1、1,第二节 唯一性定理,2,一、静电问题的唯一性定理,区域V可以分为若干个均匀区域Vi，每一均匀区域的电容率为i 。设V内有给定的电荷分布(x) 。电势在均匀区域Vi内满足泊松方程,3,除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出V的外边界S上的一些条件。,在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系,4,唯一性定理：,设区域V内自由电荷分布为(x) ，在V的外边界S上给定,（i）电势s,或,（ii）电势的法向倒数(/n)s,则V内的电场唯一地确定。,也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足给定的或 /n值。,5,证明：,设
2、有两组不同的解和满足唯一性定理的条件。,由,得,令,6,在两均匀区界面上有,在整个区域V的边界S上有,或,7,考虑第i个均匀区Vi的界面Si上的积分,对所有分区Vi求和,在均匀区界面,内部边界积分相互抵消,8,这说明和至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。,而右边被积函数i()2 0。上式成立的条件是在V内各点上都有=0 ，即在V内，,外边界因,积分亦为零,或,9,二、有导体存在时的唯一性定理,当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型： 一类是给定每个导体上的电势i； 另一类是给定每个导体上的总电荷Qi。,10,如图设在某区域
3、V内有一些导体，除去导体内部以后的区域为V。设V内有给定电荷分布，S上给定了|s 或(/n)|s值。,11,第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布 ，给定各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的 或/n 值，则V内的电场唯一地确定。,第一类型：当每个导体上的电势i给定时，即给出了V所有边界上的 或(/n)值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知， V内的电场被唯一确定。,12,在第i个导体上满足总电荷条件,和等势面条件,以及在V的边界S上具有给定的|s 或(/n)|s值。,也就是说，存在唯一的解，,它在导体以外满足泊松方程,13,证明,设有两个解和满足,或,则满足,14,对区域V
4、用公式,15,上式左边的面积分包括V的边界S以及每个导体的表面Si上的积分。,在Si上的积分,在S上的积分,由此,16,即和至多只能相差一个常量，因而电场唯一确定。,当导体外的电势确定后，导体上的电荷面密度由边值关系确定,17,例 如图24，两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为1，右半部电容率为 2，设内球壳带总电荷Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。,18,设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为,解,19,如果我们假设E仍保持球对称性，即,此时边值关系得到满足。,由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系,20,导体球面上的积分,将电场值代入得,解出,21,则,此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解。,注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但E却保持球对称性。,22,设内导体半径为a，则球面上的电荷面密度为,虽然E仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷面密度不具有球对称性。,
