1、因动点产生的,面积问题,燕厦中学 舒瑞华,面积一直是数学中的重要问题，它包含了各种几何图形的面积计算公式，面积的割补原理等，这部分内容在中考时约占15%，比例较大。探究几何图形，正、反比例函数，一次、二次函数的图像上的动点与给定的已知点构成符合一定面积条件的三角形或四边形。也有可能这个动点在x轴、y轴上，复杂一点的问题同时存在两个动点，要求这些动点构成的几何图形的面积。,1、怎样设动点的坐标： 若动点在x轴、直线y=a上，因为横坐标x在变化，纵坐标y没有变化，所以可设动点坐标为(x，0)、(x，a)；,若动点在y轴、直线x=b上，因为纵坐标y在变化，横坐标x没有变化，所以可设动点坐标为(0，y
2、)、(b，y)；,若动点在直线y=ax+b、双曲线y=a/x或抛物线y=ax2+bx+c(a0)上，因为动点坐标为(x，y)满足解析式，故又可设为(x，ax+b)、(x，a/x)或(x，ax2+bx+c)；,2、怎样用坐标表示线段的长度： 点A(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|；,要去绝对值时，一定要考虑点在哪一象限，或两点谁在上方或右方。,一 牢记各种几何图形的面积公式。若两个三角形等高，则面积比等于底的比；若两个三角形等底，则面积比等于高的比。,例一：已知一次函数y=ax- a(a0)的图像是直线。证明：当a取不等于0的实数时，直线都经过x轴上的一个定点p，并求这个定点p
3、的坐标；在x轴上找出点Q， 使SPQE=2SOPE，求出 点Q的坐标。,例一：已知一次函数y=ax- a(a0)的图像是直线。证明：当a取不等于0的实数时，直线都经过x轴上的一个定点p，并求这个定点p的坐标；,1、一次函数经过x轴上的一个定点P，设出点p的坐标，代入解析式，求出这个定点；,例一：已知一次函数y=ax- a(a0)的图像是直线。 在x轴上找出点Q，使SPQE=2SOPE，求出点Q的坐标。,2、PQE与OPE有同高OE，所以两个三角形的面积比就等于底的比；,3、点Q在点P的右侧还是左侧，分两种情况讨论。,二 如果ABC与DEF的面积比是1:2，要分 两种情 况进行讨论。,例二：如图
4、，点P，点Q分别在x轴、y轴上。 已知点P(3，0)、Q(0，4)，点M在线段PQ上，直线OM把POQ分成两个三角形，且这两个三角形的面积比为2:1，求直线MO的函数解析式。如图，已知P(m，0)，Q(0，n)（m0，n0），反比例函数y=m/x，的图像与线段PQ交于C、D两点，若SPOC=SCOD=SDOQ，求n的值。,例二：如图，点P，点Q分别在x轴、y轴上。 已知点P(3，0)Q(0，4)，点M在线段PQ上，直线OM把POQ分成两个三角形，且这两个三角形的面积比为2:1，求直线MO的函数解析式。,1、点M把三角形分成面积比是2:1的两部分，没有规定谁是2份，谁是1份，所以要分两种情况进行
5、讨论。,(x，y),(x，y),例二：如图，点P，点Q分别在x轴、y轴上。 如图，已知P(m，0)，Q(0，n)（m0，n0），反比例函数y=m/x，的图像与线段PQ交于C、D两点，若SPOC=SCOD=SDOQ，求n的值。,2、用字母代替数，给理解带来了困难，要仔细审题；也给计算带来了麻烦，要谨慎计算。3、理清思路，从SPOC=SCOD=SDOQ可知：SOCQ：SOPQ=2:3，SPOC： SOPQ=1:3继而可写出点C的 含有字母的坐标，因为点C在 反比例函数的图象上，所以 再代入反比例函数的解析式， 得到一个方程，解得n的值。,三 利用面积割补的方法解决面积问题,例三：如图，已知直线y=
6、0.5x与双曲线y=k/x（k0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4。 （1）求k的值；（2）若双曲线y=k /x（k0）上一点C的 纵坐标为8，求AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线交双曲线 y=k/x（k0）于P、Q两 点（P点在第一象限）， 若由A、B、P、Q为顶点 组成的四边形面积为24， 求点P的坐标。,例三：如图，已知直线y=0.5x与双曲线y=k/x（k0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4。 （1）求k的值；,1、把点A的横坐标代入正比例函数，求得点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例数，得k的值。,例三：如图，已知直线y=0.5x与双曲线y=k/x（k0）交于A、B两点，且
7、点A的横坐标为4。 （2）若双曲线y=k /x（k0）上一点C的 纵坐标为8，求AOC的面积；,2、把点C的坐标代入反比例函数得到点C的坐标。用割补的方法求出AOC的面积。,A(4,2)，C(1,8)，D(4,8),例三：如图，已知直线y=0.5x与双曲线y=k/x（k0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4。 过原点O的另一条直线交双曲线y=k/x(k0)于P、Q两点(P点在第一象限)，若由A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积 为24，求点P的坐标。,3、利用正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称，得到AOP的面积是四边形面积的1/4，进而求得点P的坐标。,例三：如图，已知直线y=0.5x与
8、双曲线y=k/x（k0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4。 过原点O的另一条直线交双曲线y=k/x(k0)于P、Q两点(P点在第一象限)，若由A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积 为24，求点P的坐标。,4、点P在点A的左上方存在，再考虑点P在点A的右下方是否存在，回答是肯定的，用同样的方法求之。,例三：如图，已知直线y=0.5x与双曲线y=k/x（k0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4。 过原点O的另一条直线交双曲线y=k/x(k0)于P、Q两点(P点在第一象限)，若由A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积 为24，求点P的坐标。,A(4,2),四 以上面积问题存在于正、反比例函数和一次函
