面，若 AB=1.6m，CD=2m ，人与标杆之间的距离 BD=1m，标杆与旗杆之间的距离 DF=30m，求旗杆 EF 的高度15我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳如图是小明站在距离墙壁 1.60 米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部 A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置 E 处，且与 AD垂直已知装饰画的高度 AD 为 0.66 米，求：（1）装饰画与墙壁的夹角CAD 的度数（精确到 1） ；（2）装饰画顶部到墙壁的距离 DC
8、（精确到 0.01 米） 第 5 页 共 19 页16如图，学校的围墙外有一旗杆 AB，甲在操场上 C 处直立 3m 高的竹竿 CD，乙从 C 处退到 E 处恰好看到竹竿顶端 D，与旗杆顶端 B 重合，量得 CE=3m，乙的眼睛到地面的距离 FE=1.5m；丙在 C1 处也直立 3m 高的竹竿C1Dl，乙从 E 处退后 6m 到 El 处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端 Dl 与旅杆顶端 B 也重合，测得ClEl=4m求旗杆 AB 的高17如图，一个三角形钢筋框架三边长分别为 20cm、50cm、60cm，要做一个与其相似的钢筋框架现有长为30cm 和 50cm 的两根钢筋，要求以其中
9、一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，你认为有几种不同的截法？并分别求出18某校初三年级数学兴趣小组的同学准备在课余时间测量校园内一棵树的高度一天，在阳光下，一名同学测得一根长为 l 米的竹竿的影长为 0.6 米，同一时刻另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在实验楼的第一级台阶上，此时测得落在地面上的影长为 4.6 米，落在台阶上的影长为 0.2 米，若一级台阶高为 0.3 米（如图） ，求树的高度？19如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影 AB=1.125m，蹲下来，则身影 AC=0.5m，已知小明的身高AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高
10、度的一半，求灯离地面的高度 PH第 6 页 共 19 页20如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下一段亮区已知亮区一边到窗下的墙脚距离 CE=3.6m，窗高AB=1.2m，窗口底边离地面的高度 BC=1.5m，求亮区 ED 的长21如图，ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上试求正方形的边长是多少？22阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区（如图所示） ，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高 BC23已
11、知：CD 为一幢 3 米高的温室，其南面窗户的底框 G 距地面 1 米，CD 在地面上留下的最大影长 CF 为 2 米，现欲在距 C 点 7 米的正南方 A 点处建一幢 12 米高的楼房 AB（设 A，C，F 在同一水平线上） （1）按比例较精确地作出高楼 AB 及它的最大影长 AE；（2）问若大楼 AB 建成后是否影响温室 CD 的采光，试说明理由第 7 页 共 19 页24一个钢筋三角架三边长分别是 30 厘米、75 厘米、90 厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为 45 厘米和 75 厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截
12、法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由25有一块两直角边长分别为 3cm 和 4cm 的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1） ；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2） 两种情形下正方形的面积哪个大？26求证：一个人在两个高度相同的路灯之间行走，他前后的两个影子的长度之和是一个定值27某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图） ，该居民楼的一楼是高为 6 米的小区超市，超市以上是居民住房在该楼的前面 15 米处要盖一栋高 20 米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角是
13、30时（1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？（2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号）第 8 页 共 19 页28如图，有一路灯杆 AB（底部 B 不能直接到达） ，在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长 DF=3m，沿 BD 方向到达点 F 处再测得自己得影长 FG=4m，如果小明的身高为 1.6m，求路灯杆 AB 的高度29如图，点 D、E 分别在 AC、BC 上，如果测得 CD=20m，CE=40m ，AD=100m，BE=20m，DE=45m，（1）ABC 与EDC 相似吗？为什么？（2）求 A、B 两地间的距离30如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，
