1、2.3.1直线与平面垂直的判定,1、直线和平面的位置关系有哪几种？,2、平面内两直线有哪两种重要的位置关系？,平行、相交,3、空间中什么叫两直线垂直？,引入,平行、相交，线在面内,生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？,实例引入,旗杆与底面垂直,2.将书页打开直立在桌面上,观察书脊AB和桌面的位置关系,给人以什么感觉？,书脊AB和每页书与桌面的交线的位置关系如何？,此时，书脊AB和桌面内的每条直线都垂直吗？,讨论,如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，,记作 ,平面 的垂线,垂足,定义,直线与平面垂直,问题,直线与平面垂直,除定义外，如何判
2、断一条直线与平面垂直呢？,2.下列条件下,直线一定和平面垂直吗?,一条直线和一个平面内的一条直线垂直,一条直线和一个平面内的两条平行直线垂直,一条直线和一个平面内的无数条直线垂直,判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,直线与平面垂直判定定理,线不在多,重在相交,3. 判断命题的真假：,(1) 垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边,(2) 垂直于梯形两边的直线必垂直于另外的两边,(3) 若三条共点的直线两两垂直，则其中一 条垂直于另两条直线所确定的平面,练习,例1 如图，已知 ，求证,根据直线与平面垂直的定义知,因为直线 ，,典型例题,即：如果两条平行直线中的
3、一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面,A,如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时， ？,底面四边形 对角线相互垂直,探究,随堂练习,练习：在正方体ABCD-ABCD中，求直线AC垂直于平面BDD,(1)若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ ） A有且只有一个 B可能存在也可能不存在C有无数多个 D定不存在 (2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA平面ABCD，则在PAB、 PAC, PAD、 PBC, PCD及PBD中， 为直角三角形有_个,B,课堂练习,5,4.如图，已知APO所在平面，AB为 O的直径，C是圆周 上的
4、任意一点，过A作 AEPC于点E. 求证： AE平面PBC.,练习,C,P,A,B,O,E,（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段,一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.,平面的斜线,斜足,点P到平面的斜线段,（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影.,从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.,斜线在平面内的射影,斜线段在平面内的射影,一条直线和一个平面相交，
5、但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段,平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条,斜线与斜线段,射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：,（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；,（2）垂线段比任何一条斜线段都短.,O,B,C,（1） OB=OCAB=ACOBOCABAC,（2 ）AB=ACOB=OCABACOBOC,（3）AOAB，AOAC,注意：是过同一点引线,射影的长短斜线段的长短,从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在
6、这个平面内的射影垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影,斜线在平面内的射影,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角,斜线和平面所成的角,斜线和平面所成的角,1、直线和平面垂直直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内直线和平面所成的角是0,2、直线与平面所成的角的取值范围是：_ 斜线与平面所成的角的取值范围是：_,练习：在正方体ABCD-ABCD中， (1) 直线AB与平面ABCD所成的角 (2)直线AB与平面BCCB所成的角 (3)求直线BD和平面AADD所成的角的正切值,典型例题,例2、在正方体
7、ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角,O,O,练习：在正方体ABCD-ABCD中，求直线AB和平面ABCD所成的角,例3 在三棱锥P-ABC中,作PO平面ABC,O为垂足.,(1)若PA=PB=PC,则O 是ABC的_心.,结论:共点的斜线段相等,则它们在同一平面的射影也相等.,外,思考:没有共点这个条件,这个结论对吗?,(1)若PA=PB=PC,则O 是ABC的_外_心.,上题再加ACB= 则O点在哪儿?,(2) 在三棱锥P-ABC中,作PO平面ABC,O为垂足.,(2)若PA,PB,PC两两垂直,则O 是ABC的_心.,垂心,D,例2：如图，已知RtABC的斜边AB在平面内，两直角边CB、CA和平面所成的角分别为450和300，求斜边上的高CD和平面所成的角的正弦值。,例题分析,4.如图，已知APO所在平面，AB为 O的直径，C是圆周 上的任意一点，过A作 AEPC于点E. 求证： AE平面PBC.,练习,C,P,A,B,O,E,1直线与平面垂直的概念,（1）利用定义；,（2）利用判定定理,3数学思想方法：转化的思想,知识小结,2直线与平面垂直的判定,垂直与平面内任意一条直线,（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面,4直线与平面所成的角.,作业： P67 练习1,2,3,