9、数中，那么在二次函数中是否也有这 样的规律呢?回答是肯定的。,例4、如图6-13，已知抛物线y=0.5x2+bx+c 与x轴交于点（- 4，0）和点B（1，0），与y轴交于C点。（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EF/AC交BC于点F，连结CE， 当EF把CEF的面积与 BEF面积分成1: 2时， 求E点的坐标。,例4、如图6-13，已知抛物线y=0.5x2+bx+c 与x轴交于点（- 4，0）和点B（1，0），与y轴交于C点。（1）求此抛物线的解析式；,1、把点A、点B的坐标代入抛物线的解析式，求出b、c，写出解析式。,例4、如图6-13，已知抛物线y=0.5x2+b
10、x+c 与x轴交于点（- 4，0）和点B（1，0），与y轴交于C点。 （2）设E是线段AB上的动点，作EF/AC交BC于点F，连结CE， 当EF把CEF的面积与BEF面积分成1: 2时，求E点的坐标。,2、求出点C的坐标和AB的长度。3、CEF的面积与BEF面积之比就是CF与FB的比，这样的比有两个。4、EF/AC，把CF与FB的比通过比例式转化为AE与EB的比，从而求出点E的坐标。,例4、如图6-13，已知抛物线y=0.5x2+bx+c 与x轴交于点A（- 4，0）和点B（1，0），与y轴交于C点。 （2）设E是线段AB上的动点，作EF/AC交BC于点F，连结CE， 当EF把CEF的面积与B
11、EF面积分成1: 2时，求E点的坐标。,AB=5，BE:AE=BF:CF,五两个小三角行面积的比，可以转换为1个小三角形和一个大三角形面积的比，使问题简单化。,例五、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x-4x+m与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，且OB=OC。（1）求该抛物线的解析式及点B的坐标；（2）P是线段OB上的一点，过点P作PD垂直x轴，与抛物线交 于D点，直线BC能把 PDB分成面积之比为 2:3的两部分？如能， 请求出点P的坐标； 如不能，请说明理由。,例五、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x2-4x+m与x轴交于A
12、、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，且OB=OC。（1）求该抛物线的解析式及点B的坐标；,1、由点C(0，m)和OB=OC得到B(-m，0),代入抛物线解析式求m(m0)的值，即可得到抛物线的解析式和点B的坐标；,（2）P是线段OB上的一点，过点P作PD垂直x轴，与抛物线交于D点，直线BC能把 PDB分成面积之比为2:3的两部分？如能，请求出点P的坐标；如不能，请说明理由。,2、点E在直线BC上运动，所以要求出直线BC的解析式；3、因为的P在x轴上，PDx轴，所以点P、E、D的横坐标相同，按各自运动的轨道设好纵坐标；4、直线BC把PDB分成面积之比为2:3的两部分，分两种情况
13、讨论；5、因为点D、E在x轴的下方，要把它们的纵坐标改写成线段的长度，注意正负号的问题。,（2）P是线段OB上的一点，过点P作PD垂直x轴，与抛物线交于D点，直线BC能把 PDB分成面积之比为2:3的两部分？如能，请求出点P的坐标；如不能，请说明理由。,A(-1,0)，B(5,0)，C(0,-5)，P(x,0)(0x5)，D(x,x2-4x-5),yBC=x-5，E(x,x-5),六已知一个三角形的面积，求抛物线上是否存在这样的点，使两个三角形的面积相等，解题时，不仅要考虑左右，还要考虑上下，要面面俱到，不要遗漏。,例六 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1，0)，顶点为
14、M(1，4)，且与y轴交于点C。（1）求二次函数的解析式，并写出C点的坐标；（2）直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，若点P是抛 物线上的一个动点，请探 究：是否存在这样的点P， 使SPAB=SACD?若存在， 请求出P点的坐标；若不 存在，请说明理由。,例六 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1，0)，顶点为M(1，4)，且与y轴交于点C。（1）求二次函数的解析式，并写出C点的坐标；,1、由顶点式求抛物线的解析式，化成一般式，得到与y轴的交点C的坐标；,例六 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1，0)，顶点为M(1，4)，且与y轴交于
15、点C。（2）直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，若点P是抛物线上的一个动点，请探究：是否存在这样的点P，使SPAB=SACD?若存在， 请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。,2、点P在抛物线上，设出P点的坐标。但是点P可能在x轴的上方、下方，所以点P的纵坐标要带上绝对值，以保证恒为正，这样的结果有四个。,M(1,4) A(-1,0) B(3,0) C(0,3) D(-3,0),M(1,4) A(-1,0) B(3,0) C(0,3) D(-3,0),P(x,yp),讨论等腰三角形，三边两两相等，分三种情况讨论：OE=OF EF=OFOE=EF,不存在,E(-1,1),EFNEGD,Q,N,