14、图中线段 AB 表示站立在广场上的小亮，线段 PO 表示直立在广场上的灯杆，点 P 表示照明灯的位置（1）在小亮由 B 处沿 BO 所在的方向行走到达 O 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ；（2）请你在图中画出小亮站在 AB 处的影子；（3）当小亮离开灯杆的距离 OB=4.2m 时，身高（AB）为 1.6m 的小亮的影长为 1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m 时，小亮的影长是多少 m？第 9 页 共 19 页相似三角形性质和判定专项练习 30 题参考答案：1解：如图，CD=3.6m，BDCFGE， = ，即 = ，BC=6，在 RtABC 中，A=30，AB=2BC=12
15、，即树长 AB 是 12 米 2解：过点 A 作 AMEF 于点 M，交 CD 于点 N，由题意可得：AN=2m，CN=21.65=0.35（m） ，MN=40m，CNEM，ACNAEM， = ， = ，解得：EM=7.35，AB=MF=1.65m，故城楼的高度为：7.35+1.651.7=7.3（米） ，答：城楼的高度为 7.3m3 （1）证明：四边形 EFGH 为矩形，EFGH，AHG=ABC，又HAG= BAC，AHGABC， ；（2）解：设 HE=xcm，MD=HE=xcm，AD=30cm，AM=（30x） cm，HG=2HE，HG=（ 2x）cm，由（1） 可得 ，第 10 页 共
16、19 页解得，x=12，宽 HE 的长为 12cm 4解：过 A 点作 AHED，交 FC 于 G，交 ED 于 H由题意可得：AFG AEH， 即 ，解得：EH=9.6 米ED=9.6+1.6=11.2 米5解：设 BH=x，AH=y，根据题意可得：BCAH，DEAH，则FCBFAH，EDG AHG，故 = ， = ，即 = ， = ，则 = ，解得：x=57，故 = ，解得：y=40，答：建筑物的高度 AB 为 40m 及 HB 的长度为 57m6解：（1）如图：（2 分） （2）由 = （3 分）OB=8 米（4 分） ，OE=16.4 米由 = （5 分）即 = （7 分）EH=4.1
17、 米 （8 分） 7解：CD AB，EBAD，第 11 页 共 19 页EBCD，ABEADC， ， EB=2，AB=3，AD=21 ， ，CD=14答：此树高为 14 米8解：过 C 点作 CGAB 于点 G，GC=BD=3 米，GB=CD=2 米NMF=AGC=90，NF AC，NFM=ACG，NMFAGC， ，AG= = =6，AB=AG+GB=6+2=8（米） ，故电线杆子的高为 8 米9解：由对称性可知 AM=BN，设 AM=NB=x 米，MFBC，AMFABC = ， =x=3经检验 x=3 是原方程的根，并且符合题意AB=2x+12=23+12=18（m） 答：两个路灯之间的距离
18、为 18 米 10解：小李的身高：小李的影长=路灯的高度：路灯的影长，当小李在 CG 处时，Rt DCGRtDBA，即 CD：BD=CG：AB，当小李在 EH 处时，RtFEHRt FBA，即 EF：BF=EH：AB=CG ：AB，CD：BD=EF：BF，CG=EH=1.5 米，CD=1 米，CE=3 米，EF=2 米，设 AB=x，BC=y， ，解得：y=3，经检验 y=3 是原方程的根第 12 页 共 19 页CD：BD=CG ：AB ，即 =，解得 x=6 米即路灯 A 的高度 AB=6 米 11解：DEF= BCD=90D=DDEFDCB =DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0
19、.2m，AC=1.5m，CD=10m， =BC=5 米，AB=AC+BC=1.5+5=6.5 米树高为 6.5 米 12解：选择，可由公式 AB=BCtanACB 求出 A、B 两点间的距离；选择可以证得DEF DBA，则 = ，可求得 AB 的长为 13解：先从 B 处出发与 AB 成 90角方向，ABC=90，BC=50m，CD=10m， EDC=90，ABCEDC，AB=5DE，沿 DE 方向再走 17 米，到达 E 处，即 DE=17，AB=517=85河宽为 85 米 14解：过点 A 作 AHEF 于 H 点，AH 交 CD 于 G，CDEF，ACGAEH， ，即： ，EH=12.
20、4EF=EH+HF=12.4+1.6=14，旗杆的高度为 14 米15解：（1）AD=0.66，AE= AD=0.33，在 RtABE 中， （1 分）第 13 页 共 19 页sinABE= = ，ABE12， （ 4 分）CAD+DAB=90， ABE+DAB=90，CAD=ABE=12镜框与墙壁的夹角CAD 的度数约为 12 （5 分）（2）解法一：在 RtACD 中，sinCAD= ，CD=ADsinCAD=0.66sin120.14， （7 分）解法二：CAD=ABE，ACD=AEB=90，ACDBEA， （6 分） ， ，CD0.14 （7 分）镜框顶部到墙壁的距离 CD 约是 0
