1、- 1 -利用基本不等式求最值的技巧 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提：“一正” 、 “二定” 、 “三相等” 所谓“一正”是指“正数” ，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件在运用基本不等式 与 或其变式解题时,要注意如下技巧ab222b1：配系数【例 1】已知 ，求 的最大值.230x)(xy2:添加项【例 2】已知 ，求 的最小值.23x32xy3:分拆项【例 3】已知 ，求 的最小值.2x263xy- 2 -4:巧用”1”代换【例 4】已知正数 满足 ,求 的最小值.yx,12yx2一
2、般地有, ,其中 都是正数.这里巧妙2)()( bdacydxcba dcbayx,地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.【例 5】已知正数 满足 ，求 的最小值.zyx,1zyzyx945:换元【例 6】已知 ,求 的最小值.cbacbaw【例 7】已知 ,求 的最大值.1x8512xy- 3 -6:利用对称性【例 8】已知正数 满足 ，求 的最大值.zyx,1zy 122zyx【分析】由于条件式 与结论式 都是关于正数1轮换对称的,故最大值必然是当 时取到,这时zyx 3zyx,从而得到下面证明思路与方向351212z【解】利用基本不等式 得 ,ba3512)(2xx, ,以上三
3、式同向相加得351)2(yy)1(zz,所以化简得1053)(2)1( yxx,所以当且仅当 时1522zy z取到最大值 .1x一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.7:直接运用化为其它【例 9】已知正数 满足 ,求 的取值范围.ba,3ba- 4 -含参不等式的解法举例当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决
4、上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。一、含参数的一元二次不等式的解法：例 1：解关于的 x 不等式 2(1)40()mxmR分析：当 m+1=0 时,它是一个关于 x 的一元一次不等式；当 m+1 1 时，还需对 m+10及 m+10，图象开口向下，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。 当10, 图象开口向上，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当 m=3 时，=4 （3m）=0 ，图象开口向上，与 x
5、 轴只有一个公共点，不等式的解为方程 的根。当 m3 时，=4（ 3m ）3 时, 原不等式的解集为 。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值（如取 0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于 x 的不等式 )0(,)1(2axax- 5 -思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。二、含参数的分式不等式的解法：例 2：解关于 x 的不等式 021xa分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，
6、再对 ax1 中的 a 进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于 0)1(2)(xax当 =0 时，原不等式等价于a解得 ，此时原不等式得解集为x| ；21x 21x当 0 时, 原不等式等价于 ,0)()(xa则：当 原不等式的解集为 ；,2时a21|且当 01 和 1a分为两类，再在 1 的情况下，又要按两根 与 2 的大小关系分为a三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，10,a和通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。三、含参数的绝对值不等式的解法：例 3：解关于 x 的不等式 )0,(,|2| bax分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符
7、号，本题要用到同解变形，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，)()()(| gffgxf或然后就 、 两个参数间的大小关系分类讨论求解。ab解： 2)(2)(22|2| xbaxbaxabxax 或或当 时，0ba)()(或 或此时原不等式的解集为 ；baxx2|或当 时，由 ，0ba 无 解而得 )(,)( xba此时原不等式的解集为 ；x2|当 时，ba0)()(ba或 baxxba22或此时此时原不等式的解集为 ；x2|综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；当0ba baxx2|或时，原不等式的解集为 。0b bax2|小结：去掉绝对值符号的方法有定义法： 平方法：)0(|a |)(|xgf利用同解变形：)(22xgf);0(,|;0,| axaax 或- 7 -);()()(| xgfxgxf )()()(| xgfxgfxgf 或；牛刀小试：（2004 年辽宁省高考题）解关于 x 的不等式 )(,01| Ra思路点拨：将原不等式化为 然后对 进行分类讨论求解。要注意ax1|空集；的 解 集 为时 ax|,0抓住绝对值的意义，在解题过;|0;| Rx的 解 集 为时 ，的 解时 ， 程中谨防发生非等价变形造成的错误。具体解答请同学们自己完成。
