1、第三章 DFT 离散傅里叶变换,一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。,引言,傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换,0,t,0,对称性:时域连续，则频域非周期。反之亦然。,二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数,*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2/Tp,三.离散时间、连续频率的傅氏变换-序列的傅氏变换,0,-,-,四.离散时间、离散频率的傅氏变换-DFT,x(nT)=x(n),t,0,T,2T,1 2 N,n,NT,由上述分析可知，要想在
2、时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。, 3-1 周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入,对上式进行抽样，得：,导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：,因 是离散的，所以 应是周期的。,，代入,而且，其周期为 ，因此 应是N点的周期序列。,又由于所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在k=0,1,., N-1求和与在k=N,.,2N-1求和所得的结果是一致的。,二. 的k次谐波系数 的求法1.预备知识,同样，当 时，p也为任意整数，则,所以,亦即,的表达式将式 的两端乘 ，然后从 n=0到N-1求和，则：,的DFS,通常将定标因子1/N 移到 表示式
3、中。 即：,3.离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号 代入，则：,正变换：,反变换：,4. 的周期性与用Z变换的求法,周期性：,的一个周期内序列记作 ,而且,对 作Z变换，,用Z变换求 ：,可见， 是Z变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。,如果 ，则有,其中，a,b为任意常数。, 3-1-2 DFS的性质,一.线性,如果,则有,二.序列的移位,则有：,如果,证明：,令i=m+n,则 n=i-m。,n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m,所以,* 和 都是以N为周期的周期函数。,三.调制特性如果 则有,证明：,时域乘以虚指数( )的m次幂，频域
4、搬移m,调制特性。,四.周期卷积和1.如果则：,证明从略。,2.两个周期序列的周期卷积过程（1）画出 和 的图形；（2）将 翻摺,得到 可计算出：,（3）将 右移一位、得到,可计算出：,（4）将 再右移一位、得到 可计算出：,（5）以此类推，,计算区,3,1,3.频域卷积定理如果 ，则,证明从略。, 3-2 DFT-有限长序列的离散频域表示一.预备知识 1.余数运算表达式如果 ，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为mN，余数 。,例如：(1)(2),先取模值，后进行函数运算;而 视作将周期延拓。,2.,二.有限长序列x(n)和周期序列 的关系,周期序列 是有限长序列x(n)的周期延拓。,
5、有限长序列x(n)是周期序列 的主值序列。,如：,N-1,n,x(n),0,0,N-1,定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。,三.周期序列 与有限长序列X(k)的关系,同样， 周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。,而有限长序列X(k)是周期序列 的主值序列。,四.从DFS到DFT,从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。,因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变换(DFT)的定义:,或者：,练习题,参考答案,实际选择,解, 3-2-2 DFT的性质 一.线性性 1.两序列都是N点时如果,则有：,2. 和 的长度
6、N1和N2不等时，选择 为变换长度,短者进进行补零达到N点。,二.序列的圆周移位 1.定义 一个有限长序列 的圆周移位定义为这里包括三层意思： 先将 进行周期延拓 再进行移位 最后取主值序列：,2.圆周位移的含义由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主 值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同 值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列 一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆 上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时， 看到就是周期序列 : 。,1,2,3,4,5,n=0,N=6,四.圆周卷积和 1.时域卷积定理设 和 均为长度为N的有限长 序列，且 ，,如果 ，则,
7、证明：,相当于将 作周期卷积和后， 再取主值序列。,将 周期延拓：,则有：,在主值区间 ，所以：,0,m,0,m,0,m,0,m,最后结果：,五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积 1.线性卷积的长度为的长度为它们线性卷积为,的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是 不为零的区间.例如:,1,0,1,2,n,1,0,1,2,n,3,m,n,2,1,0,3,1,4,5,2,3,3,2,1,2.用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.的长度为 , 的长度为 ,先构造长度均为L长的序列, 即将 补零点;然后再对它们进行周期延拓 ，即所以得到周期卷积：,可见,周期卷积为线性卷
8、积的周期延拓,其周期为L。由于 长度 ,所以周期L必须满足:又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列,所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列,即,计算题,有限长为 N 的两序列求:,3.4 频域抽样理论一.如何从频域抽样恢复原序列 1.两种抽样时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得X(k)就是序列傅氏变换的采样。所以DFT就是频域抽样。,2.由频域抽样恢复序列一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存
9、在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(z)在单位圆上N等份抽样,就得到,对 进行反变换,并令其为 ,则,可见,由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。,1 , m=n+rN , 0 , 其他m,3.频域抽样不失真的条件当x(n)不是有限长时，无法周期延拓；当x(n)为长度M,只有NM时,才能不失真的恢复信号,即,1.由X(k)恢复X(z)序列x(n),（0nN-1）的Z变换为由于 ，所以,二.由X(k)表达 X(z)与 的问题内插公式,上式就是由X(k)恢复X(z)的内插公式,其中,称作内插函数。,2.内插函数的特性将内插函数写成如
10、下式:,令分子为零, 得 所以有N个零点。令分母为零,得 为一阶极点, Z=0为(N-1)阶极点。但是极点 与一零点相消。这样只有(N-1)个零点,抽样点 称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不为零,其他(N-1)个抽样点均为零。,3.频率响应单位圆上的Z变换即为频响, 代入,4.内插函数的频率特性,可见, 既是 的函数又是k的函数,其可表示为,时,时, ，所以,当N=5时, 的幅度特性 和相位特性 如下图：,其中，,N=5,由于i与k均为整数,所以i k 时 这就是说,内插函数在本抽样点 上 , 而在其他抽样点上,5. 与X(k)的关系由于 的特性可知,在每个抽 样点上其值为1, 故
11、 就精确等于X(k)。即,而在抽样点之间, 等于加权的内插函数值叠加而得。,利用DFT对连续时间信号的逼近一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差1.混叠现象为避免混叠,由抽样定理可知，须满足其中, 为抽样频率; 为信号的最高频率分量；或者其中,T为抽样间隔。,2.频谱泄漏在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内,也就是说， 在时域对信号进行截断操作,或 称作加时 间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定 理可知，时域相乘,频域为卷积,这就造成拖 尾现象,称之为频谱泄漏.,0,n,0,n,n,3.栅栏效应用DFT计算频谱时，只是知道为频率的整数倍处的频谱。在两个谱线之
12、间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。补零点加大周期 ，可使F变小来提高辨力，以减少栅栏效应。,二、DFT与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定1.连续时间非周期信号傅氏变换对,2. 连续时间周期信号傅氏级数变换对,3.DFT变换时:,4.用DFT计算非周期信号的傅氏变换用DFT计算所得的频谱分量乘以T， 就等于频谱的正常幅度电平；用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换，再乘以 就得到所需信号的正常幅度电平。所以,从时间到频率,再从频率到时间，整个过程总共乘了幅度电平未受到影响。,设,用DFT计算所得的频谱分量乘以T的理由：,用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换乘以 的理由,5.用DFT计算周期信号的傅氏级数用DFT计算出的频谱分量乘以 1/N等于周期信号的频谱的正常幅度电平。而用IDFT的计算结果乘以N才等于周期信号正常幅度电平。,