21、.14 米 （8 分）16解：设 BO=x，GO=yGDOB，DGFBOF，1.5：x=3：（3+y ）同理 1.5：x=4：（y+6+3）解上面 2 个方程得，经检验 x=9，y=15 均是原方程的解，旗杆 AB 的高为 9+15=24（米） 17解：有两种不同的截法：（1）如图（一） ，以 30cm 长的钢筋为最长边，设中边为 x，短边长为 y，则有， ，解得 x=25， ，解得 y=10，所以从 50cm 长的钢筋上分别截取 10cm、25cm 的两段；（6 分）（2）如图（二） ，以 30cm 长的钢筋为中边，设长边为 x，短边长为 y，第 14 页 共 19 页 ，解得 x=36，
22、，解得 y=12所以从 50cm 长的钢筋上分别截取 12cm、36cm 的两段 （12 分）（3）若以 30cm 长的钢筋为短边，设长边为 x，中边长为 y，解得：x=90（不合题意，舍去）18解：如图，设树的高度为 AB，BD 为落在地面的影长，CE 为落在台阶上的影长，CD 为台阶高延长 EC 交 AB 于 F，则四边形 BDCF 是矩形，从而 FC=BD=4.6，BF=CD=0.3，所以 EF=4.6+0.2=4.8，则 ，解得 AF=8，AB=AF+FB=8.3 （米） 所以树的高度 AB 为 8.3 米19解：因为 ADPH，ADBHPB；AMCHPCAB：HB=AD：PH，AC
23、：AM=HC：PH，即 1.125：（1.125+AH ）=1.6：PH，0.5：0.8=（0.5+HA）：PH，解得：PH=8m即路灯的高度为 8 米20解：根据题意，易得DCB ACE，第 15 页 共 19 页CD：CE=BC ：CA ，又因为 AB=1.2 米，CE=3.6 米，BC=1.5 米，所以（3.6ED）：3.6=1.5 ：（1.2+1.5） 解得 ED=1.6 米 21解：ABC 中，AB=AC=13cm，BC=10cm，AD=12，四边形 DEFG 是正方形，EDBC，DE=GF， （1 分）AEDACB， （1 分）又 ANBC，ANDE，DG=ED=EF， （1 分）
24、 ， （2 分）设 DE=x，则 AM=12x， ， （1 分）解得：x= 答：这个正方形的边长为 厘米 （1 分）22解：AEBD，ECADCB， EC=8.7m，ED=2.7m，CD=6mAB=1.8m，AC=BC+1.8m， ，BC=4，即窗口底边离地面的高为 4m 23解：如图，HEDF，HCAB，CDFABECHE，AE：AB=CF ： DC，AE=8 米，由 AC=7 米，可得 CE=1 米，由比例可知：CH=1.5 米1 米，故影响采光第 16 页 共 19 页24解：设截成的两边的长分别为 xcm、ycm，45cm 与 30cm 是对应边时，新做三角架的两边之和一定大于 75c
25、m，不符合；45cm 与 75cm 是对应边时，两三角架相似， = = ，解得 x=18，y=54，18+54=72cm75cm ，从 75cm 长的钢筋截取 18cm 和 54cm 两根；45cm 与 90cm 是对应边时，两三角架相似， = = ，解得 x=15，y=37.5，15+37.5=52.5cm75cm ，从 75cm 长的钢筋截取 15cm 和 37.5cm 两根；综上所述，共有两种截法：方法一：从 75cm 长的钢筋截取 18cm 和 54cm 两根，方法二：从 75cm 长的钢筋截取 15cm 和 37.5cm 两根 25解：（1）因为ABC 为直角三角形，边长分别为 3c
26、m 和 4cm，则 AB= =5作 AB 边上的高 CH，交 DG 于点 Q于是 = ，故 CH= cm易得：DCG ACB，故： = 设正方形 DEFG 的边长为 xcm，得： = ，解得：x= （2）令 AC=3cm，设正方形边长为 ycm易得：ADE ACB，第 17 页 共 19 页于是： = ，= ，解得：y= ，第二种情形下正方形的面积大26解：如图所示，CD、EF 为路灯高度，AB 为该人高度，BM 、BN 为该人前后的两个影子ABCD， = ， = ，即 MB= 同理 BN= MB+BN= =常数（定值） 27解：（1）如图 1 所示：过 F 点作 FEAB 于点 E，EF=1
27、5 米，AFE=30 ，AE=5 米，EB=FC=（205 ）米205 6，超市以上的居民住房采光要受影响；（2）如图 2 所示：若要使超市采光不受影响，则太阳光从 A 直射到 C 处AB=20 米，ACB=30 第 18 页 共 19 页BC= = =20 米答：若要使超市采光不受影响，两楼最少应相距 20 米28解：CD EFAB，可以得到CDFABF，ABG EFG， ， ，又 CD=EF， ，DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7， ，BD=9，BF=9+3=12， ，解得，AB=6.4m29解：（1）CD=20m，CE=40m，AD=100m
28、，BE=20m，DE=45m ，AC=AD+CD=100+20=120m，BC=BE+CE=20+40=60m， = = ， = = ，C=C，CDECBA；（2）CDECBA ， = ，即 = ，解得 AB=135m 30解：（1）因为光是沿直线传播的，所以当小亮由 B 处沿 BO 所在的方向行走到达 O 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；（2）如图所示，BE 即为所求；（3）先设 OP=x，则当 OB=4.2 米时，BE=1.6 米， = ，即 = ，x=5.8 米；当 OD=6 米时，设小亮的影长是 y 米， = ，第 19 页 共 19 页 = ，y= （米） 即小亮的影长是 米
